2022年高中数学-柯西不等式与排序不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 3.1 3.2 柯西不等式学习必备欢迎下载1. 二元均值不等式有哪几种形式？答案：a b ab a 0, b 0 及几种变式 . 22. 已知 a、b、c、d 为实数,求证 a 2b 2 c 2d 2 ac bd 2证法：（比较法） a 2b 2 c 2d 2 ac bd 2= .= ad bc 20定理：如 a、b、c、d 为实数,就 a 2b 2 c 2d 2 ac bd 2. 变式：a 2b 2c 2d 2| ac bd | 或 a 2b 2c 2d 2| ac | | bd |或 a 2b 2c 2d 2ac bd . 定理：设 a a

2、 1 2 , , a b b n 1 2 , , b n R ,就2 2 2 2 2 2 2 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n a b 1 1 a b 2 a b n （当且仅当 a 1 a 2 a n时取等号,假设 ib 0）b 1 b 2 b n变式：a 1 2a 2 2a n 2 1 a 1 a 2 a n 2. n定理：设 , 是两个向量,就 | | | | | . 等号成立？（是零向量,或者 , 共线）练习：已知 a、b、c、d 为实数,求证 a 2b 2c 2d 2 a c 2 b d 2. 证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 争论：其几何意义？（构造三角形）三角不

3、等式：定理：设x y 1,x 2,y 2R ,就x 122 y 1x 222 y 2x 1x 22y 1y 22. R变式：如x y 1 ,x 2,y2,x 3,y 3R ,就结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式？例 1：求函数y3x1102x 的最大值？分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式变式：y3 x1102x 推广：ya bxcdefx, , , , , , a b c d e f名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12 例 2：如,x yR ,xy2,求证：1 x12. y分析：如何变形后

4、利用柯西不等式？（留意对比 构造）要点：111xy 111x2y2 12xy2xy2xy争论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知 3x2y1,求x22 y 的最小值 . 解答要点：（凑配法）x2y2a12 x2 y32. 2 2 13x2 21. 131313争论：其它方法（数形结合法）b1 a1 b4练习：已知a 、 bR ,求证：例 1：已知 3x2yz1,求2 xy22 z 的最小值 . 练习：如x y zR ,且1 x111,求xyz的最小值 . yz23变式：如x y zR ,且xyz1,求x2y22 z 的最小值 . 变式：如x y zR ,且xyz1,求xyz 的最大值 . 名

5、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：如 a b c ,求证：a1b学习必备4欢迎下载b1c22 1 141c. bca要点：ac a1bb1cca1babb例 3 已知正数a b c 满意abc1证明a3b33 cab22 c33 1 3 1 3 1 2证明：利用柯西不等式 a 2b 2c 2 2a a 2 b b 2 c c 23 2 3 2 3 2a 2 b 2 c 2 a b c a 3 b 3 c 3 a b c 2a b c 12 2 2 2 2 2又由于 a b c ab bc ca 在此不等式两边同

6、乘以 2,再加上 a b c 得：2 2 2a b c 3 a b c2 2 22 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b ca b c a b c 3 a b c 故 a b c3例 4 设 p 是 ABC内的一点,x y z是p到三边 a b c 的距离, R 是 ABC外接圆的半径,证明 x y z 1a 2b 2c 22 R证明：由柯西不等式得,xyzax1by1cz1axbycz111a22 bc2abcabc记 S 为ABC的面积,就axbycz2 S2abcabc14R2Ryzabcabbcca1xRabbcca2Rabc22R故不等式成立；名师归纳总结 - -

7、- - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：已知实数a b c ,d 满意学习必备欢迎下载3c26d2d5试求 a 的最值abcd3,a22b2解：由柯西不等式得,有22 b3 c26d21112bc236即2 b23 c26 d2bcda22由条件可得,5a23解得, 1a2当且仅当2b3 c6d时等号成立,1 21 31 61 3时a min1代入b1,c1,d1时,amax2b1, c2,d3633.3 排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组: a 1 a 2 a ; b 1 b 2 b . c c 2 , nc 是 b

8、 b , , nb 的任一排列 , 就有a b 1 1 a b 2 + a b 同序和 a c 1 1 a c + + a c 乱序和 a b n a b n 1 + + a b 反序和 当且仅当 a 1 a 2 = a 或 b 1 b 2 = b 时,反序和等于同序和 . 排序不等式的应用：名师归纳总结 例 1：设a a2,a 是 n 个互不相同的正整数,求证：b 11, b 22,b nn . 1111a 1a2a 3an. 23n222 3n2证明过程：设b b2,b 是a a 2,a 的一个排列,且b 1b 2b ,就又1111,由排序不等式,得222 3n2a 1a 2a3a nb 1b 2b 3bn2 232n2222 3n2c c2ab . 第 4 页,共 4 页小结：分析目标,构造有序排列. 练习：已知a b c 为正数,求证：2a33 b3 ca2 bc b2a解答要点：由对称性,假设abc ,就a2b22 c ,2 c a ,于是2 a a2 b b2 c c2 a c2 b a2 c b ,2 a a2 b b2 c c2 a b2 b c两式相加即得 . - - - - - - -