2022年高三数学立体几何经典例题 .pdf

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1、厦门一中立体几何专题一、选择题 (105=50) 1.如图 ,设 O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心，过 O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为 Q、R、S，则PSPRPQ111( ) A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等D.是一个与平面QRS 位置无关的常量2.在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( ) A.,1nnB.,2nnC.2,0D.nnnn1,23.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a,点 E、F、G、H 分别是 PA、PB、BC、AC 的中点， 则四边形 EFGH的面积的取

2、值范围是( ) A.(0,+ ) B.,332aC.,632aD.,212a4.已知二面角-a-为 60，点 A 在此二面角内，且点A 到平面、的距离分别是AE=4，AF=2，若 B ,C,则 ABC 的周长的最小值是( ) A.43B.27C.47D.235.如图，正四面体A-BCD 中， E 在棱 AB 上， F 在棱 CD 上，使得FDCFEBAE=(0+),记 f ( )=+,其中表示 EF 与 AC 所成的角，表示 EF 与 BD 所成的角，则( ) A.f ()在(0,+)单调增加B.f ( )在(0,+)单调减少C.f ()在(0,1)单调增加 ,在(1,+)单调减少D.f ()

3、在(0,+)为常数6.直线 a平面 ,直线 a 到平面的距离为1，则到直线a 的距离与平面的距离都等于54的点的集合是( ) A.一条直线B.一个平面C.两条平行直线D.两个平面7.正四棱锥底面积为Q，侧面积为S，则它的体积为( ) A.)(6122QSQB.)(3122QSQC.)(2122QSQD.SQ318.已知球 O 的半径为 R，A、B 是球面上任意两点，则弦长|AB|的取值范围为( ) 第 1 题图第 5 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 1

4、1 页 - - - - - - - - - A.0,2RB.(0,2R C.（0,2R）D.R,2R9.已知平面平面=l,m 是平面内的一条直线，则在平面内（）A.一定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直B.一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C.不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线 m 垂直D.不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线 m 垂直10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 二、填空题 （44=16）11.边长为a 的等边三角形内任一

5、点到三边距离之和为定值，这个定值为;推广到空间，棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和为. 12.在 ABC 中， AB=9，AC=15， BAC=120，其所在平面外一点P 到 A、B、C 三个顶点的距离都是 14，则 P 点到直线BC 的距离为. 13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是. 14.有 120 个等球密布在正四面体A-BCD 内，问此正四面体的底部放有个球 . 三、解答题 （410+14=54）15.定直线 l1平面 ,垂足为 M，动直线 l2在平面内过定点N，但不过定

6、点M.MN=a 为定值，在l1、l2上分别有动线段AB=b,CD=c.b、c 为定值 .问在什么情况下四面体ABCD 的体积最大？最大值是多少？16.如图所示，已知四边形ABCD 、EADM 和 MDCF 都是边长为a 的正方形，点P、Q 分别是 ED 和AC 的中点，求：（1）PM与FQ所成的角；（2）P 点到平面EFB 的距离 ; （3）异面直线PM 与 FQ 的距离 . 17.如图，在梯形ABCD 中，ABCD，ADC90,3AD=DC=3,AB=2,E 是 CD 上一点，满足DE1，连结 AE，将 DAE 沿 AE 折起到 D1AE 的位置，使得D1AB60,设 AC 与 BE 的交点

7、为O. (1)试用基向量AB,AE,1AD表示向量1OD第 10 题图第 16 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - (2)求异面直线OD1与 AE 所成的角 . (3)判断平面D1AE 与平面 ABCE 是否垂直，并说明理由. 18.如图，在斜棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为 60 ,顶点 B1在底面 ABC 上的射影 O 恰好是 AB 的中点 . （1）求证

8、： B1CC1A；（2）求二面角C1-AB-C 的大小 . 19.如图所示， 在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC ，BC=2a,AC=a,AB=3a,点 P 到平面 ABC 的距离为23a. （1）求二面角P-AC-B 的大小；（2）求点 B 到平面 PAC 的距离 . 第 17 题图第 18 题图第 19 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 立体几何练习参考答案一、选择题1.D 设正三棱锥P-ABC

9、中，各棱之间的夹角为,棱与底面夹角为,h 为点 S 到平面 PQR 的距离，则 VS-PQR=31SPQRh=31(21PQPRsin)PSsin,另一方面，记O 到各平面的距离为d,则有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=31SPQRd+31SPRSd+31SPQS d=3d21 PQ PR sin+3d21PS PR sin+3d21 PQ PSsin.故有 PQ PRPS sin=d(PQ PR+PR PS+PQ PS)， 即PSPRPQ111=dsin=常量 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

10、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2.B 设正 n 棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为.当 h0 时，正 n 棱锥的极限为正n 边形，这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角. 当 h时，正 n 棱锥的极限为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n 边形的内角，即nn2.故选 B. 3.B 如图，易知四边形EFGH 为矩形，当P底面 ABC 的中心 O 时，矩形 EFGH 矩形 E1F1GH. GHFES11矩形=E1F1F1G=a33a=33a2. 即 S矩形EFGH33a2.当 P时， S矩形EFGH .

11、 S矩形EFGH,332a.故选 B. 4.C 如图， aAE,aAF,a平面 AEF. 设 a 交平面 AEF 于点 G，则 EGF 是二面角 -a-的平面角，EGF=60,EAF=120,且易知当ABC 的周长最小时，BEG,CFG. 设点 A 关于平面的对称点为A,点 A 关于平面的对称点为A,连结 AA,分别交线段EG、FG 于点 B、C,则此时 ABC 的周长最短，记为l.由中位线定理及余弦定理得l=2EF=2120cos2422422=47. 5.D 因为ABCD 是正四面体，故ACBD,作 EGAC 交 BC 于 G，连结GF，则=GEF,且FDCFEBAEGBCG, GFBD,

12、故 GFEG,且=EFG,f ()=+=90为常数 . 6.C 这两条直线在距a 为51的平面上，分布在a 在该平面上的射影的两侧. 7.A 设正四棱锥各棱长均为1，则 Q=1，S=3，此时，正四棱锥的高h=22, V=31Qh=62,将 Q=1，S=3代入选择支，知A 正确 . 8.B 考虑 A、B 两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B 两点应为直径的两端点时的情况. 点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A，球的最长弦就是直径，但球没有最短弦. 9.C 若 ml，则内必有与m 平行的直线；若m 与 l 相交，则内无直线与m 平行 . 第 3 题图解第 4

13、题图解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 不一定存在直线与直线m 平行，排除 A、B.又内一定存在与m 在内的射影垂直的直线，由三垂线定理知，内一定存在直线与m 垂直 ,故选 C. 10.B 本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力,该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有7 个顶点 . 二、填空题11.a23;36a 本题通过等积找规律. 12.727分析P 点到 A、B、C 距离相等，故P 点

14、在平面ABC 上的射影是三角形ABC 的外心，故可由 ABC 的已知条件求出ABC 外接圆半径，进而求得P 点到平面ABC 的距离，及外心到直线BC 的距离，从而最终解决问题. 解记 P 点在平面 ABC 上的射影为O，则 AO、BO、CO 分别是 PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影PA=PB=PC ,OA=OB=OC , O 为 ABC 的外心 . 在 ABC 中， BC=15915922=21 由正弦定理，2R=120sin21,R=73P 点到平面ABC 的距离为7371422. O 点到直线BC 的距离 OD=327221)37(22(D 为 BC 边的中点 ) OP平面 AB

15、C，ODBC,PDBC. P 到 BC 的距离 PD=727327722. 13.3 如图所示，作CEAD，连结 EF，易证 EFAD, 则 CEF 为面 ADF 和面 ACD 所成二面角的平面角.设 G 为CD 的中点，同理AGB 为面 ACD 和面 BCD 所成二面角的平面角，由已知CEF=AGB. 设底面 CDF 的边长为2a,侧棱 AD 长为 b.在 ACD 中，CE b=AG2a,所以 CE=baabbaAG2222在 ABC 中，易求得AB=22222342332abab, 由 CEF AGB 得CEAGCFAB,即abababaab22342222222解得 b=34a,因此 b

16、=2 时，2a=3,最远的两顶点间距离为3. 14.36 正四面体ABCD 的底部是正 BCD,假设离 BC 边最近的球有n 个，则与底面BCD 相切的球第 13 题图解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 也有 n 排，各排球的个数分别为n、n-1、 3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+n=2)1(nn个.由于正四面体各面都是正三角形.因此，正四面体内必有n 层球，自上而下称为：第1 层、第 2 层、第n层，

17、那么第n-1 层，第 n-2 层，第 2 层，第 1 层球的个数分别是：1+2+n=2)1(nn、1+2+n-1=2)1(nn, 1+2=232,1=221,1202212) 1(2)1(nnnn即61n(n+1)(n+2)=120. 即(n-8)(n2+11n+90)=0,n=8,因此正四面体内共有8 层小球，其底部所放球数为298=36(个). 三、解答题15.分析在四面体 ABCD 的基础上，补上一个三棱锥B-MCD . 解如图，连结MC、MD，则AM平面 MDC ，BM平面 MDCVA-BCD=VA-MDC-VB-MDC=31SMDC(AM-BM ) =31SMDCAB设 M 到 CD

18、 的距离为 x,则 SMDC=21CDx=21cx, VA-BCD=3121cxb=61bcxxMN=a,当 x=a 时，即 MN 为 l1与 l2的公垂线时， VA-BCD最大，它的最大值为61abc. 点评xMN,包含 x=MN,也包含 xMN ,垂线段小于斜线段. 16.解建立空间直角坐标系，使得D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)，M（0,0,a）,E(a,0,a)，F（0,a,a） ，则由中点坐标公式得P(2a,0,2a),Q(2a,2a,0), (1) 所以PM=(-2a,0,2a),FQ(2a,-2a,-a),PMFQ=(-2a)2a+0+2a(

19、-a)=-43a2, 且|PM|=22a,|FQ|=26a,所以 cosPM,FQ=23262243|2aaaFQPMFQPM. 故得两向量所成的角为150; (2) 设 n=(x,y,z)是平面 EFB 的单位法向量，即|n|=1,n平面 EFB，所以 nEF,且 nBE, 第 15 题图解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 又EF=(-a,a,0)，BE=（0,-a,a）,即有,0,0, 1222azayaya

20、xzyx得其中的一个解是;33,33,33zyxn=33,33,33,PE=2,0,2aa, 设所求距离为d,则 d=|PEn|=a33; (3) 设 e=(x1,y1,z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由PM=2,0,2aa,FQ=aaa,2,2, 得. 022,022, 111111212121azyaxazaxazyx求得其中的一个e=33,33,33，而MF=(0,a,0)，设所求距离为m,则 m=|MF e|=|-33a|=33a. 17.解（1）根据已知，可得四边形ABCE 为平行四边形，所以O 为 BE 中点 . AEABADAEABADAOADOD2121)(211

21、111. (2). 1)2(2145cos222145cos21)2121(211AEAEABADAEOD(1OD)2=(1AD-21AB -21AE)2=23, |1OD|=26. cos=332261|11AEODAEOD, 所以 OD1与 AE 所成角为 arccos33. (3)设 AE 的中点为M，则1MD=1AD-21AE. 1MD AB =1AD AB -21AE AB=12cos60-2122cos45=0, 1MD AB . 1MD AE=1AD AE -212AE=2cos 45-21(2)2=0,1MD AE. 所以 MD1垂直于平面ABCE 内两条相交直线,MD1平面

22、ABCE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 而 D1M 平面 AD1E，所以平面AD1E平面 ABCE. 18.(1)解法一连结 BC1、CO，B1O平面 ABC，COAB， B1CAB，又在菱形BB1C1C 中，B1CBC1，B1C平面 ABC1， B1CC1A. （2）作 C1Q平面 ABC 于 Q 点，连接 AQ， C1CQ 是侧棱与底面所成的角，即C1CQ=60, 在 C1CQ 中， CQ=21CC1=

23、AO，C1Q=23CC1，由 BC，B1C1，OQ 平行且相等，又COAB,QAAB,C1AAB, QAC1是二面角 C1-AB-C 的平面角 , 在 AQC1中， C1Q=AQ， QAC1=45解法二（ 1）以 O 为原点， OC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，B1O平面 ABC， B1BO 是侧棱与底面所成角，B1BO=60. 设棱长为2a,则 OB1=3a,BO=a,又 CO 为正三角形的中线，CO=3a. 则 A(0,a,0),B(0,-a,0),C(3a,0,0),B1(0,0,3a),C1(3a,a,3a). CB1=(3a,0,-3a),AC

24、1=(-3a,0,-3a). CB1AC1=-3a2+0+3a2=0,B1CC1A. (2)在 C1AB 中， |AC1|=6a,|1BC|=|（3a,2a,3a）|=10a,| AB|=2a, SC1AB=6a2, 作 C1Q平面 ABC 于 Q 点，则 Q(3a,a,0). SABQ=3a2,设二面角 C1-AB-C 的平面角为 , 则 cos=221ABCABQSS. 二面角 C1-AB-C 的平面角为45. 19.（ 1）解法一由条件知 ABC 为直角三角形，BAC=90, 第 18 题图解（ 1）第 18 题图解（ 2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

25、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - PA=PB=PC ,点 P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的外心，即斜边BC 的中点 E，取 AC 中点 D，连结 PD、DE、PE，PE平面 ABC. DE AC( DEAB).ACPD,PDE 为二面角 P-AC-B 的平面角 . tanPDE =32323aaDEPE, PDE=60,故二面角 P-AC-B 的平面角为60. 解法二设 O 为 BC 的中点，则可证明PO面 ABC，建立如图空间直角坐标系，则 A0,23,21aa,

26、B(-a,0,0),C(a,0,0),Pa230, 0, AC 中点 D0,43,43aa,AB =0,23,23aa, DP =aaa23,43,43AB AC,PA=PC,PDAC, cos即为二面角P-AC-B 的余弦值 . 而 cos=21491631690434904323)43)(23(22222aaaaaaaaa二面角 P-AC-B 的平面角为60(2)解法一PD=aaaDEPE349432222, SAPC=21ACPD=223a设点 B 到平面 PAC 的距离为 h, 则由 VP-ABC=VB-APC得31SABCPE=31SAPCh, h=aaaaaSPESAPCABC23

27、23233212. 第 19 题图解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 故点 B 到平面 PAC 的距离为a23. 解法二点 E 到平面 PAC 的距离容易求得，为43a,而点 B 到平面 PAC 的距离是其2 倍, 点 B 到平面 PAC 的距离为a23. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -