2022年高中三角函数知识点与常见习题测验类型解法 .pdf

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1、1 三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：（1）弧长公式：Ral R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。（2）扇形的面积公式：lRS21 R为圆弧的半径，l为弧长。（3）同角三角函数关系式：倒数关系：1cottanaa商数关系：aaacossintan，aaasincoscot平方关系：1cossin22aa（4）诱导公式： （奇变偶不变，符号看象限）k2所谓奇偶指的是整数k的奇偶性；x函 数xsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinacotatan2、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公

2、式：sinsincoscos)cos(aasincoscossin)sin(aaatantan1tantan)(tanaaaa【注：公式的逆用或者变形】（2）二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：22cos1cos2aa，22cos1sin2aa（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

3、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 3、三角函数的图像和性质：（其中zk）三角函数xysinxycosxytan图像定义域（- ， +）（- ， +）2kx值域-1,1 -1,1 （- ， +）最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性22 ,22kk单调递增232 ,22kk单调递减2,)12(kk单调递增) 12( ,2(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性对称轴：2kx对称中心：)0,(k对称轴：kx对称中心：)0,2(k对称中心：)0 ,2(k零值点kx2kxkx最值点1

4、,22maxykx1,22maxykx1,2maxykx1,)12(maxykx无4、函数)sin(xAy的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质）（1）函数)sin(xAy和)cos( xAy的周期都是2T（2）函数)tan( xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取 0、2、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

5、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 【函数的平移变换】 ：)0)()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）【函数的伸缩变换】 ：)0)()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变， 横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）)0)()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）【

6、函数的对称变换】 ：)()(xfyxfy) 将)(xfy图像绕y轴翻折 180（整体翻折） ；（对三角函数来说：图像关于x轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折 180（整体翻折） ；（对三角函数来说：图像关于y轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留， 并把右侧图像绕y轴翻折到左侧 （偶函数局部翻折）；)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换；如45tancottancossin122xxaa等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：aa

7、aaaa222222cos1cos)cos(sincos2sin；配凑角：)(；22等。（3）降次与升次；切化弦法。（4）引入辅助角。)cos()sin(cossin2222bababay，这里辅助角所在象限由ba、的符号确定，角的值由abtan确定。【典型例题】：1、已知2tan x，求xx cos,sin的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 解： 因为2cossintanxxx，又1cossin22aa，

8、联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2、求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值。解： 原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan3、若, 2cossincossinxxxx，求xx cossin的值解： 法一：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxx

9、xx得到xxcos3sin，又1cossin22aa，联立方程组，解得，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx，所以22)cos(sin4)cos(sinxxxx，所以xxxxcossin84cossin21，所以有103cossinxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -

10、5 4、求证：xxxx2222sintansintan。证明： 法一：右边222222222sintan)cos1 (tan)cos(tantansintanxxxxxxxxx；法二：左边 =22222222222sintan)cos1(tancostantan)cos1(tansintanxxxxxxxxxxx5、求函数)62sin(2xy在区间2 ,0上的值域。解： 因为20 x，所以20 x，67626x由正弦函数的图象，得到1 ,21)62sin(2xy，所以2, 1)62sin(2xy6、求下列函数的值域（1）2cossin2xxy；（2）)cos(sincossin2xxxxy)

11、解： （1）2cossin2xxy=3)cos(cos2coscos122xxxx令xtcos，则,413)21(413)21(3)(,1 , 1222ttttyt利用二次函数的图象得到.413, 1y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 (2) )cos(sincossin2xxxxy=)cos(sin1)cos(sin2xxxx令xxtcossin2)4sin(x，则2,2t则, 12tty利用二次函数的图象

12、得到.21 ,45y7、若函数y=Asin(x+)(0，0) 的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于 (6 ，0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8又由)28sin(22，得到可以取).48sin(2.4xy8、已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x( ) 求f(x) 的最小正周期；( ) 若,2,0 x求f(x) 的最大值、最小值数xxycos3sin1的值域解： ( ) 因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin

13、4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x) sin2x )42sin(2)24sin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 ( ) 若2,0 x， 则43,4)42( x， 所以当x=0 时，f(x) 取最大值为; 1)4sin(2当83x时，f(x) 取最小值为.29、已知2tan，求（ 1）sincossincos； （2）

14、22cos2cos.sinsin的值 . 解： （1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos； (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数21sincos(sincos )yxxxx的值域。解：设sincos2 sin()224txxx，则原函数可化为22131()24yttt，因为22t，所以当2t时，max32y，当12t时，mi

15、n34y，所以，函数的值域为3324y，。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 11、已知函数2( )4sin2sin 22fxxxxR，； （1）求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(12sin)fxxxxx2sin 22cos22 2 sin(2)4xxx(1) 所以( )f x的最小

16、正周期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为2 2；(2) 证 明 ： 欲 证 明 函 数( )f x的 图 像 关 于 直 线8x对 称 ， 只 要 证 明 对 任 意xR， 有()()88fxfx成立，因为()22sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，()22 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。12 、已知函数y=21cos2x+23sinx cosx+1 （xR）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

17、（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 解： （1）y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x1)+ 41+43（2sinx cosx）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k,

18、 （kZ） ，即 x=6+k, （kZ） 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6) 的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin(2x+6) 的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变） ，得到函数y=21sin(2x+6) 的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sin

19、xcosx+1的图像。历年高考综合题一、选择题：1、 （08 全国一 6）2(sincos )1yxx是（）A、最小正周期为2的偶函数B 、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的奇函数2、 （08 全国一 9）为得到函数cos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A、向左平移6个长度单位B、向右平移6个长度单位C、向左平移56个长度单位D、向右平移56个长度单位3、(08 全国二 1) 若sin0且tan0是，则是（）A、第一象限角B、第二象限角C 、 第三象限角D 、 第四象限角4、 （08 全国二 10） 函数xxxfcossin)(的最大值为（）A、1 B

20、、2 C、3 D、2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 5、 （08 安徽卷 8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A、6xB、12x C 、6x D、12x6、 （08 福建卷 7）函数y=cosx(x R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x) 的图象，则g(x) 的解析式为 ( ) A 、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx7、 （08 广东卷 5）已知函数2(

21、 )(1cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是（）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数8、 （08 海南卷 11）函数( )cos22sinf xxx的最小值和最大值分别为（）A、 3，1 B、 2，2 C 、 3，32D、 2，329、 （08 湖北卷 7）将函数sin()yx的图象F向右平移3个单位长度得到图象F，若F的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是（） A 、512 B、512 C、1112 D、111210、 （ 08 江西卷 6）函数sin( )sin2sin2xf xxx是（）A、以4为周

22、期的偶函数 B、以2为周期的奇函数C、以2为周期的偶函数 D、以4为周期的奇函数11、若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A、1 B、2C 、3D、2 12、 （ 08 山东卷 10）已知4cossin365，则7sin6的值是（）A、2 35B、2 35 C、45D、4513、08 陕西卷 1）sin330等于（）A、32 B、12 C、12 D3214、 （ 08 四川卷 4）2tancotcosxxx ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

23、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 、tanx、sin x、cosx、cotx15、 （08 天津卷 6）把函数sin ()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（） A、sin 23yxxR， B、sin26xyxR，C、sin 23yxxR， D、sin 23yxxR，16、 （08 天津卷 9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A 、abcB、acbC 、bcaD 、bac17、 （08 浙

24、江卷 2）函数2(sincos )1yxx的最小正周期是（） A、2 B、 C、32 D、218、 （08 浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（）A、0 B、1 C、2 D、4 二、填空题19、 （08 北京卷 9）若角的终边经过点(12)P ，则tan2的值为20、 （08 江苏卷 1）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则= 21、 （08 辽宁卷 16）设02x，则函数22sin1sin 2xyx的最小值为22、 （08 浙江卷 12）若3sin()25，则cos2_。23、 （08 上海卷 6）函数f(x) 3si

25、n x +sin(2+x) 的最大值是三、解答题24、 （08 四川卷 17）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 25、 （ 08 北京卷 15）已知函数2( )sin3 sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为；（）求的值；（）求函数( )f x在区间203，上的取值范围26、 （08 天津卷 17）已知函数22s(incoss1

26、)2cof xxxx（,0 xR）的最小值正周期是2； （）求的值；（）求函数( )f x的最大值，并且求使( )f x取得最大值的x的集合27、 （08 安徽卷 17）已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx，（）求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数( )f x在区间,12 2上的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 28、 （08 陕西卷 17）已知函

27、数2( )2sincos2 3sin3444xxxfx（）求函数( )f x的最小正周期及最值； （）令( )3g xfx，判断函数( )g x的奇偶性，并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14 参考答案：一、 选择题：110：D 、C、C 、B、B、A、D 、C、 9 、A 、A；1120: 11 、C 、13、B 、14、D 15 、C 16 、D 17 、B 18 、C；二、填空题：19、34 2

28、0、10 21、3 22、257 23、2。三、解答题：24、解：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin 24cos1cosxxx2272sin 24cossinxxx272sin 2sin 2xx21sin 26x由于函数216zu在11 ，中的最大值为：2max1 1610z最小值为：2min1 166z故当sin21x时y取得最大值10，当sin 21x时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25、解： （）1cos23( )sin

29、 222xf xx311sin 2cos2222xx1sin262x因为函数( )f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1( )sin262f xx因为203x，所以72666x， 所以1sin2126x，因此130sin 2622x，即( )f x的取值范围为302，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 26、解： （）242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin1

30、2sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2（）由（）知，244sin2xxf当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|27、解：（1）( )cos(2)2sin()sin()344f xxxxQ13cos2sin2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期（2）5,2,12 2636xxQ因为( )sin(2)6f xx在区间,123上单调递增

31、，在区间,32上单调递减，所以当3x时，( )f x取最大值 1 ；又31()()12222ffQ，当12x时，( )f x取最小值32；所以 函数( )f x在区间,122上的值域为3,12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 16 28、解：（）( )f xQsin3 cos22xx2sin23x( )f x的最小正周期2412T当sin123x时，( )fx取得最小值2；当sin123x时，( )f x取得最大值2（）由（）知( )2sin23xf x又( )3g xfx1( )2sin233g xx2sin22x2cos2xQ()2cos2cos( )22xxgxg x函数( )g x是偶函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -