2022年高中圆锥曲线推论拓展.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭 圆4点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,就焦点在直线 的圆,除去长轴的两个端点 . PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 7以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点,就PF1F2在边 PF2或 PF1上的旁切圆,必与 A1A2所在的直线切于 A 2或 A 1. 2 2x y9椭圆 2 2 1abo的两个顶点为 A 1 a ,0 , A a 2 ,0,与 y 轴平行

2、的直线交椭圆于a b2 2P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2交点的轨迹方程是 x2 y2 1 . a b10假设 P x 0 , y 0 在椭圆 x 22 y 22 1 上,就过 P 的椭圆的切线方程是 x x 02 y y 02 1 . a b a b2 211假设 P x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,就切点弦a bP1P2 的直线方程是 x x 02 y y 02 1 . a b2 2 212AB 是椭圆 x2 y2 1 的不平行于对称轴且过原点的弦, M 为 AB 的中点,就 k OM k AB b2 . a b

3、a2 2 2 213假设 P 0 x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是 x x2 y y2 x 02 y 02 . a b a b a b2 2 2 214假设 P x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是 x2 y2 x x2 y y2 . a b a b a b2 2x y15 假 设 PQ 是 椭 圆 2 2 1 a b 0 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 就a b12 12 12 1 2 r 1 | OP |, r 2 | OQ | . r 1 r 2 a b2 216假设椭圆 x2 y2 1

4、ab0上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax By 1 AB 0 ,a b4 2 4 2就1 12 12 A 2B 2;2 L 2 a A2 2 2 b B2 . a b a A b B2 217给定椭圆 C ：b x 2 2a y 2 2a b ab0, 2 2C ：b x 2 2a y 2 2 a2 b2 ab 2,就i对 C 上a b2 2 2 2任意给定的点 P x 0 , y 0 ,它的任始终角弦必需经过 C 上肯定点 M a2 b2 x 0 , a2 b2 y 0 . a b a bii 对 C 上任一点 P 0 x 0 , y 0 在 C 上存在唯独的点 M ,使得 M 的任

5、始终角弦都经过 P 点. 2 2x y18设 P 0 x 0 , y 0 为椭圆或圆 C: 2 2a bP0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 就直线2k 1 k 2 1 m b2 . 1 m a1 a0,. b0上一点, P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦P1P2 通过定点 M mx 0 , my 0 m 1 的充要条件是名师归纳总结 19过椭圆x2y21a0, b0上任一点A x 0,y0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于第 1 页,共 18 页a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B,C 两点,就直线 BC 有定向且k BC2

6、 b x 0常数 . 2 a y 020椭圆2 xy21ab0的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF 2, 2 a2b就椭圆的焦点角形的面积为SF PF 12b2 tan2,Pac2b2tan22,b2tan2. cc21假设 P 为椭圆2 xy21ab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , PF F 2a2b2PF F 1,就a2c1tan2cot2. ac22椭圆x2yab0的焦半径公式：a2b2|MF 1|aex ,|MF2|aex F 1c,0, F2 ,0M x 0,y0. 23假设椭圆x2y21ab0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L

7、,就当a2b20e21时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 24P 为椭圆x2y21a b 0上任一点,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内肯定点,就a2b22a|AF 2| |PA|PF 1| 2a|AF1|,当且仅当A F 2,P 三点共线时,等号成立 . 25椭圆x2y21 a b 0上存在两点关于直线l ：yk xx0对称的充要条件是a2b2x 02a2b22. a22 b k226过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点 的连线必与切线垂直 . 27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就

8、该点与焦点的连线必与焦半径 相互垂直 . 28P 是椭圆x yacosab0上一点,就点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是bsin2 e112. x2y2k k0,k1上两点,其直线AB 与椭圆x2y21相交于P Q ,sin29设 A,B 为椭圆a22 ba2b2就 APBQ . 30在椭圆2 xy21中,定长为2moma的弦中点轨迹方程为2 m1 2 x2 y,a22 b2 sina222 cosb2 a2 b其中tan2 b x2,当y0时, 90 . 2 a y231设 S 为椭圆x2y21ab0的通径,定长线段L 的两端点 A,B 在椭圆上移动,记a2b2名师归纳总结 第 2 页,共

9、 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|= l ,M x 0,y0是 AB 中点,就当 lS 时,有x 0maxa2le2 c2 a22 b ,ec;当 lS 时,c2a有x 0maxa42 bl2,x 0min0. 2 A a2 B b2 C . 2 bC0有公共点的充要条件是22y21与直线AxBy32椭圆x a2b22 233 椭 圆 x2 x 0 y2 y 0 1 与 直 线 Ax By C 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a b2 2 2 2 2A a B b Ax 0 By 0 C . 2 234设椭圆 x2 y2 1

10、ab0的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一a b点,在 PF1F2 中,记 F PF 2 , PF F 2 , F F P,就有 sin ce . sin sin a2 2 2 2 2 235经过椭圆 b x a y a b ab0的长轴的两端点 A1和 A2的切线,与椭圆上任一2点的切线相交于 P1和 P2,就 | PA 1 | | PA 2 | b . 2 2x y36已知椭圆 2 2 1ab0,O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,且 OP OQ .a b2 2 2 2112 12 12 12 ;2|OP| 2+|OQ| 2 的最大值为 4a b2 2 ;3S OP

11、Q 的最小值是 a b2 2 . | OP | | OQ | a b a b a b2 2 2 2 2 237MN 是经过椭圆 b x a y a b ab0过焦点的任一弦,假设 AB 是经过椭圆中心2O 且平行于 MN 的弦,就 | AB | 2 a MN . 2 2 2 2 2 238MN 是经过椭圆 b x a y a b ab0焦点的任一弦,假设过椭圆中心 O 的半弦OP MN ,就 2 12 12 12 . a MN | | OP | a b2 239设椭圆 x2 y2 1ab0,Mm,o 或o, m为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,a b过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两

12、点,就直线 A 1P、A 2QA 1 ,A 2为对称轴上的两顶点 的交点2 2N 在直线 l ：x a 或 y b 上. m m40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,就 MFNF. 41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点交于点 M,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MFNF. P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q2 2x y42设椭圆方程 2 2 1 ,就斜率为 kk 0的平行弦的中点必在直线 l ： y kx 的共轭直线a b2y k x

13、上,而且 kk b2 . a2 2x y43设 A、B、C、D 为椭圆 2 2 1 上四点 ,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 ,直线a b2 2 2 2AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上 ,就 | PA | | PB | b2 cos2 a2 sin2 . | PC | | PD | b cos a sin2 2x y44已知椭圆 2 2 1ab0,点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点,F PF 的外内a b角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时, R、S 形成的轨迹方程是名师归纳总结 第 3 页,共 18 页- - -

14、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y22 a 2 b y2ace xc2 x2y2cx 2ce xc2. 45设 ABC 内接于椭圆,且 AB 为 的直径, l 为 AB 的共轭直径所在的直线,l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,就 CD 与椭圆 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点 . 2 2x y46过椭圆 2 2 1ab0的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂a b直平分线交 x 轴于 P,就| PF | e . | MN | 247设 Ax1 ,y1是椭圆 x 22 y2 21ab0上任一点,

15、过 A 作一条斜率为 b x 22 1 的直线a b a y 1L,又设 d 是原点到直线 L 的距离 , r r 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,就 rr d 1 2 ab. 2 2 2 248已知椭圆 x2 y2 1 ab0和 x2 y2 0 1 ,始终线顺次与它们相交于a b a bA、B、C、D 四点,就 AB =|CD . 2 249已知椭圆 x2 y2 1 ab0 ,A、B、是椭圆上的两点, 线段 AB 的垂直平分线与 xa b2 2 2 2轴相交于点 P x 0 ,0 , 就 a bx 0 a b. a a2 250设 P 点是椭圆 x2 y2 1 ab0上异于长轴端点的任一点

16、,F1、F2 为其焦点记a b2F PF 2,就 1 | PF 1 | PF 2 |1 2cos b.2 S PF F 1 2 b 2 tan2 . 51设过椭圆的长轴上一点 Bm,o作直线与椭圆相交于 P、Q 两点, A 为椭圆长轴的左顶点 , 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 B 点 的 直 线 MN ： x n 于 M , N 两 点 , 就2a m aMBN 90 2 2 . a m b n a 2 252L 是经过椭圆 x2 y2 1 ab0长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线, E、F 是椭圆两a b个焦点, e 是离心率 ,点 P L ,假设 EPF,就 是锐角且

17、sin e 或 arc sin e当且仅当| PH | ab 时取等号 . c2 2x y53L 是椭圆 2 2 1 ab0的准线, A、B 是椭圆的长轴两顶点 ,点 P L ,e 是离a b心率,EPF,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距,就 是锐角且 sin e 或 arc sin e当且仅当 | PH | ab 时取等号 . c2 254L 是椭圆 x2 y2 1 ab0的准线, E、F 是两个焦点, H 是 L 与 x 轴的交点,点a bP L ,EPF ,离心率为 e,半焦距为 c,就 为锐角且 sin e 或 2arc sin e 当且仅当 2| PH | ba 2c 2时

18、取等号 . c2 2x y55已知椭圆 2 2 1 ab0,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点,a b2 2 2将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,就 b 2| F A | | F B | 2 a2 b 当且仅当 AB x 轴时右边a不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号. 名师归纳总结 第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 56设 A、B 是椭圆x2y21 ab0的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,PAB, 22ab2| cos|.2 PBA,BPA, c、 e 分 别 是

19、椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 就 有 1|PA|2 aba22 c cos22 2tan tan 1 e .3 2S PAB 22 a b2 cot . b a2 257设 A、B 是椭圆 x2 y2 1 ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点 、外部的两a b2点,且 x 、x 的横坐标 x A x B a ,1假设过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,就PBA QBA ；2假设过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,就 PBA QBA 180 . 2 258设 A、B 是椭圆 x2 y2 1 ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点 ,外部的两a b点,1假设过 A 点引直线与

20、这椭圆相交于 P、Q 两点,假设 B P 交椭圆于两点,就 P、Q 不关于 x 轴对称,且 PBA QBA ,就点 A、B 的横坐标 x 、x 满意 x A x B a ；2假设过 B 点 22引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 PBA QBA 180 ,就点 A、B 的横坐标满意 x A x B a . 2 259设 A A 是椭圆 x2 y2 1 的长轴的两个端点,QQ 是与 AA 垂直的弦,就直线 AQ 与 AQ a b2 2的交点 P 的轨迹是双曲线 x2 y2 1 . a b2 260 过 椭 圆 x2 y2 1a b 0 的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦

21、AB 、 CD 就a b2 2 28 ab 2 a b 2 2 | AB | | CD | . a b a2 261到椭圆 x2 y2 1 ab0两焦点的距离之比等于 a cc 为半焦距的动点 M 的a b b轨迹是姊妹圆 x a 2y 2b . 22 262到椭圆 x2 y2 1 ab0的长轴两端点的距离之比等于 a cc 为半焦距的动a b b点 M 的轨迹是姊妹圆 x a 2y 2 b 2. e e2 263到椭圆 x2 y2 1 ab0的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 a cc 为半焦距a b b的动点的轨迹是姊妹圆 x a2 2y 2 b2 2e 为离心率 . e e2 264已

22、知 P 是椭圆 x2 y2 1 ab 0上一个动点,A , A 是它长轴的两个端点 ,且a b2 2 2AQ AP , AQ A P ,就 Q 点的轨迹方程是 x2 b y4 1 . a a65椭圆的一条直径 过中心的弦 的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项 . 名师归纳总结 66设椭圆x2y21 ab0长轴的端点为 A A ,P x 1,y 1是椭圆上的点过P 作斜率为a2b22 b x 12 a y 1的直线 l ,过 A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于 M M ,就第 5 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

23、- 1|AM| A M|2 b .2四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab . 2 267已知椭圆 x2 y2 1 ab0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线a b与椭圆相交于 A、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BC x 轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 2 2 x a y68OA、OB 是椭圆 2 2 1 a0,b0的两条相互垂直的弦, O 为坐标原点,a b2就1直线 AB 必经过一个定点 22 ab2 ,0 .2 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨a b2 2迹方程是 x 2 ab2 2y 2 2 ab2 2 x

24、 0 . a b a b2 269P m n是椭圆 x2 a y2 1ab0上一个定点, P A、P B 是相互垂直的弦,就a b2 2 2 2 21直线 AB 必经过一个定点 2 ab2 m a2 b , n b2 a2 .2以 P A、P B 为直径的两圆的另a b a b一个交点 Q 的轨迹方程是2 2 2 2 4 2 2 2 x ab2 a m2 2 y 2 b n2 2 a b2 n a2 2 b x m且 y n. a b a b a b 270假如一个椭圆短半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 L 的距离分别为 d1、d2,那么1d d 2 b ,2且 F1、F 2 在 L 同

25、侧 直线 L 和椭圆相切 .2d d 2 b ,且 F1、F2 在 L 同侧 直线 L 和椭圆相2离,3d d 2 b ,或 F1、F2在 L 异侧 直线 L 和椭圆相交 . 2 271AB 是椭圆 x2 y2 1ab0的长轴, N 是椭圆上的动点,过 N 的切线与过 A、Ba b的切线交于 C 、 D 两点,就梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x 24 a y 2 21 y 0 . 2 2 2 272设点 P x 0 , y 0 为椭圆 x2 y2 1 ab0的内部肯定点, AB 是椭圆 x2 y2 1 过定a b a b点 P x 0 , y 0 的 任 一 弦 , 当 弦

26、 AB 平 行 或 重 合 于 椭 圆 长 轴 所 在 直 线 时2 2 2 2 2 2| PA | | PB | max a b a y2 0 b x 0 . 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , b2 2 2 2 2 2| PA | | PB | min a b a y2 0 b x 0 . b73椭圆焦三角形中 , 以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 . 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点 . 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77椭

27、圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . 78椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 80椭圆焦三角形中 , 椭圆中心到内点的距离、 内点到同侧焦点的距离、 半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例 . 81椭圆焦三角形中 , 半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例 . 82椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线, 就椭圆中

28、心与垂足连线必 , 就椭圆中心与垂足的距离第 6 页,共 18 页与另一焦半径所在直线平行. 83椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为椭圆长半轴的长 . 84椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线, 垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的外角平分线与焦半径、值 e. 长轴所在直线的夹角的余弦的比为定86椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线 . 87椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的切线即为

29、该顶角的外角平分线 . 88椭圆焦三角形中 , 过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交 , 就以两交点为直径的圆必过两焦点 . 2 289. 已知椭圆 x2 y2 1 a 0, b 0 包括圆在内 上有一点 P ,过点 P 分别作直线 y bx 及a b aby x 的平行线,与直线 OP 分别交于 R Q ,O 为原点,就： . a1| OM | 2| ON | 2a ；22| OQ | 2| OR | 2b . 290. 过平面上的 P 点作直线 l 1: y b x 及 l 2: y b x 的平行线,分别交 x轴于 M , N ,交 y 轴于a a2 22 2 2 x yR Q

30、. 1 假 设 | OM | | ON | a, 就 P 的 轨 迹 方 程 是 2 2 1 a 0, b 0 .2 假 设a b2 2| OQ | 2| OR | 2b ,就 P 的轨迹方程是 2 x2 y2 1 a 0, b 0 . a b2 291. 点 P 为椭圆 x2 y2 1 a 0, b 0 包括圆在内 在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 xa b轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x轴于 M N ,交直线 y bx 于 Q R ,记 OMQ 与 ONR 的面积a为 S S ,就：S 1 S 2 ab. 292. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,

31、交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线b aby x 于 Q R ,记 OMQ 与 ONR 的面积为 S S ,已知 S 1 S 2,就 P 的轨迹方程是a 22 2x2 y2 1 a 0, b 0 . a b双曲线4点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,就焦点在直线 的圆,除去长轴的两个端点 . PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 7以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切 . 8设 A 1、A2 为双曲线的左、右顶点,就PF1F2 在边 PF2或

32、 PF1上的旁切圆,必与 A 1A2 所在的直线切于 A 2或 A 1. 2 2 9双曲线 x 2 y 2 1a0,b0的两个顶点为 A 1 a ,0 , A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交双曲 a b 2 2 y 2 1 . 线于 P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2交点的轨迹方程是 x 2 a b 2 2 10假设 P x 0 , y 0 在双曲线 x 2 y 2 1 a 0,b0上,就过 P 的双曲线的切线方程是 b a名师归纳总结 第 7 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x x 02 y y 02 1 . a b2

33、 211假设 P 0 x 0 , y 0 在双曲线 x2 y2 1a0,b0外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为a bP1、P2,就切点弦 P1P2的直线方程是 x x 02 y y 02 1 . a b2 212AB 是双曲线 x2 y2 1a0,b0的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,a b2就 k OM k AB b2 . a2 213假设 P x 0 , y 0 在双曲线 x2 y2 1a0,b0内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是a b2 2x x2 y y2 x 02 y 02 . a b a b2 214假设 P 0 x 0 , y 0 在双曲线 x2 y

34、2 1a0,b0内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是a b2 2x2 y2 x x2 y y2 . a b a b2 215 假 设 PQ 是 双 曲 线 x2 y2 1 b a 0 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 就a b12 12 12 1 2 r 1 | OP |, r 2 | OQ | . r 1 r 2 a b2 216假设双曲线 x2 y2 1ba 0上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax By 1 AB 0 ,a b4 2 4 2就1 12 12 A 2B 2;2 L 2 a A2 2 2 b B2 . a b | a A b B |2 217给定双曲线 C ：b x 2 2a y 2 2a b ab0, 2 2C ：b x 2 2a y 2 2 a2 b2 ab 2,就i对 C 上a b2 2 2 2任意给定的点 P x 0 , y 0 ,它的任始终角弦必需经过 C 上肯定点 M a2 b2 x 0 , a2 b2 y 0 . a b a b