2022年高三数学复习不等式的证明 .pdf

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1、不等式的证明 (一) 【知识点精讲】1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：比差法：要证ab，只须证 a-b0 。比商法：要证ab 且 b0，只须证ba0。说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。2.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意 字母是否为正 和等号成立 的条件。基本不等式： (1)若,0,

2、0 ba则baabbaba1122222当且仅当 a=b 时取等号。(2)时取等号当且仅当baabbaRba2,22(3)a,b 同号 , 时取等号当且仅当baabba13. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式 , 综合法是分析法的逆过程4. 重点难点 : 作差比较法的顺序是“作差-变形 -判断差式的正负” ；作商比较法的顺序是“作商-变形 - 判断商式与1 的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由

3、因导果”。5.思维方式 : 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。6. 特别注意 : 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。【例题选讲】例 1、已知 a,bR,求证 : a2+b2+1ab+a 证明： p= a2+b2+1-ab-a= 1)12()2(212222baababa= 1) 1()(21222baba显然 p0 得证思维点拔 作差比较法的顺序是“作差-变形 -判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断例 2、P87 例 1. 设,0,0 ba求证.)(

4、)(2121212212baabba【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边- 右边 =)()()(33baabba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - =abbaabbababa)()( = abbababa)2)( =0)(2abbaba原不等式成立。【证法二】 左边 0，右边 0。右边左边12)()()(ababababbababaabbababa原不等式成立。思维点拔 用

5、比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。例 3、P87 例 2 已知 a,b,x,y11,xyRxyabxayb且求证思维点拔 观察特征 ,用比较法或分析法例 4、设 x0,y0 且 xy,求证21223133yxyx证明：由 x0,y0 且 xy,要证明21223133yxyx只需322233yxyx即22223332yxyxyx只需222yxxy由条件 ,显然成立 .原不等式成立思维点拔 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式练习 : .若 a、b、c 是不全相等的正数，

6、求证：cbacabcbalglglg2lg2lg2lg【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】（综合法）：Rcba,，02abba，02cbbc，02acca又 a、b、c 是不全相等的正数，有abccabcba222。abccabcbalg)222lg(即cbacabcbalglglg2lg2lg2lg【证法二】（分析法）要证cbacabcbalglglg2lg2lg2lg即证abccabcbalg)222lg(成立。只需证abccabcba222成立。02abba，02cbbc，02acca。0222abccabcba（*）又 a、b、c 是不全相等的正数

7、，（* ）式等号不成立。原不等式成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 例 5.(P88 例 3) 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t 每吨面粉的价格为1800 元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3 元,购买面粉每次需支出运费900 元(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小; (2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t时 ,其价格可优惠9 折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由 . 点评 【课堂小结】不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法比较法：比差法：要证ab，只须证 a-b0 。比商法：要证ab 且 b0，只须证ba0综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程【作业布置】P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -