2022年高中函数值域的求法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载高中函数值域的求法题型一求函数值：特殊是分段函数求值22xR. 例 1已知 fx1 xR,且 x 1,gxx 1 x1求 f2,g2的值；2求 fg3 的值 . 解1fx1,f21x12 11 3. 又 gx x 2 2,g22 2 26. 2g33 2211,fg3 f11111 11 12. 反思与感悟 求函数值时,第一要确定出函数的对应关系 f 的详细含义, 然后将变量代入解析式运算,对于 fgx型的求值,按 “ 由内到外 ”的次序进行,要留意 fgx与 gfx的区分 . x1跟踪训练 4 已知函数 fx. x21求 f

2、2；2求 ff1. 解 1fxx 1x2,f221223 4. 22f111122 3, ff1 f2 33125 8. 325.已知函数 fxx 2x1. 11求 f2,f x；2如 fx5,求 x 的值 . 解 1f22 2215,2f 1xx 12x11xx . 2fxx 2x15,x 2x 60,x2,或 x 3. 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4.函数 fx对任意自然数 x 满意 fx1fx1,f0 1,就 f5 _. 答案 6 解析 f1f0111 2,f2f1 1 3,f3f

3、2 1 4,f4f315,f5f416. 二、值域是函数 y=fx 中 y 的取值范畴；常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分别常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终；求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）例 1 一次函数 y=ax+ba0 的定义域为R,值域为 R；y|y0 ；b2. 4反比例函数ykk0的定义域为 x|x0 ,值域为 y|yx二次函数fx ax2bxc a0 的定义域为R,4 ac当 a0 时

4、,值域为 y|y 4 acab2 ；当 a0,yx1 = x精品资料12欢迎下载x22,x当 x0 时,就当xb精品资料y min欢迎下载b2；时,其最小值 4ac2a4 a当 a0）时或最大值（a0）时,再比较 f a , f b 的大小打算函数的最大（小）值 . 如 x 0 a,b, 就a,b 是在 f x 的单调区间内,只需比较 f a , f b 的大小即可打算函数的最大（小）值 . 注：如给定区间不是闭区间,就可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时,就应依据其对应区间特殊是区间两端点的位置关系进行争论 . 练习： 1、求函数 y = 3+23x的值域,3解： 由算术平方根的性质

5、,知,x23x 0,故3+23x 3 ；函数的值域为.,05的值域42、求函数yx22x5x1 时,ymin解：对称轴x105,x5时,y max20值域为4,201 单调性法名师归纳总结 例 3 求函数 y=4x 13xx 1/3 的值域；第 4 页,共 24 页设fx=4x,gx= 13x,x 1/3,易 知 它 们 在 定 义 域 内 为 增 函 数 , 从 而y=fx+gx=4x-13x在定义域为x1/3 上也为增函数,而且yf1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载y|y 4/3 ；

6、小结 ：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域；练习： 求函数 y=3+4x的值域； 答案：y|y 3 2 换元法例 4 求函数yx21x的值域解： 设1xt,就yt22 t1t0max2对称轴t10 ,且开口向下当t1 时,y值域为, 2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域；这种解题的方法表达换元、化归的思想方法； 它的应用非常广泛；练习：求函数y=x1x的值域；（答案：y|y 3/4 名师归纳总结 求1sinxcosx的值域；cos0,2

7、第 5 页,共 24 页sinxcosx例 5 （三角换元法）求函数yx1x2的值域解：1x1设xcos,0ycossincossin2sin4,12原函数的值域为1,2小结：（1）如题目中含有a1,就可设asin,22 或设 a（2）如题目中含有a22 b1就可设acos,bsin,其中0（3）如题目中含有1x2,就可设xcos,其中 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如题目中含有1x2精品资料x欢迎下载22,就可设tan,其中（5）如题目中含有xyr x,0 y,0 r0,就可设xr2 cos,yr2 sin其中0,23 平方法例 5 （选

8、）求函数yx35x的值域解：函数定义域为：x3 5,x28x15 由x,35,得x28x1501,y2x3 5x 2y22,4原函数值域为2,24 分别常数法例 6 求函数yx1的值域,x2由yxx2231x321,可得值域yy1小结： 已知分式函数yaxbc0,假如在其自然定义域（代数式自身对变量cxd的要求） 内,值域为yya；假如是条件定义域 （对自变量有附加条件）c采纳部分分式法将原函数化为yabadadbc,用复合函数法来cccxd求值域；练习名师归纳总结 求函数y2 x1的值域第 6 页,共 24 页4x6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

9、求函数y33x1的值域精品资料欢迎下载x例 7 求函数y=2x1的值域；（y-1 ,1 ）22x1求yxx1的值域t3解法一：（图象法） 可化为yy42x,x131如图,14同样可得值域2,1x4,x3观看得值域y444x3 x1解法二：（不等式法）x3x1x3x1x14x1x4x练习 ：yxx1的值域x,1的值域例 8 求函数y9x3x21,0名师归纳总结 解：（换元法） 设x 3t,就1t32原函数可化为,ymint2;t3时,ymax8第 7 页,共 24 页yt2t2,对称轴t1,1 3t1时2值域为2,81,就y1t1 例 9 求函数y1x22x的值域3解：（换元法） 令tx22xx

10、1 3由指数函数的单调性知,原函数的值域为1 3,例 10 求函数yx 2x0 的值域- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（图象法） 如图,值域为01,精品资料欢迎下载名师归纳总结 （换元法） 设3x1t,1111t1cos21,1第 8 页,共 24 页就yx 3x11113x3tt10110y1t原函数的值域为0 1,例 13 函数yx21的值域x211y12 解法一：（逆求法）x21y01y原函数的值域为1,1解法二：（换元法） 设x21t,就t10221y1原函数值域即得t解法三：（判别式法） 原函数可化为y12 x0xy10,就1）y1时

11、不成立1y12）y1时,004 y1 y1 01y1综合 1）、2）值域y|1y12,2解法四：（三角换元法）xR设xtany1tan2cos2y2,21tan1原函数的值域为y|1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 14 求函数y22 x5x3精品资料欢迎下载5的值域4t名师归纳总结 解法一：（判别式法） 化为2yx 24yx3y5 0y|5 y5第 9 页,共 24 页1）y0时,不成立02）y0时,0 得 4y8y 3y5 00y50y5综合 1）、 2）值域y|0y5 解法二：（复合函数法）令2 x24x3t,就y5tt2 x12110y5所

12、以,值域例 15 函数yx11的值域y30x解法一：（判别式法） 原式可化为x21yx1001y240y3或 y1原函数值域为,13,解法二：（不等式法）1）当x0时,x12yx2）x0时,x1x12y1xx综合 1）2）知,原函数值域为,13,例 16 选 求函数yx2x2 x2x1 的值域1解法一：（判别式法） 原式可化为x22y x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 02y 2精品资料y 欢迎下载y2或y24 20x 1 y 2 舍去原函数值域为 2 ,2解法二：（不等式法） 原函数可化为 y x 1 1 x 1 12 x 1 x 1 x 1当且

13、仅当 x 0 时取等号,故值域为 2 ,2例 17 （选）求函数 y x 2 x 2 2 x 2 的值域x 1解：（换元法） 令 x 1 t,就原函数可化为 y t 1 1 t 3；t小结： 已知分式函数 y ax2 2 bx c a 2d 20 ,假如在其自然定义域内可采纳dx ex f判别式法求值域；假如是条件定义域,用判别式法求出的值域要留意取舍,或者可以化为（选）y二次式 或y一次式的形式,采纳部分分式法,进而用基本不等式法求一次式二次式出 函 数 的 最 大 最 小 值 ；如 果 不 满 足 用 基 本 不 等式 的 条 件 , 转 化 为 利 用函 数yxax0 的单调性去解；x利

14、用判别式求值域时应留意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法,但在教学过程中, 许多同学对用判别式求值域把握不好； 一是不懂得为什么可以这样做, 二是同学对哪些函数 求值域可以用判别式法, 哪些函数不能也比较模糊； 本人结合自己的教学实践谈 谈对本内容的一点体会；一、判别式法求值域的理论依据名师归纳总结 例1、 求函数yxx2xx1的值域第 10 页,共 24 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载象这种 分子、分母的最高次为解：由yxx2xx1得：22 次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域；（y-1 ）x2+1-yx+y=0

15、 上式中明显 y 1,故式是关于 x 的一元二次方程令y 1y24yy1 1 ,又y10,解得1y3xx2xx的值域为 11 3,2用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,错,因此在用判别式求值域时应留意以下几个问题：但在用判别式法求值域时常常出一、要留意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验名师归纳总结 例：求函数y2x2x13的值域；10（）1第 11 页,共 24 页x22x错解：原式变形为 2y1x2 2y1x3yxR, 2y124 2y1 3y1 0,解得3y1；102故所求函数的值域是3,1 21不在函数的值域内； 事实上,y10错因：把y1代入方程（）

16、明显无解, 因此y222时,方程（）的二次项系数为0,明显不能用“” 来判定其根的存在情形；1 2；正解：原式变形为 2y1x2 2y1x3y10（）（1）当y1时,方程（）无解；22y1 3y10,解得3y（2）当y1时,xR,2y124 210- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料,1欢迎下载综合（ 1 ）、（2）知此函数的值域为3102二、留意函数式变形中自变量的取值范畴的变化例 2：求函数yx 224x3的值域；x6y3 0xx6错解：将函数式化为y1 x2y4 y（1 ）当y1时,代入上式得3x90,x3,故y1属于值域；（2 ）当y1时

17、,5y2 20,R；综合（ 1）、（2）可得函数的值域为错因：解中函数式化为方程时产生了增根（x3与x2虽不在定义域内,但是方程的根） ,因此最终应当去掉x3与x2时方程中相应的y 值；所以正确答案为y|y1,且y2 5；三、留意变形后函数值域的变化例 3：求函数yx1x2的值域；2；错解：由已知得yx1x2,两边平方得yx 21x2整理得2x22yxy210,由2y28 y210,解得2y1,1故函数得值域为2,2；错因：从式变形为式是不行逆的,扩大了y 的取值范畴；由函数得定义域为易知yx1,因此函数得最小值不行能为2 ；x1时,y1,ymin1,故函数的值域应为,12；四、留意变量代换中

18、新、旧变量取值范畴的一样性名师归纳总结 例 4：求函数yx24的值域；第 12 页,共 24 页x25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 错解： 令tx24,就y精品资料,yt2欢迎下载y0,由14y20及y0ttt211得值域为 y ,0 ；22错因：解法中忽视了新变元 t 满意条件 t 2；设 f t yt t y,y 0,t ,2 ,0 y 02 2f 2 0 或 f 2 0 0 y；故函数得值域为（0,；5 51 22 y综上所述, 在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易显现不行逆得步骤,从而转变了函数得定义域或值域；因此,用判别式求函数值

19、域时,变形过程必需等价,必需考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并留意检验区间端点是否符合要求；练习 ：1 、yx219x0 ；1211,y11. 2911或利用对勾函数图x2解：x0,yx219xx2x另外,此题利用基本不等式解更简捷：yx219x2像法 2 、y2x2534 x0y5. 3 、求函数的值域名师归纳总结 yx2x；y24 xx2第 13 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：令u2x0,就x精品资料2, 欢迎下载2u名师归纳总结 原式可化为y2u2u u129, 第 14 页,共 24 页24u0,y9 ,函数的值域

20、是（ -4,9 . 4解：令t=4xx20 得 0x4 在此区间内4x2 x m ax=4 ,4x2 x m in=0 函数y24 xx2的值域是 y| 0y2 4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域 . 2x1 x1 解法 1：将函数化为分段函数形式：y3 1x2 ,画出它的图象（下图） ,2x1 x2 由图象可知,函数的值域是y|y3. 解法 2：函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点 -1 ,2 的距离之和,易见y 的最小值是3,函数的值域是 3 ,+. 如图x-1O12-1O x12-1O12x5、求函数y2x41x的值域解：设t1x就 t0 x=12t代入

21、得yf t21t24t2 t24t22t1 24t0 y4 6、（选）求函数yx25x6的值域x2x6方法一：去分母得y 12 x +y+5x6y6=0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 y 1 时xR =y+5精品资料欢迎下载0 2 +4y1 6y+1由此得5y+1201 5512（代入求根） y| 检验y1（有一个根时需验证）时x5262 定义域 x| x2 且 x 3 y151 5 5再检验y=1 代入求得x=2 y 1 综上所述,函数yx25x6的值域为 y| y1 且 yx2x6方法二：把已知函数化为函数yx2x3x3x63x 2 x2x

22、3x3由此可得y 1, x=2时y1即y1函数yx25x6的值域为55x2x6y 1 且 y15函数值域求法十一种1. 直接观看法 对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；名师归纳总结 例 1. 求函数y1的值域；第 15 页,共 24 页x解：x010x明显函数的值域是：, 0,0例 2. 求函数y3x的值域；解：x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x0, 3x3精品资料欢迎下载故函数的值域是：3,2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例 3. 求函数yx22x,5x,12的值域；4,当x1 时,y max8解：将函数配方得：

23、yx124x,1 2由二次函数的性质可知：当 x=1时,ymin故函数的值域是：4,8 3. 判别式法例 4. 求函数y11xxx2的值域；2解：原函数化为关于 x 的一元二次方程y1 x2y1x000（1）0在实数集 R有实（1）当y1时,xR124y1 y1 0解得：1y322（2）当 y=1时,x0,而11,322故函数的值域为1,322例 5. 求函数yxx2x的值域；解：两边平方整理得：2x22y1 xy2xRx24y1 28 y0解得：12y12但此时的函数的定义域由x2x0,得由0,仅保证关于 x 的方程：2x22y1 xy2根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程（1

24、）有实根,名师归纳总结 由0求出的范畴可能比 y 的实际范畴大,故不能确定此函数的值域为第 16 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1,3；精品资料欢迎下载22可以实行如下方法进一步确定原函数的值域；0 x 2y x x 2 x 0y min 0 , y 1 2 代入方程（1）x 1 2 2 2 4 2 0 , 2 解得：22 2 2 4 2x 1即当 2 时,原函数的值域为： 1,0 2 注：由判别式法来判定函数的值域时,如原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除；4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过

25、求其原函数的定义域来确定原函数的值域；3x446yx3例 6. 求函数5x6值域；解：由原函数式可得：x5y3就其反函数为：y4x6y53,其定义域为：5故所求函数的值域为：,3 55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域；名师归纳总结 例 7. 求函数yex1的值域；1第 17 页,共 24 页ex1解：由原函数式可得：exyy1ex0y10y1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得：1y1精品资料欢迎下载故所求函数的值域为1,1 x3y,可化为：例 8. 求函数ycosx3的值域；sinx解：由原函数式可得：ysinxcosy21sinxx3y即sinxx3y1y2xRsinxx1,1即13y11y2解得：2y244故函数的值域为2,2446. 函数单调性法名师归纳总结 例 9. 求函数y2x5log3x12x10的值域；第 18 页,共 24 页解：令y12x5,y2log3x1就y1y2在2,10上都是增函数所以yy1y2在2,10上是增函数