2022年随机变量数字特征终稿 .pdf

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1、第四章随机变量的数字特征习题课教学目的 ：学习随机变量的数字特征，要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念；了解切比雪夫不等式与大数定律。教学重点： 掌握数学期望、方差、标准差、切比雪夫不等式、各阶原点矩与中心矩、协方差与相关系数的概念和计算。教学难点： 掌握运用定义与性质计算随机变量及其函数的数字特征。掌握常用的分布的数字特征与其分布参数间的关系。讲授内容一回顾知识（一） .随机变量的数学期望的概念与性质1.离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布律为(1,2,.)iixp i.若无穷级数1iiix p绝对收敛，

2、则称无穷级数1iiix p为随机变量的数学期望或均值。2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的概率密度为( )fx，若反常积分( )xf x dx绝对收敛，则称此反常积分的值为随机变量X的数学期望或均值，记为EX或()E X，即EX=( )xf x dx. 3.随机变量的数学期望的性质设C是常数，则有ECC; 设X是随机变量，C是常数，则有()()E CXCE X; 设X和Y任意两个随机变量，则有()()( )E XYE XE Y; 设随机变量X与Y相互独立，则有()()( )E XYE X E Y. 4.一个随机变量函数X的函数()Yg X的数学期望设X是离散型随机变量，其概率分布为

3、(1,2,.)iixp i，如果无 穷 级 数1()iiig x p绝 对 收 敛 ， 则 随 机 变 量()Yg X的 数 学 期 望 为( )( )E YE g x1()iiig xp. 设连续型随机变量X的概率密度为( )f x，若反常积分( )( )g x f x dx绝对收敛，则随机变量()Yg X的数学期望为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - ( )( )E YE g x( ) ( )g x f x dx

4、. 5.二维随机变量(,)X Y的函数(,)Zg X Y的数学期望设 二 维 离 散 型 随 机 变 量(,)X Y的 概 率 分 布 为,iiijP Xx Yyp，,1,2,.,i j如果无穷级数11(,)iiijjig x yp绝对收敛，则随机变量(,)Zg X Y的数学期望为( )(,)E ZE g X Y11(,)iiijjig x yp. 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量(,)X Y的 概 率 分 布 为( ,)f x y， 若 反 常 积 分( ,)(,)g x y fx y d xdy绝对收敛，则随机变量(,)Zg X Y的数学期望为()(,)E ZE g X Y( , )

5、 ( , )g x y f x y dxdy. (二).随机变量方差的概念及性质1. 方差及标准差的概念设X是一个随机变量，若2() EXE X存在，则称之为X的方差，记为()D X,即()D X=2() EXE X.方差的算术平方根()D X称为X的均方差或标准差，记为记为)(X，即)(X=)(XD.称*()()XE XXD X为X的标准化随机变量，此时又0)(*=XE，1)(*=XD. 2.方差的计算公式22()()()D XE XE X3.方差的性质(1).C是常数，则0)(=CD. (2).设X是随机变量，C是常数，则有)()(XDCXD=+. (3).设X是随机变量，C是常数，则有)

6、()(2XDCCXD=. (4).设随机变量X和Y相互独立，则有)()()(YDXDYXD+=. (三).常见随机变量的数学期望和方差1.如果X)10(，即1(1)(0,1),iiP Xippi则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - (),()(1)E Xp D Xpp. 2.如果X( ,)B n p，则(),()(1)E Xnp D Xnpp. 3.如果X()P,则()E X,()D X. 4.如果X服从几何分布，既

7、1(1),1,2,01,kP XKppkp则211(),()pE XD Xpp. 5.如果X( , )U a b，则()2abE X，2()()12baD X. 6.如果X()E,则211(),()E XD X. 7.如果X2( ,)N,则2(),()E XD X. (四).切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意给定的0，总有21DXP XEX或21DXPXEX.切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道()E X和()D X的情况下估计概率P XEX的界限 . （五） .协方差1.协方差的概念设(,)X Y是二维随机变量，如果()()EXEXYEY存在，则 称

8、它 为 随 机 变 量X与Y的 协 方 差 ， 记 作C o v(,)X Y, 既Cov (,)X Y=()()EXEXYEY. 2.协方差的计算公式对任意两个随机变量X和Y，有(1)Cov (,)X Y=()()( )E XYE X E Y(2) ()2(,)D XYDXDYCov X Y3.协方差的性质(1) Cov (,)X Y=( ,)Cov Y X; (2)(,)(,)( ,)Cov aX bYabCov X Ya b是常数; (3)1212(, )(, )(,)Cov XX YCov X YCov XY. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

9、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - (六).相关系数1.相关系数的概念如果,X Y的方差都不等于零。则称(,)Cov X YDXDY为随机变量X与Y的 相 关 系 数 ， 记 为XY,即XY=(,)Cov X YDXDY.如 果()( )0D X D Y,则XY=0. 2.相关系数的性质(1)1XY; (2)1XY的充分必要条件是，存在常数,a b,使得1P YaXb. 3.对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的(1)(,)0Cov X Y; (2)X与Y不相关；(3)EXYEXEY; (

10、4) ()D XYDXXY. （七） .随机变量的矩设(,)X Y是二维随机变量.如果()klE X Y存在，则称()kE X为X的k阶原点矩；称() (2,3,)kE XEXk为X的k阶中心矩；称()klE X Y( ,1,2,)k l为X与Y的kl阶 混 合 原 点 矩 ； 称() () ( ,1,2,)klEXEXYEYk l为X与Y的kl阶混合中心矩 . 从上述定义看出：数学期望EX是X的一阶原点矩，方差DX是X的二阶中心矩。协方差(,)Cov X Y是X与Y的混合二阶中心矩. 二，典型例题选讲1.设随机变量(1)XE,记max(,1)YX,则()_E Y. 【分析】如果先去求Y的密度

11、( )Yfy，则计算量很大.直接用随机变量函数的数学期望的定义式，有( )max(,1)max( ,1) ( )E YEXxf x dx，其中( )fx为指数分布的密度函数，且,0( )0,0 xexf xx，所以00( )max( ,1) ( )max( ,1) 0max( ,1)xE Yxf x dxxdxxe dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - =111101121xxe dxxe dxeee. 2.设随机

12、变量X和Y相互独立，且(1,2),( 3,4)XNYN,则随机变量235ZXY的概率密度( )_f z. 【分析】因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以235ZXY服从正态分布 .要求22()21( )2xf ze， 则需确定参数与的值 .又2(),( )E ZD Z,因此归结为求()E Z和()D Z.根据数学期望和方差的性质及()1,()2,( )3,( )4E XD XE YD Y,可得()( 235)2()3 ()56E ZEXYE XE Y,()( 235)4()9()44D ZDXYD XD Y. 因此Z的概率密度为22(6)( 6)882 4411( ),

13、2442 22zzf zeezR. 3.设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回的抽取n次，每次1 个球 .设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则_EX. 【分析】令1,0iniX次中抽到过第 种颜色的球 (i=1,），否则，则12mXXXX，事件“0iX”表示n次中没有抽到第i中颜色的球，由于是有放回的抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有10(1)niP Xm，11111 1(1) ,()1(1) mmnniiiiiP XEXEXEXmmm. 4.设二维随机变量),(YX联合概率密度为(),0,0( , )0,xyyexyf x y其他(1) 求X与Y的相关系数；(2) 令XYZ =,求Z的数

14、学期望与方差. 【解法】首先计算YX ,的边缘密度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - ( )( , )Xfxf x y dy()0,0,00,00,0 xyxyedyxexxx( )( , )Yfyf x y dx,00,0yyeyy(1) 计算得知，对任何,x y，都有( )( )( , )XYfx fyf x y，因此XY与独立，从而其相关系数0XY. (2) 根据,X Y,的边缘概率密度可以求出它们的数字特征：

15、2001;2;xyEXxe dxEYy e dy2223002;6;xyEXx e dxEYy e dy由(1)知XY与独立，因此22XY与也独立 .于是()2,EZE XYEXEY2222()()2612,EZE XYE X Y故22()8.DZEZEZ5.将长度为L的棒随即折成两段，则较短的数学期望为_. 【分析】设X为这点到左端的距离，Y为较短段的长，则(0,)XUL,且1,2( )1,2XXLE YLXXL于是 ()( ) ( )EYE g Xg x f x dx=20211()4LLLLxdxLx dxLL6. 设1212,XXX是 取 自 总 体X的 一 个 简 单 随 机 样 本

16、 ，2,EXDX. 记1182512,YXX YXX求12YY与的相关系数 . 【分析】根据简单随机样本的性质，1212,XXX相互独立且与总体X同分布，于是有2,iiEXDX，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2,(,), ,1,2,12.0,0,iiDXijijCov X Yi jijij21181822512512()8,()8,DYD XXDXDXDYD XXDXDX1218512(,)(,)Cov Y YCov XXXX=55667788(,)(,)(,)(,)Cov XXCov XXCov XXCov XX=24, 于是12YY与的相关系数为2122212(,)40.588Cov Y YDYDY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -