2022年高中复习专项之求导法则 .pdf

《2022年高中复习专项之求导法则 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中复习专项之求导法则 .pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库求导法则教学内容 : 基本求导法则与求导公式.教学目的 : 熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点 : 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点 : 复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法 : 讲授与练习。教学学时 : 4 学时。 引言：数学分析的基本运算之一就是求导运算，为了能够迅速、简便而又准确的求出一个函数的导数，只依靠定义是远远不够的

2、。为此，本节课我们介绍导数的四则运算，反函数、复合函数的求导法则，并由此推出基本初等函数的导数作为公式。这样我们就可以利用这些公式以及求导法则较为容易的求出复杂函数的导数。一、导数的四则运算：1加、减运算：定理5.5 若函数)(xu、)(xv在点x可导，则函数)()()(xvxuxf在点x可导，且)()()(xvxuxf即).()()()(xvxuxvxu证明：xxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxfxxx)()(lim)()(lim)()()()(lim)(000)()(xvxu推论 ：).()()()()()(2121xuxuxuxuxuxunn2乘积运算：定理 5.6 若函数)

3、(xu、)(xv在点x可导，则函数)()()(xvxuxf在点x可导，且)()()()()(xvxuxvxuxf，即).()()()()()(xvxuxvxuxvxu证明 ：xxvxuxxvxxuxfx)()()()(lim)(0 xxvxuxxvxuxxvxuxxvxxux)()()()()()()()(lim0 xxvxxvxuxxvxxuxxuxx)()()(lim)()()(lim00)()()()(xvxuxvxu利用数学归纳法可将此结论推广：推论：)()()()()()()()()()()()(21212121xuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxunnnn)()(xcux

4、cu（c为常数）例 1设函数xxxflncos)(，求).(f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库解：xxxxxxxxxxxfcos1lnsinlncoslncoslncos)(所以.1)(f3商运算：定理 5.7 若函数)(xu、)(xv在点x可导，且0)(xv，则函数)()()(xvxuxf在点x可导，

5、且,)()()()()()(2xvxvxuxvxuxf即.)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu证明 ：先证)(1)(xvxg在点x可导，且有2)()()(xvxvxg，xxvxxvxxgxxgxgxx)(1)(1lim)()(lim)(00.)()()()(1)()(lim20 xvxvxvxxvxxvxxvx再由乘积运算法则有：22)()()()()()()()()(1)()()()()()(xvxvxuxvxuxvxvxuxvxuxgxuxvxuxf例 2求以下函数的导数：（1）xsec；（2）xcsc；（3）xtan；（4）.cot x解： （1）xxxxxxtan

6、seccos)sin(0cos1sec2；（2）xxxxxxcotcscsincos0sin1csc2；（3）xxxxxxx2222seccos)sin(coscossintan；（4）xxxxxxx2222cscsincossinsincoscot. 于是我们得到：xx2sectan；xx2csccot；xxxtansecsec；xxxcotcsccsc. 上节我们还得到过结果：0C；xxcossin；xxsincos；.1ln,log1logxxexxaa以上结果需要熟记！以后可直接应用。二、反函数的导数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库为了得到对数函数的反函数指数函数以及三角函数的反函数反三角函数的求导公式，我们先证明反函数求导公式：定理 5.8 设函数)(xfy为函数)(yx的反函数，若)(y在点y的某邻域内连续，严格单调且0)(y，则)(xf在点)(yxx可导，且.)(1)(yxf证明： 设)()(yyyx，)()(xfxxfy，)( y在点y的某邻域内连续且严格单调其 反函数)(

8、xfy在点x的某邻域内连续且严格单调从而有00 xy，00 xy，于是.)(1lim1limlim)(000yyxxyxyxfyyx例 3求指数函数)1,0(aaayx的导数。解：指数函数)(Rxayx为对数函数),0(logyyxa的反函数，所以aaayeyyaxaaxlnlnlog11log1，即aaaxxln. 例 4求下列函数的导数：（1）xarcsin；（2）xarccos；（3）xarctan；（4）xarc cot. 解： （1）由于函数)1 , 1(arcsinxxy是函数)2,2(sinyyx的反函数，所以) 1 , 1(,11sin11cos1sin1arcsin22xxy

9、yyx；（2）由于函数)1 , 1(arccosxxy是函数),0(cosyyx的反函数，所以) 1 , 1(,11cos11sin1cos1arccos22xxyyyx；（3）由于函数)(arctanRxxy是函数)2,2(tanyyx的反函数，所以),(,11t an11sec1t a n1ar c t a n222xxyyyx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大

10、学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（4）由于函数)(cotRxxarcy是函数)2,0(cotyyx的反函数，所以),(,11c o t11csc1c o t1c o t222xxyyyxarc. 于是我们又得到公式：211arcsinxx；211arccosxx；211arctanxx；211cotxxarc. 三、复合函数的导数：最后我们再来讨论复合函数的求导法则，为得到复合函数求导公式，先引入如下引理：引理)(xf在点0 x可导在点0 x的某邻域)(0 xU内存在在点0 x连续的函数)(xH，使得)()()(00 xxxHxfxf，从而)()(00 xHxf

11、. 证明 ：必要性 设)(xf在点0 x可导，即)(0 xf存在，令000000)()()()()(xxxfxUxxxxfxfxH，则)()()()(lim)(lim000000 xHxfxxxfxfxHxxxx，所以函数)(xH在点0 x连续且有)()()(00 xxxHxfxf. 充分性 设函数)(xH，)(0 xUx在点0 x连续且有)()()(00 xxxHxfxf所以).()(lim)()(lim00000 xHxHxxxfxfxxxx定理 5.9 若函数)(xu在点0 x可导，函数)(ufy在点)(00 xu可导，则复合函数)(xfy在点0 x可导，且)()()(000 xufxf

12、. 证明： 因函数)(ufy在点0u可导，由引理知存在在点0u连续的函数)(uF，使得)()()(00uuuFufuf且)()(00uFuf)(0uUu又因函数)(xu在点0 x可导，同样由引理知存在在点0 x连续的函数)(x，使得)()()(00 xxxxx且)()(00 xxf)(0 xUx于是得：)()()()()()()(000 xxxxFxxxFxfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业

13、大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库由于)(x在0 x连续，)(uF在)(00 xu连续，所以)(xF在点0 x连续（复合函数连续性），而)(x在0 x连续，从而)()()(xxFxH在0 x连续，于是由引理便知)(xf在点0 x可导，且有)()()()()()()()(0000000 xufxuFxxFxHxf. 说明： （ 1）若)(ufy，)(xu，则复合函数)(xfy的导数为)()(xufy， 或者写成dxdududydxdy；（2）注意)()()(xuufxf与)()()(xxfxf写法与含义的区别；如2)(uufy，xxu2

14、)(则：xuuxfxuxu42)(222，而xxxxxfxf824)()()(；（ 3）多个复合函数求导法则：)(ufy，)(vu，)(xv，则复合函数)(xfy的导数dxdvdvdududydxdy；（4）对复合函数求导的结果我们一般应用最终自变量（如以上的x）表示。例 5求幂函数)0,(xRxy的导数。解：幂函数xxeexylnln可看成函数uey与xuln复合而成，由复合函数求导法则有.ln1lnxxexexedxdududyxxuu于是得到：.1xx四、基本求导法则与公式：通过上面的讨论，我们得到了函数四则运算的导数，反函数与复合函数的导数以及基本初等函数的导数，把这些结论归结如下，作

15、为基本求导法则与求导公式，我们必须熟记，并可以直接应用它们，求出以下比较复杂函数的导数。1 基本求导法则：和、差：vuvu；积：uvvuuv；商：2vuvvuvu；反函数：dydxdxdy1；复合函数：dxdududydxdy；2 基本求导公式：0c（c为常数）；1xx（为任意实数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大

16、学视频院校库xxxxeeaaa,ln；xxaxxa1ln,ln1log；,cossinxx,sincosxx,sectan2xx,csccot2xx,t anse csecxxxxxxcotcsccsc; ,11arcsin2xx,11arccos2xx,11arctan2xx211cotxxarc. 例 6求以下各函数的导数：（1）5451023xxxy；（2）2sin xy；（3）xy1tan2；（4）23arctanxy；（5）xxarcy11cot；（6）)1ln(2xxy；（7）xxxy. 解： （1）4103004510223xxxxxy；（2）设2,sinxuuy，则22cos2

17、2cossinxxxuxudxdududydxdy；（3）设2uy，vutan，xv1，则xxxxvuxvudxdvdvdududydxdy1sec1tan21sec21tan22222；（4）设2uy，vuarctan，3xv，则3622232a r c t a n163112a r c t a nxxxxvuxvudxdvdvdududydxdy；（5）设uarcycot，xxu11，则22)1()1()1(1111o txxxuxxua r cdxdududydxdy2222211)1()1 (2)1(21111xxxxxx；（6）先设21xu，来求dxdu，为此设21vu，21xv，则

18、22122112211xxxvxvdxdvdvdudxdu，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库再设wyln，uxw，21xu，来求dxdy，则2222111111111)1(lnxxxxxxxwdxduwdxdwdwdydxdy；（7）当我们对复合函数运算法则熟悉以后，书写过程中的中间变量可不必写出。如此

19、题：xxxxxxxxxxxxxy2212112121121121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx8124412421. 例 7若1121)(2xxxf，求)0(f，) 1(f及) 1(f。解：因222) 1(2)2(1)(xxxxf，所以41)0(f，21421)1(f，.18114291)1 (f例 8求以下函数的导数： （对数求导法）（1）215312)4()2()4()5(xxxxy（4x） ； （2）)()(xvxuy（其中0)(xu且)(xu与)(xv均可导）。解： （1）对函数两边同时取自然对数得：)4ln(21)2ln(5)4ln(31)5ln(2)4()2()4()5(

20、lnln215312xxxxxxxxy，再对上式两边分别求导（注意y是x的函数）：)4(2125)4(31511xxxxyy，整理便得：.)4(2525)4(3151)4()2()4() 5(215312xxxxxxxxy（2）对函数两边同时取自然对数得：)(ln)()(lnln)(xuxvxuyxv再对上式两边分别求导（注意y是x的函数）：)()(1)()(ln)(1xuxuxvxuxvyy整理便得：)()()()(ln)()(1)()(xvxuxuxuxvxuyxvxv. 注：从以上两题我们可以总结对数求导法的应用。（1）也可采用直接求导法，但过程很繁琐；（2）题可将函数化名师资料总结 -

21、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库为：)(ln)()(ln)()()(xuxvxuxveexuyxv后用求导法则（如例题5） 。选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按 ctrl 点击打开 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -