2022年高三数学一轮复习：椭圆.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五节椭圆备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.把握椭圆的定义、几何图形、1.椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考的重点考查内容,标准方程及简洁性质三种题型均有可能显现,如2022 年山东 T10 等2.明白圆锥曲线的简洁应用2.直线与椭圆位置关系问题始终是高考的重点,多以解答题3.懂得数形结合的思想. 形式考查,难度相对较大,如2022 年陕西 T19 等. 归纳 学问整合 1椭圆的定义 1满意以下条件的点的轨迹是椭圆 在平面内；与两个定点 F1、F 2 的距离之和等于常数；常数大于 |F1F2|. 2焦点：两定点3焦距：两焦点间的距离

2、探究 1.在椭圆的定义中,如 2a |F 1F 2|或 2a|F1F2|,就动点的轨迹如何？提示： 当 2a|F1F 2|时动点的轨迹是线段 F1F2；当 2ab0 221ab0ab图形性质范畴axa bx b bybay a名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对称性对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心： 0,0 A1a,0,A2a,0 A10, a,A20,a顶点B10, b,B20,b B1b,0,B2b,0 长轴 A1A2 的长为 2a 轴短轴 B1B2 的长为 2b焦距 |F 1F 2|2c离心率 ec a,

3、e0,1 a,b,c 的关系 c 2a 2b 2探究 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示： 离心率 ec 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 ba2c2就越小,椭圆就越扁a平；同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆自测 牛刀小试 2 21椭圆 16y 81 的离心率为 A. 13 B.1 2C. 3 3 D. 2 2解析： 选 D a 216,b 28, c 28, ec a2 . 22 22已知 F 1,F2是椭圆 x 16y 91 的两焦点,过点 F 2 的直线交椭圆于 A,B 两点,在AF 1B 中,如有两边之和是 10,就第三边的长度为 A6 B5 C4 D3

4、解析： 选 A 依据椭圆定义,知AF1B 的周长为 4a16,故所求的第三边的长度为 16106. 名师归纳总结 3椭圆 x 2my 21 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就m 的值为 第 2 页,共 18 页A.1B.142C2 D4 解析： 选 A由题意知 a21 m,b21,且 a2b,就1 m4,得 m1 4. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 4如椭圆x 162y m 21 过点 2,3,就其焦距为 A2 3 B2 5 C4 3 D4 5 解析： 选 C 把点 2,3的坐标代入椭圆方程得 m 24,所以 c 216412,所以c

5、2 3,故焦距为 2c4 3. 2 25设 F 1、F2分别是椭圆 x 25 y 161 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点, |OM |3,就 P 点到椭圆左焦点的距离为 _解析： 由题意知 |OM |1 2|PF2|3,就 |PF2|6.故|PF 1|2 564. 答案： 4 椭圆的定义、标准方程2例 1 1已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x3 y 21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,就ABC 是周长是 A2 3 B6 C4 3 D12 2 222022山东高考 已知椭圆 C：xa 2yb 21ab0的离心率为 2 .双曲线

6、x 3 2 y 2 1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,就椭圆 C 的方程为 2 2 2 2A.x 8y 21 B. x 12y 61 2 2 2 2C. 16y 41 D. x 20y 51 自主解答 1依据椭圆定义,ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍,即 4 3. 2由离心率为 2得, a 3 24b 2,排除选项 B,双曲线的渐近线方程为 yx,与椭圆的四交点组成的四边形的面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为 2,2,代入选项 A 、C、D,知选项 D 正确名师归纳总结 答案 1C2D 第 3 页,共 18 页- - - - - - -精

7、选学习资料 - - - - - - - - - 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤1作判定：依据条件判定椭圆的焦点在x 轴上,仍是在y 轴上,仍是两个坐标轴都有可能；2设方程：依据上述判定设方程2 2 2 2a x 2y b 21ab0或x b 2y a 21ab0；3 找关系：依据已知条件,建立关于 a、b、c 或 m、n 的方程组；4 得方程：解方程组,将解代入所设方程,即为所求 . 留意： 用待定系数法求椭圆的方程时,要“ 先定型,再定量” ,不能确定焦点的位置时,可进行分类争论或把椭圆的方程设为 mx 2ny 21 m0,n0 . 31已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离

8、心率为 2,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 12,就椭圆 G 的方程为 _2 2解析： 设椭圆方程为 xa 2y b 21ab0,依据椭圆定义 2a12,即 a6,又c a2,得 32 2c3 3,故 b 2 a 2c 236279,故所求椭圆方程为 36 y 9 1. 2 2答案：x 36y 91 2 22已知 F 1,F2是椭圆 C：x a 2b y21ab0的左、右焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF 1 PF2.如 PF 1F2的面积为 9,就 b_. 解析： 设椭圆的焦点坐标为 c,0依据椭圆定义和PF 1F2 是一个面积等于9 的直角三角形,|PF1|PF 2|2a,有

9、|PF1| |PF 2|18,|PF1| 2|PF 2| 24c 2. 式两端平方并把、两式代入可得 4c 2364a 2,即 a 2c 29,即 b 29,故 b3. 答案： 3 椭圆的几何性质及应用例 22 2022 安徽高考 如图, F 1,F2分别是椭圆 C：x a 22 yb 21ab0的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF 2与椭圆 C 的另一个交点, F 1AF 260. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求椭圆 C 的离心率；2已知 AF 1B 的面积为 40 3,求 a,b 的

10、值自主解答 1由题意可知,AF 1F2为等边三角形,a2c,所以 e1 2. 2法一： a 2 4c 2,b 23c 2,直线 AB 的方程可为 y3xc将其代入椭圆方程 3x24y212c2,得 B 8 5c,35 c . 3所以 |AB|1 38 5c0 165 c. 由 S AF 1B12|AF 1| |AB|sin F1AB12a165 c22 5 a 3 240 3,解得 a10,b5 3. 法二： 设|AB|t. 由于 |AF 2|a,所以 |BF 2|ta. 由椭圆定义 |BF1| |BF 2|2a 可知, |BF 1|3a t. 再由余弦定理 3at2a2t22atcos 60

11、 可得,t8 5a. 22 3 5 a 2403知,由 S AF 1B1 2a8 5aa10, b53. 椭圆离心率的求法求椭圆的离心率或范畴 时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c 的等式 或不等式,利用 a 2b 2c 2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范畴名师归纳总结 3椭圆2 xa 22 yb 21ab0的两顶点为Aa,0,B0,b,且左焦点为F, FAB 是以角 B第 5 页,共 18 页为直角的直角三角形,就椭圆的离心率e 为 A.31B.51221C. 45D.3 14解析： 选 B依据已知a2b 2a 2 ac2,即 c 2aca 20,即 e 2e10,解得e15,故所

12、求的椭圆的离心率为51. 224椭圆2 xa 22 y 51a 为定值,且a5的左焦点为F,直线 xm 与椭圆相交于点A,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B, FAB 的周长的最大值是12,就该椭圆的离心率是_解析： 设椭圆右焦点为 F,由图及椭圆定义知,|AF|AF|BF|BF|2a. 又 FAB 的周长为 |AF |BF |AB|AF |BF |AF|BF|4a,当且仅当 AB 过右焦点 F时等号成立,此时4a12,就 a3,故椭圆方程为2 2x 9y 51, 所以 c2,所以ec a2 3. 答案：23直线与椭圆的综合例 3如图,椭圆C：2 x

13、a 22 yb 21ab0的离心率为1 2,其左焦点到点P2,1的距离为10.不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段AB被直线 OP 平分1求椭圆 C 的方程；2求 ABP 面积取最大值时直线 l 的方程自主解答 1设椭圆左焦点为 Fc,0,就由题意得2c 2110,c1,解得a1 2,a2.2 2所以椭圆方程为 x 4y 31. 2设 Ax1,y1,Bx2,y2,线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线AB 的方程为 x0,与不过原点的条名师归纳总结 件不符,舍去故可设直线AB 的方程为 y kxmm 0,第 6 页,共 18 页由ykxm,消去

14、 y,整理得3x 24y21234k2x 28kmx4m2120,就 64k2m 2434k 24m2120,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1x2 8km 3 4k 2,x1x2 4m 34k 2122 .2km 34k 2. 所以线段 AB 的中点 M 4km 34k 2,3m2 . 34k由于 M 在直线 OP：y1 2x 上,所以3m 234k得 m0舍去 或 k3 2. 此时方程为3x23mxm230,就x1x2m,312m 20,x1x2m 233.所以 |AB|1 k 2 |x 1x2|39 612m2. 设点 P 到直线 AB 距离

15、为 d,就d|82m| 3 2222|m4| . 设 ABP 的面积为 S,就名师归纳总结 S1 2|AB| d3 6m42 12m2 . 第 7 页,共 18 页其中 m2 3,00,23令 um12m 2m42,m2 3,2 3 ,um 4m4m 22m6 4m4m17m17所以当且仅当m17时, um取到最大值故当且仅当m 17时, S 取到最大值综上,所求直线l 方程为 3x 2y2 72 0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题2处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法5 2022

16、 洛阳模拟已知椭圆x2 yb 2 1ab0 的离心率为2 2,短轴的一个端点为2aM0,1,直线 l ：ykx1 3与椭圆相交于不同的两点 A,B. 1如|AB|49 26,求 k 的值；2求证：不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. 解： 1由题意知c a2,b1. 2由 a 2b 2c 2可得 c b1,a2,2椭圆的方程为 x2y 21. 1由 ykxx2y 221,3,得2k 21x 24 3kx1690. 16 9 k 2 42k 2116916k 264 9 0 恒成立设 Ax1,y1, Bx2,x2,就 x1x24k 3 2k 21,x1x216 9 2k 21,1k

17、 2 9k 2 43 2k 214 26 9,|AB|1k2|x1x2|1k 2x1x224x1x24化简得 23k4 13k 2100,即 k2123k 2100,解得 k1. 2证明： MA x1,y11,MBx2,y2 1, MA MB x1x2y11 y21 名师归纳总结 1k 2x1x24 3kx1 x216 9第 8 页,共 18 页216 1k 9 2k 212 9 2k 16k 2116- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0. 不论 k 取何值,以AB 为直径的圆恒过点M. y 轴上 .1 个规律 椭圆焦点位置与x 2、y2 系数之间的关

18、系2 2给出椭圆方程x m y n 1 时,椭圆的焦点在x 轴上 . mn0；椭圆的焦点在0mn. 1 种思想 数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,摸索时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系2 种方法 求椭圆标准方程的方法1定义法：依据椭圆定义,确定a2,b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程2待定系数法：依据椭圆焦点是在x 轴仍是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后依据条件确定关于a、b、c 的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程3 种技

19、巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧1椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的全部距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为 ac,最小距离为 a c. 2求椭圆离心率 e 时,只要求出 a, b,c 的一个齐次方程,再结合 b 2a 2c 2就可求得e0e0” 是“ 方程mx 2ny21 的曲线是椭圆” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析： 选 B 由于当 m0,n0,n0,mn0. 2 22已知椭圆：10m xm2 y1 的焦距为 4,就 m 等于 A4 B8 C4 或 8 D以上均不对10m0,解析： 选 C 由 得 2m0,

20、由题意知 10mm 24 或m210m4,解得 m4 或 m8. 3矩形 ABCD 中, |AB|4,|BC|3,就以 A,B 为焦点,且过 C, D 两点的椭圆的短轴的长为 A2 3 B2 6 C4 2 D4 3 解析： 选 D 依题意得 |AC| 5,所以椭圆的焦距为 2c|AB|4,长轴长 2a |AC|BC|8,所以短轴长为 2b2 a 2c 22 1644 3. 2 242022 汕尾模拟 已知 P 为椭圆x 25y161 上的一点, M,N 分别为圆 x 32y21和圆 x 3 2y 24 上的点,就 |PM |PN|的最小值为 A5 B7 C13 D15 解析： 选 B 由题意知

21、椭圆的两个焦点 F 1, F2 分别是两圆的圆心,且 |PF1|PF 2|10,从而 |PM|PN|的最小值为 |PF1|PF 2| 127. 5以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 如图,设线段是B相交A内切C相离D无法确定解析： 选 APF1, O1 是线段 PF1 的中点,连接O1O,PF 2,其中 O 是椭圆的中心,F2 是椭圆的另一个焦点,就在名师归纳总结 PF 1F 2中,由三角形中位线定理可知,两圆的连心线的长是|OO 1|1第 12 页,共 18 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |PF 2|1

22、 22a|PF 1|a1 2|PF 1|Rr. 2 262022 新课标全国卷 设 F 1,F2是椭圆 E：x a 2yb 21ab0的左、右焦点,P 为直线x3a 2上一点,F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形,就 E 的离心率为 1 2A. 2 B. 33 4C. 4 D. 5解析： 选 C 依据题意直线 PF2 的倾斜角是 3,所以 3 2ac1 2|PF 2|1 2|F1F2| 1 2 2c,解得 e3 4. 二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 2 27如椭圆 xa 2yb 21ab0与曲线 x 2y 2a 2b 2 恒有公共点,就椭圆的离心率 e 的取值

23、范畴是 _解析： 由题意知,以半焦距 c 为半径的圆与椭圆有公共点,故 bc,所以 b 2c 2,即a 22c 2,所以 2c a.又 a1,所以 c2eb0的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F 2.如 |AF1|,|F 1F 2|, |F1B|成等比数列,就此椭圆的离心率为 _解析： 依题意得 |F 1F2| 2|AF 1| |BF1|,即 4c 2ac aca 2c 2,整理得 5c 2 a 2,得 ec a5 . 5答案：552 2x y 39已知椭圆 C：a 2b 21ab0 的离心率为 2 .过右焦点 F 且斜率为 kk0的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点如

24、AF 3 FB ,就 k_. 解析： 依据已知c a3 2,可得a 24 3c2,就 b 21 3c 2,故椭圆方程为3x22 3y 2c 2 1,即 3x24c12y 24c20.设直线的方程为x myc,代入椭圆方程得3m212y26mcy c 2 0.设Ax1,y1,Bx2,y2,就依据AF 3 FB ,得 cx1, y1 3x2 c,y2,由此得 y1名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3y2,依据韦达定理y1y22cm m 24,y1y22 c3 m 24,把 y13y2代入得, y2cm m 24,3y

25、2 22 3 m c 2 4 ,故 9m 2m24,故 m 21 2,从而 k22,k 2. 43和 2 5 3,又 k0,故 k2. 答案：2 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 10已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程解： 设两焦点为 F 1,F 2,且 |PF 1|4 5 3,|PF 2|2 3 . 5由椭圆定义知 2a|PF 1|PF2|2 5,即 a5. 由|PF1|PF 2|知, |PF 2|垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt PF2F 1 中, sinPF 1F

26、 2|PF2| |PF1|1 2. 2, 0斜率为 1 的直 P 3,2可求出 PF 1F2 6,2c|PF 1| cos 62 5,从而 b2a2c210 3 . 所以所求椭圆方程为2 2 2 2x 53y 10 1 或3x 10y 51. 11已知椭圆G：2 xa 22 yb 21ab0的离心率为6 3,右焦点为 2线 l 与椭圆 G 交于 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为1求椭圆 G 的方程；2求 PAB 的面积解： 1由已知得 c2 2,c a6 3,解得 a23,又 b2a2c24. 2 所以椭圆 G 的方程为x 122y 1. 42设直线 l 的方程为 yxm.

27、 由yxm,得 4x 26mx3m2 120.x22y 41,12设 A,B 的坐标分别为 x1,y1, x2,y2x1b0,右焦点为ab因 AB1B2 是直角三角形,又|AB1|AB2|,c故 B1AB2 为直角,因此 |OA|OB2|,得 b2. 结合 c 2a 2b 2 得 4b 2 a 2b 2,故 a 25b 2,c 2 4b 2,所以离心率 ec a2 5 5. 在 Rt AB 1B2中, OAB1B2,故名师归纳总结 S AB1B21 2|B1B2| |OA |OB2| |OA|c 2bb2. 第 15 页,共 18 页由题设条件S AB 1B24,得 b 2 4,从而 a 25b 220. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此所求椭圆的标准方程为x22y 41. 202由1知 B12,0,B22,0由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为xmy2.代入椭圆方程得m 25y24my160. 设 Px1,y1, Qx2,y2,就 y1,y2 是上面方程的两根,因此 y1y2