2022年雅克比矩阵) .pdf

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1、雅克比矩阵雅克比 矩阵定义任给一 个 n 维向量 X，其范数 X是一个满足下列三个条件的实数：（ 1） 对于任意向 量 X， X 0，且X 0X 0; （ 2） 对于任意实 数 及任意向 量 X， X X；（ 3） 对于任意向 量 X 和 Y， X YX Y；对于这样 的, 叫雅克比矩 阵定义。雅克比 矩阵证明关于这个 的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立证明：对 于曲面 x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD ，其中A(u,v),B(u+ u,v),C(u+ u,v+ v),D(u,v+ v), 那么这

2、个曲边四边形 ABCD 可以 近似看成是微小向量B(u+ u,v) -A(u,v)和 D(u,v+v) -A(u,v)张成的。利用中值定理可知：(u+u,v)-(u,v)=Mdu (u,v+ v) -(u,v)=Ndv 这里 的 M ， N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。当变化量 很小时，我们把(u+u,v) -(u,v)近似看 成 dx(u,v)，(u,v+ v) -(u,v)看成 dy(u,v)，所以 ，dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv 而其中 的 M*N刚好就是二维Jacobi 行列式的展开形式。由此问题 得证。在向量微积分 中，雅可比矩阵 是一阶 偏导

3、数 以一定方式排列成的矩阵，其 行列式 称为雅可比行列式 。还有， 在代数几何 中，代数曲线 的雅可比量 表示 雅可比簇 ：伴随该曲线的一个代數群 ，曲线可以嵌入其中。它们全部都以 数学家卡爾 雅可比 命名；英文雅可比量Jacobian 可以发音为 ja ?ko bi ?n 或者? ?ko bi ?n。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此

4、，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。假设 F:RnRm是一个从欧式n 维空间转换到欧式m 维空间的函数。 这个函数由m 个实函数组成 : y1(x1,.,xn), ., ym(x1,.,xn). 这些函数的偏导数(如果存在 )可以组成一个m 行 n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i 行是由梯度函数的转置 yi(i=1,.,m) 表示的如果 p 是 Rn中的一点， F 在 p 点可微分，那么在这一点的导数由JF(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下， 由F(p)描述的线性算子即接近点p 的 F 的最优线性逼近，x逼近与 p 例子由球坐标系 到直角坐标

5、系的转化由F 函数给出 :R 0, 0,2 R3此坐标变换的雅可比矩阵是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - R4的 f 函数 : 其雅可比矩阵为: 此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。在动力系统中考虑形为x = F(x)的动力系统 ，F : Rn Rn。如果 F(x0) = 0 ，那么 x0是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值 来决定。雅可比行列式如果 m = n，那么 F 是从 n 维空间

6、到 n 维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵 。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式 。在某个给定点的雅可比行列式提供了F 在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F 在 p 点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数 。这称为 反函数定理 。更进一步，如果p 点的雅可比行列式是正数 ，则 F 在 p 点的取向不变；如果是负数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 则 F 的取向相反。

7、而从雅可比行列式的绝对值 ，就可以知道函数F 在 p 点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法 中。例子设有函数F : R3 R3，其分量为：则它的雅可比行列式为：从中我们可以看到，当x1和 x2同号时， F 的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1= 0 和 x2 = 0 时以外。雅可比矩阵雅可比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

8、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量Jacobian 可以发音为ja ? ko bi?n或者 ? ? ko bi ?n。雅 可比矩 阵的 重要性 在于 它体现 了一 个可微 方程 与给出 点的 最优线 性逼 近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如雅可比矩阵下：见所附jpg 图 片。例： MA TLAB中 jacobian 是用来计算Jacobi 矩阵的函数。syms r l f x=r*cos(l)*cos(f); y=r*cos(l)*sin(f); z=r*sin(l); J=jacobian(x;y;z,r l f) 结果：J = c os(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) c os(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*c 雅可比矩阵os(f) sin(l), r*cos(l), 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -