2022年高一数学直线与平面的平行判定和性质经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题一例 1 简述以下问题的结论,并画图说明：（1）直线 a 平面,直线 b a A,就 b 和 的位置关系如何？（2）直线 a,直线 b / a,就直线 b 和 的位置关系如何？分析：（1）由图（ 1）可知： b 或 b A；（2）由图（ 2）可知：b / 或 b说明： 此题是考查直线与平面位置关系的例题,要留意各种位置关系的画法与表示方法典型例题二例 2 P 是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证：PC/平面 BDQ 分析： 要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线

2、平行就可以了证明： 如下列图,连结 AC ,交 BD 于点 O ,四边形 ABCD 是平行四边形AO CO,连结 OQ ,就 OQ 在平面 BDQ 内,且 OQ 是 APC 的中位线,PC / OQ PC 在平面 BDQ 外,PC/平面 BDQ 说明： 应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,怎样找这始终线呢？由于两条直线第一要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,那么就能够立刻得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面,得交线,如线线平行,就线面平行名师归纳总结 - - - - - - -第

3、1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题三例 3 经过两条异面直线a , b 之外的一点 P ,可以作几个平面都与a , b 平行？并证明你的结论分析： 可考虑 P 点的不同位置分两种情形争论解：（1）当 P 点所在位置使得 a , P （或 b , P ）本身确定的平面平行于 b （或 a ）时,过 P 点再作不出与 a , b 都平行的平面；（2）当 P 点所在位置 a , P （或 b , P ）本身确定的平面与 b （或 a ）不平行时,可过点 P 作 a / a,b / b由于 a ,b 异面,就 a ,b 不重合且相交于

4、P由于 a b P,a ,b 确定的平面,就由线面平行判定定理知：a /,b /可作一个平面都与 a , b 平行故应作“0 个或 1 个” 平面说明： 此题解答简单忽视对 P点的不同位置的争论,漏掉第（1）种情形而得出可作一个平面的错误结论可见,考虑问题必需全面,应区分不怜悯形分别进行分类争论典型例题四例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面已知： 直线a /b,a/平面, ba/,为了利用直线和求证：b/证明： 如下列图,过a 及平面内一点 A作平面设c ,a/,a /c又a/b,b/c b, c,b/说明： 依据判定定理,只要在内找一条直线c/b

5、,依据条件平面平行的性质定理,可以过a 作平面与相交,我们常把平面称为帮助平面,它可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化和平面几何中添置帮助线一样,在构造帮助平面时,第一要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“ 直线及直线外一点确定一个平面” 为依据来做出帮助平面的典型例题五名师归纳总结 例 5已知四周体SABC的全部棱长均为a 求：第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）异面直线 SC、AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长；（2）异面直线 EF 和 SA所成的角分析： 依异面直线的公垂线的概念求

6、作异面直线SC、AB的公垂线段,进而求出其距离；对于异面直线所成的角可实行平移构造法求解解：（1）如图, 分别取SC、AB的中点E、F,连结SF、CFa由已知,得SABCAB SFCF, E 是 SC的中点,EFSC同理可证EFAB EF 是SC、AB的公垂线段在RtSEF中,SF3a,SE122EFSF2SE 23a21a22a442（2）取 AC 的中点 G ,连结 EG ,就 EG/ EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线SAEF 和 SA所成的角连结 FG ,在RtEFG中,EG1a,GF1a,EF2a222由余弦定理,得cosGEFEG2EF2GF21a212a221a2244

7、42EGEF22aaGEF4522故异面直线 EF 和 SA所成的角为 45 说明： 对于立体几何问题要留意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来,然后再求值典型例题六例 6假如一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内名师归纳总结 已知： 直线a/, B,Bb,b /a第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载外,求证： b分析： 由于过点 B 与 a 平行的直线是惟一存在的,因此,此题就是要证明,在平面 不存在过 B 与 a 平行的直线,这是否定性命题,所以使用

8、反证法证明： 如下列图,设b,过直线 a 和点 B 作平面,且b a/,b/b和b 同时平行于直线a ,与平行公理冲突这样过 B 点就有两条直线 b 必在内说明： 1本例的结论可以直接作为证明问题的依据2本例仍可以用同一法来证明,只要转变一下表达方式如上图,过直线 a 及点 B 作平面,设 b a /,b /这样,b 与 b 都是过 B 点平行于 a 的直线,依据平行公理,这样的直线只有一条, b 与 b 重合b, b典型例题七例 7 以下命题正确的个数是（）1如直线 l 上有很多个点不在平面 内,就 l /；2如直线 l 平行于平面 内的很多条直线,就 l /；3如直线 l 与平面 平行,就

9、 l 与平面 内的任始终线平行；4如直线 l 在平面 外,就 l /A0 个 B1 个 C2 个 D3 个分析： 此题考查的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的精确懂得是解此题的关键要留意直线和平面的位置关系除了依据直线和平面公共点的个数来分类,仍可以依据直线是否在平面内来分类名师归纳总结 解： 1直线 l 上有很多个点不在平面内,并没有说明是所在点都不在平面内,因而第 4 页,共 15 页直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要留意“ 很多” 并非“ 全部”2直线 l 虽与内很多条直线平行,但 l 有可能在平面内, 所以直线 l 不肯定平行3这是初学直线与平面平行的性质常常见错

10、误,借助教具我们很简单看到当l/时,如 m且m/l,就在平面内,除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线 4直线 l 在平面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 外,应包括两种情形：l/和 l 与优秀学习资料欢迎下载相交,所以 l 与不肯定平行应选 A说明： 假如题中判定两条直线与一平面之间的位置关系,解题时更要留意分类要完整,考虑要全面如直线l 、m 都平行于,就 l 与 m 的位置关系可能平行,可能相交也有可能异面；再如直线l /m、 /,就 m 与的位置关系可能是平行,可能是m 在内典型例题八例 8 如图,求证：两条平行线中的一条和已

11、知平面相交,就另一条也与该平面相交已知： 直线 a / b,a 平面 P求证：直线 b 与平面 相交分析： 利用 a / b 转化为平面问题来解决,由 a / b 可确定一帮助平面,这样可以把题中相关元素集中使用,既制造了新的线面关系,又将三维降至二维,使得平几学问能够运用解： a / b, a 和 b 可确定平面a P,平面 和平面 相交于过点 P 的直线 l 在平面 内 l 与两条平行直线 a 、 b 中一条直线 a 相交, l 必定与直线 b 也相交,不妨设 b l Q,又由于 b 不在平面 内（如 b 在平面 内,就 和 都过相交直线 b 和 l ,因此 与 重合, a 在 内,和已知

12、冲突） 所以直线 b 和平面 相交说明： 证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线假如经过平面内一点,又经过平面外一点,就此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）典型例题九例 9 如图,求证：经过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面与另一条直线平行已知： a 与 b 是异面直线求证：过b且与a平行的平面有且只有一个名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载的含义“ 有”分析：此题考查存在性与唯独性命题的证明方法解题时要懂得

13、“ 有且只有”就是要证明过直线b 存在一个平面,且a/,“ 只有” 就是要证满意这样条件的平面是唯一的存在性常用构造法找出（或作出）平面,唯独性常借助于反证法或其它唯独性的结论证明： 1在直线 b 上任取一点 A ,由点 A 和直线 a 可确定平面在平面 内过点 A 作直线 a ,使 a / a,就 a 和 b 为两相交直线,所以过 a 和 b 可确定一平面 b, a 与 b 为异面直线, a又a / a ,a,a /故经过 b 存在一个平面 与 a 平行2假如平面 也是经过 b 且与 a 平行的另一个平面,由上面的推导过程可知 也是经过相交直线 b 和 a 的由经过两相交直线有且仅有一个平面

14、的性质可知,平面 与 重合,即满意条件的平面是唯独的说明：对于两异面直线 a 和 b ,过 b 存在一平面 且与 a 平行,同样过 a 也存在一平面且与 b 平行而且这两个平面也是平行的（以后可证）对于异面直线 a 和 b 的距离,也可转化为直线 a 到平面 的距离,这也是求异面直线的距离的一种方法典型例题十例 10 如图,求证：假如一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行已知：l ,a/,a/,求证：a / 分析： 此题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的才能利用线面平行的性质名师归纳总结 定理, 可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行,即线面平行可得线线平行然

15、后再用第 6 页,共 15 页线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与 l 平行- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 在平面内取点 P ,使优秀学习资料欢迎下载交于 b Pl,过 P 和直线 a 作平面a/, a,b ,1l ,和相交于直线2la /b同理过 a 作平面交于 c a/, a,c ,a /cb/c b, c,b/又 b,l ,b/l又a/b,a /l另证：如图,在直线l 上取点 M ,过 M 点和直线 a 作平面和相交于直线a/,a/ l1,a/,a/ l2,但过一点只能作一条直线与另始终线平行名师归纳总结 直线1l 和2l 重合第

16、7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又1l,2l,优秀学习资料欢迎下载直线l1l、2l都重合于直线l,a /说明：“ 线线平行” 与“ 线面平行” 在肯定条件下是可以相互转化的,这种转化的思想在立体几何中特别重要典型例题十一例 11 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ,在 AE 、BD 上各取一点 P 、Q ,且 AP DQ求证：PQ / 面 BCE 分析： 要证线面平行,可以依据判定定理,转化为证明线线平行关键是在平面 BCE 中如何找始终线与 PQ 平行可考察过 PQ 的平面与平面 BCE的交线,这样的平

17、面位置不同,所找的交线也不同证明一： 如图,在平面 ABEF 内过 P 作 PM / AB 交 BE 于 M ,在平面 ABCD 内过 Q 作 QN / AB 交 BC 于 N ,连结 MN PM / AB,PM PEAB AE又QN / AB / CD,QN BQ,即 QN BQDC BD AB BD正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ,AE DBAP DQ,PE BQPM QN又PM / AB,QN / AB,PM / QN四边形 PQNM 为平行四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQ /MN

18、优秀学习资料欢迎下载又 MN 面 BCE ,PQ / 面 BCE 证明二： 如图,连结 AQ 并延长交 BC于 S ,连结 ES BS/ AD,AQ DQQS QB又正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB ,AEDB,QBAPDQ,PEAP PEDQAQQBQSPQ /ES,又 ES面 BEC ,PQ/面 BEC 说明： 从此题中我们可以看出,证线面平行的根本问题是要在平面内找始终线与已知直线平行,此常常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法,详细用何种方法要视条件而定此题中我们可以把“ 两个有公共边的正方形” 这一条件改为“ 两个全等的矩形” ,那么题中的结论是

19、否仍旧成立？典型例题十二例 12 三个平面两两相交于三条交线,证明这三条交线或平行、或相交于一点已知：a ,b ,c 求证： a 、 b 、 c 相互平行或相交于一点分析： 此题考查的是空间三直线的位置关系,我们可以先从熟识的两条交线的位置关系入手,依据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系名师归纳总结 证明： a ,b ,第 9 页,共 15 页a、b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 与 b 平行或相交优秀学习资料欢迎下载如a/b,如图 b, a,a/又c , a,a /c,a / b / c如 a 与 b 相交,如图,设aObOa,O

20、b又 a, bOc O, Oc ,又直线 a 、 b 、 c 交于同一点 O 说明： 这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题,如正方体 ABCD 中,M 、 N 分别是 CC 、A 1B 1 的中点,画出点 D 、 M 、 N 的平面与正方体各面的交线,并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例 13已知空间四边形ABCD ,ABAC, AE 是ABC 的 BC 边上的高,DF 是BCD 的 BC 边上的中线,求证：AE和 DF 是异面直线证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E、F不重合,设BCD所在平面名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 -

21、 - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载DFADFAE 和 DF 是异面直线EE证法二：（反证法）如 AE 和 DF 不是异面直线,就AE和DF共面,设过 AE 、DF的平面为1如 E 、 F 重合,就 E 是 BC 的中点,这与题设ABAC相冲突2如 E 、 F 不重合,BEF,CEF, EF, BC A, D, A、 B 、 C 、 D 四点共面,这与题设 综上,假设不成立故 AE 和 DF 是异面直线ABCD是空间四边形相冲突说明： 反证法不仅应用于有关数学问题的证明,在其他方面也有广泛的应用第一看一个好玩的实际问题：“ 三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎

22、么装？”对于这个问题,同学们可试验做一做或许你在试验几次后却无法胜利时,觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清 楚地从理论上说明这种装法是不行能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的,每条船装缸数为单数,就 9 个 单数之和仍为单数,与 36 这个双数冲突只须两句话就解决了这个问题典型例题十四例 14 已知 AB 、 BC 、 CD 是不在同一平面内的三条线段,E 、 F 、 G 分别是 AB 、BC 、 CD 的中点,求证：平面 EFG 和 AC 平行,也和 BD 平行分析： 欲证明 AC / 平面 EFG ,依据直线和平面公平的判定定理只须证明 AC 平行平面 AC

23、 / EFEFG 内的一条直线,由图可知,只须证明证明： 如图,连结 AE 、 EG 、 EF 、 GF 在 ABC中,E、F分别是AB、BC的中点AC/ EF于是 AC / 平面 EFG 同理可证, BD / 平面 EFG 说明： 到目前为止,判定直线和平面平行有以下两种方法：2依据直线和平面平行的判定定理1依据直线和平面平行定义；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题十五例 15已知空间四边形ABCD , P 、 Q 分别是ABC 和BCD 的重心,求证：PQ/平面ACD分析： 欲证

24、线面平行,须证线线平行,即要证明据条件,此直线为 AD,如图证明： 取 BC 的中点 E P 是 ABC的重心,连结 AE ,就 AEPE 31,连结 DE , Q 为BCD 的重心,AD平面ACD,DEQE31,在AED中,PQ /PQ又AD平面ACD,PQ/平面ACDPQ 与平面 ACD 中的某条直线平行,根说明： 1本例中构造直线 AD 与 PQ 平行,是充分借助于题目的条件：P 、 Q 分别是ABC和 BCD 的重心,借助于比例的性质证明 PQ / AD,该种方法常常使用,望留意把握2“ 欲证线面平行,只须证线线平行”法依据问题详细情形要娴熟运用判定定理给我们供应了一种证明线面公平的方

25、典型例题十六名师归纳总结 例 16正方体ABCDA 1B 1 C 1D 1中, E 、 G 分别是 BC 、C 1D 1的中点如下图第 12 页,共 15 页求证：EG/ 平面BB1D 1D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 要证明EG/ 平面BB 1优秀学习资料欢迎下载需要在平面BB 1D 1D内找D1D,依据线面公平的判定定理,到与 EG 平行的直线,要充分借助于 E 、 G 为中点这一条件证明： 取 BD 的中点 F ,连结 EF 、D1 F E 为 BC 的中点, EF 为BCD 的中位线,就EF /DC,且EF1CD,2 G 为C 1D

26、 1的中点,1B 1,EG平面BDD1B 1D 1G/CD且D 1 G1CD,2EF/D1G且EFD 1 G,四边形EFD1G为平行四边形,D 1F/EG,而D1F平面BDDEG/平面BDD1B 1典型例题十七例 17假如直线a/平面,那么直线 a 与平面内的（）A一条直线不相交B两条相交直线不相交C很多条直线不相交D任意一条直线都不相交解： 依据直线和平面平行定义,易知排除A、B对于 C,很多条直线可能是一组平行线,也可能是共点线,C也不正确,应排除Ca 与平面平行, D 正确与平面内任意一条直线都不相交,才能保证直线应选 D说明： 此题主要考查直线与平面平行的定义典型例题十八名师归纳总结

27、例 18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A肯定平行优秀学习资料欢迎下载B肯定相交C肯定异面 D相交或异面解： 如图中的甲图,分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系；如图中的乙图,分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系综上,可知应选 D说明： 此题主要考查有关平面、线面平行等基础学问以及空间想象才能典型例题十九例 19 a 、 b 是两条异面直线,以下结论正确选项（）A过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个平面与 a 、

28、b 平行B过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个直线与 a 、 b 相交C过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个直线与 a 、 b 都平行D过 a 可以并且只可以作一平面与 b 平行解： A 错,如点与 a 所确定的平面与 b平行时,就不能使这个平面与 平行了B 错,如点与 a 所确定的平面与 b 公平时,就不能作一条直线与 a , b 相交C错,假如这样的直线存在,依据公理 4 就可有 a / b,这与 a , b 异面冲突D 正确,在 a 上任取一点 就 c 与 a 确定一个平面与应选A,过 A 点做直线 c/ b,b 平行,这个平面是惟一的说明： 此题主要考查异面直线、线线平行、线面

29、平行等基本概念典型例题二十例 20 1直线 a/ b,a / 平面,就 b 与平面 的位置关系是 _2 A 是两异面直线 a 、 b 外的一点,过 A 最多可作 _个平面同时与 a 、 b 平行解： 1当直线 b 在平面外时,b/；当直线 b 在平面内时, b应填：b/或 b2由于过 A点分别作 a , b 的平行线只能作一条,（分别称a ,b ）经过a ,b 的平面也是惟一的所以只能作一个平面；仍有不能作的可能,当这个平面经过应填： 1a 或 b 时,这个平面就不满意条件了说明： 考虑问题要全面,各种可能性都要想到,是解答此题的关键名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 1

30、5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题二十一例 21如图,a/, A 是的另一侧的点,B,C,Da,线段 AB , AC , AD 交于 E , F , G ,如BD4,CF4,AF5,就 EG =_解： a/,EG平面ABDa / EG,即 BD / EG,EF FG AF EF FG EG AFBC CD AC BC CD BD AF FC就 EG AF BD 5 4 20AF FC 5 4 9应填：20 9说明： 此题是一道综合题,考查学问主要有：直线与平面平行性质定理、相像三角形、比例性质等同时也考查了综合运用学问,分析和解决问题的才能名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页