2022年高一数学抽象函数常见题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学抽象函数常见题型抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的详细解析式,只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数；由于抽象函数表现形式的抽象性, 使得这类问题成为函数内容的难点之一；本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例 1. 已知函数fx2的定义域是 1,2,求 f（x）的定义域；1x24解：fx2的定义域是 1,2,是指1x2,所以fx2中的2 x 满意从而函数 f（x）的定义域是 1,4例 2. 已知函数f x 的定义域是1,2,求函数flog1 3x的定义域；21解：f x 的定义域是1,2,意思是凡被 f

2、 作用的对象都在1,2 中,由此可得log13x2123x111x112242所以函数flog1 3x 的定义域是11 ,42二、求值问题f例 3. 已知定义域为 R 的函数 f（x）,同时满意以下条件：f21,f6 1；5xy fxfy,求 f（3）, f（9）的值；解：取x2,y3,得f6 f2f3 1 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学抽象函数常见题型由于f2 1,f61,所以f3 455又取xy3f 38得f9f35三、值域问题例 4. 设函数 f（x）定义于实数集上,对于任意实数 x、y,f

3、 x y f x f y 总成立,且存在 x 1 x 2,使得 f x 1 f x 2 ,求函数 f x 的值域；解：令 x y 0,得 f 0 f 0 2,即有 f 0 0 或 f 0 1；如 f 0 0,就 f x f x 0 f x f 0 0,对任意 x R 均成立,这与存在实数 x 1 x 2,使得 f x 1 f x 2 成立冲突,故 f 0 0,必有 f 0 1；由于 f x y f x f y 对任意 x、y R 均成立,因此,对任意 x R,有f x f x x f x f x f x 202 2 2 2 2下面来证明,对任意 x R,f x 0设存在 x0 R,使得 f x

4、 0 0,就 f 0 f x 0 x 0 f x 0 f x 0 0这与上面已证的 f 0 0 冲突,因此,对任意 x R,f x 0所以 f x 0四、解析式问题例 5. 设对满意x0,x1的全部实数 x,函数fx满意fxfxx11x,2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学抽象函数常见题型求 f（x）的解析式；解：在fxfxx1 1x1中以xx1 代换其中 x,得：fxx1 fx112x12 x再在（ 1）中以x11代换 x,得fx1 1fxx23 x1 1 23化简得：fx x3xx 212x1评

5、析：假如把 x 和xx1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键；通常情形下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“ 消逝” ,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略；五、单调性问题有f例 6. 设 f（x）定义于实数集上,当x0时,f x 1,且对于任意实数x、y,xyfxfy,求证：f x 在 R 上为增函数；证明： 在fxyfxfy中取xy0,得f0f0 2如f00,令x0,y0,就fx0,与fx1 冲突所以f00,即有f0 1当x0时,fx10；当x0时,x0,fx103 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - -

6、 - - - - - - - 高一数学抽象函数常见题型而fx fxf01所以fx f1x0x 10,fx2x 1x1f1又当x0时,f010所以对任意xR,恒有f x0设x 1x2,就x2x1所以fx 2fx1x2x 1ffx2x 1所以yfx在 R 上为增函数；评析： 一般地,抽象函数所满意的关系式,应看作给定的运算法就,就变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联；六、奇偶性问题f例7. 已 知 函 数fxxR,x0对 任 意 不 等 于 零 的 实 数x、x2都 有x 1x 2fx1fx2,试判定函数 f（x）的奇偶性；解：取x 11,x21得：f1

7、 f1 f1 ,所以f1 0又取x1x21得：f1 f1 f1 ,所以f1 0再取x1x,x 21就fx f1 fx,即fxfx由于f x 为非零函数,所以fx为偶函数；4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学抽象函数常见题型七、对称性问题数y例 8. 已知函数yfx满意fxfx 2002,求f1xf12002x的值；解：已知式即在对称关系式faxfax2b中取a0,b2002,所以函fx的图象关于点（ 0,2002）对称；依据原函数与其反函数的关系,知函数yf1 x的图象关于点（ 2002,0）对称；

8、所以f1x1001 f1 1001x0将上式中的 x 用x1001 代换,得f1xf12002x0评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数,函数yfx对一切实数 x 都满意faxfax2b,就函数yfx的图象关于点（ a,b）成中心对称图形；八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数 f（x）满意：对任意实数 m,n,总有fmnfm fn ,且当 x0 时,0f（x）0 的结论；这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行；由特别到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的摸索和解决；7 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页