2022年高中数学空间向量与立体几何.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源专题四：立体几何第三讲 空间向量与立体几何【最新考纲透析】1空间向量及其运算（1）明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的线性运算及其坐标表示；（2）把握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直；2空间向量的应用（1）懂得直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线,直线与平面,平面与平面的垂直、平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直

2、线与平面、平面与平面的夹角的运算问题,明白向量方法在讨论立体几何问题中的应用；【核心要点突破】要点考向 1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦： 1 平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点；2题型敏捷多样,难度为中档题,且常考常新；考向链接： 1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中常常考查的一个重要内容,一方面考查同学的空间想象才能和规律推理才能；另一个方面考查“ 向量法” 的应用；2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证；例 1：（ 2022 安徽高考理

3、科 18）如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF AB , EF FB ,AB 2 EF ,BFC 90, BF FC , H 为 BC 的中点； 1 求证： FH 平面 EDB ；2 求证： AC 平面 EDB ；3 求二面角 B DE C 的大小；【命题立意】此题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考生的空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源【思路点拨】可以采纳综合法证明,亦可采纳向量法证

4、明；【规范解答】四边形ABCD 为正方形,ABBC,又EFFB EF/AB ,ABFB,且BCFBB,ZFHCYAB平面FBC,ABFH,又BFFC H为BC 中点,FHBC,且ABBCB ,EFH平面ABC .如图,以H为坐标原点,分别以HB GH HF的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立坐标系,令BH1,就A 1, 2,0,B1,0,0,C 1,0,0,D 1, 2,0,E0, 1,1,F0,0,1.ADGB1 设AC与 BD的交点为 G,连接 GE、GH,就 G（ 0,-1,0）, GE0,0,1,X又HF0,0,1,GE /HFGE平面 EDB, HF平面 EDB,HF/平面 EDB

5、2AC 2,2,0,GE0,0,1,ACGE0,ACGE又ACBD,且GE BD=G,AC平面EBD.3 设平面 BDE的法向量为 n 11, y z 1,z 10,BE 1, 1,1, BD 2, 2,0.由BEn 10, 即12y 1z 100,得y 11,BDn 102y 1n 1（,1,0）1,设平面 CDE的法向量为 n 21, y2,z 2,CD0, 2,0,CE1, 1,1.由CDn20,即1y 20,得 0y 20,z 2CEn 20y2z 2n2（,1 0,-1）cosn n2|n n 2|121,n 1|n 222n n 260 ,即二面角 B-DE-C为60 ；【方法技巧

6、】 1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小,可以先构造二面角的平面角,然后转化到一个合适的三角形中进名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源行求解；4、以上立体几何中的常见问题,也可以采纳向量法建立空间直角坐标系,转化为向量问 题进行求解证明；应用向量法解题,思路简洁,易于操作,举荐使用；要点考向 2：利用空间向量求线线角、线面角 考情聚焦： 1线线角、线面角是高考命题的重点内容,几乎每年都考；2在各类

7、题型中均可显现,特殊以解答题为主,属于低、中档题；考向链接： 1利用空间向量求两异面直线所成的角, 直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量,就（2）线面角设是直线 l 的方向向量,n是平面的法向量,就2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标；证、运算；（5）转化为几何结论；（2）求出相关 点的坐标；（3）写出向量坐标； （4）结合公式进行论例 2：（2022 辽宁高考理科 19）已知三棱锥PABC中, PA ABC,ABAC,PA=AC=1 2AB,N 为AB上一点, AB=4AN,M,S分别 为 PB,BC的中点 .

8、 （）证明： CMSN；（）求 SN与平面 CMN所成角的大小 . 【命题立意】此题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的运算问题,考查了考生的空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能；【思路点拨】建系,写出有关点坐标、向量的坐标,（ I ）运算 CM SN 的数量积,写出答案；（ II ）求平面 CMN的法向量,求线面角的余弦,求线面角,写出答案；【规范解答】设 PA1,以 A为原点,射线 AB、AC、AP分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图；就 P0,0,1,C0,1,0, B2,0,0,M1,0, 1 ,N1 ,0,0 ,S1,1 ,0 2 2 2（I

9、 ）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源CM1, 1,1,SN1,1,0,222由于CM SN110022所以CMSNIINC1,1,0,2设a , x y z , 为平面CMN的一个法向量,就x1yz0令x2,得a2,1, 22xy02由于|cosa SN|=-1-1223222所SN与平面CMN所成的角为45o【方法技巧】 （1）空间中证明线线,线面垂直,常常用向量法；（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决；（3）线面角的范畴是 要取肯定值；0 90 ,因此直线的方向

10、向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的,要点考向 3：利用空间向量求二面角考情聚焦： 1二面角是高考命题的重点内容,是年年必考的学问点；2常以解答题的形式显现,属中档题或高档题；考向链接： 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平 面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要留意结合实际图形判定所求角是锐角仍是钝角；其运算公式为：设分别为平面9）的法向量,就与互补或相等,例 3：（2022 天津高考理科 名师归纳总结 如图,在长方体ABCDA B C D 中, E 、 F 分别是 棱 BC ,CC 1第 4 页,共 22 页上的点,CFAB2 CE ,AB AD

11、AA 11: 2: 4（1）求异面直线EF 与A D 所成角的余弦值；1（2）证明 AF平面A ED- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）求二面角A 1EDF 的正弦值；名师整理优秀资源【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础学问,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象才能、运算才能和推理论证才能；【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题；【规范解答】 方法一： 以 A 为坐标原点, AB所在直线为X 轴,AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示）,设AB1, 依题意得D0,2,0,F1,2,

12、1,A 10,0,4,E1,3,02（1）易得EF0,1,1,A D0,2, 4,于是cosEF A DEF A D3,2EFA D5名师归纳总结 所以异面直线EF 与A D 所成角的余弦值为3；E第 5 页,共 22 页5（2）证明：已知AF1,2,1,EA 11,3,4,ED1,1,022于是 AF EA =0, AF ED =0. 因此,AFEA , AFED , 又EA 1ED所以 AF平面1A ED3 解：设平面 EFD 的法向量u , , x y z ,就u EF0, 即1yzy002u ED0x12不妨令 X=1, 可得u1,2 1）；由（ 2）可知, AF为平面A ED 的一个

13、法向量；于是cosu , AF=uAF=2,从而sinu , AF=533| | u |AF|所以二面角A -ED-F 的正弦值为53- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源要点考向 4：利用空间向量解决探干脆问题考情聚焦： 立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题）,能较好地考查同学的规律推理才能和空间想象才能,是今后考查的重点,也能很好地表达新课标高考的特点；例 4：（2022 福建高考理科 18）如图,圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB是圆 O的直径；（I ）证明

14、：平面 A1ACC1 平面 B1BCC 1；（II ）设 ABAA1, 在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1 内的概率为p；（000 90 ）；当 p 取最大值时,求cos的值；（i ）当点 C在圆周上运动时,求p 的最大值；（ii ）记平面 A1ACC 1 与平面 B1OC所成的角为【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础学问；考查空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能；考查数形结合思想、化归与转化思想、必定与或然思想；【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到面面垂直；其次步

15、第一求出长方体的体积,并求解三棱柱的体积的最大值,利用体积比运算出几何概率；立体几何中我们可以利用向量处理角度问题,立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等；关于角的运算,均可归结为两个向量的夹角；对于空间向量a,b,有cosa,b|a|b|,利用这一结论,我们可以较ab便利地处理立体几何中的角的问题；【规范解答】（I ）A A 平面 ABC , BC 平面 ABC ,A A BC ,又 AB 是 O 的直径,BC AB ,又 AC AA 1 A,BC 平面 A ACC ,而 BC 1 1 平面 B BCC ,所以平面 1 1 A ACC 1 1平面 B BCC ；

16、2 3（II ）（i ）设圆柱的底面半径为 r ,就 AB AA 1 2 r ,故圆柱的体积为 V r 2 r 2 r,设三棱柱ABC-A1B1C1, 的体积为 V ,所以 P V 1,所以当 V 取得最大值时 P 取得最大值；又由于点 C 在圆周上运动,V所以当 OC AB 时,ABC 的面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积 V 最大,且其最大值为 1 2 r r 2 r 2 r 3,故P的最大值为 1 ；2（ii ）由（ i ）知, P 取最大值时, OCAB ,于是,以 O 为坐标原点,建立空名师归纳总结 间直角坐标系Oxyz ,就C r,0,0 ,B0, ,0 ,B

17、10, ,2r,BC平面第 6 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A ACC ,BCr,r,0是平面名师整理优秀资源B OC 的法向量为nx y z ,由A ACC 的一个法向量,设平面0,于nOC,ryrx0nOB 12 rz0, 2,1,000 90 ,coscosn BC10 5；n所以平面B OC 的一个法向量为【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题,此题的（II ）（i ）也可以采纳向量法进行证明： 以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系Oxyz ,设圆柱的底面半径为r ,C rcos , sin ,0,就

18、ABAA 12 r ,故圆柱的体积为VS所以当V 取得最大值时P 取得最大值；面积最大, 进而,三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积【高考真题探究】r 22 r 2 r 3,设三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积为 V ,所以 P V 1,VABC 1 2 r r cos r 2cos,所以当 cos 1时的 ABC 的2V 最大,且其最大值为 1 1 2 r r 2 r 2 r 3,故 P 的最大值为 1 ；21.（2022 广东高考理科r 0）如向量 ar =（1,1,x ）, b=1,2,1, r c=1,1,1,满意条件 r cr ra 2 =-2,就 x = . 【命题立意】此题

19、考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算 . 【思路点拨】先算出 c a、 2b ,再由向量的数量积列出方程,从而求出 .xr r r【规范解答】c a 0,0,1 x , 2 b 2 , 4 , 2,由 c a 2 2得0,0,1 x 2, 4,2 2,即 21 x 2,解得 x 2.【答案】 22. （2022 浙江高考理科 20）如图,在矩形 ABCD 中,点 E F 分别在线段AB AD 上 ,A E E B A F 2 F D. 沿 直 线 EF 将 V AEF 翻 折 成 V A E F , 使 平 面3A E F 平面 B E F（）求二面角 A FD C 的余弦值；（）点 M

20、N 分别在线段 FD BC 上,如沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长；【命题立意】此题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础学问,考查空间向量的应用,同时考查空间想象才能和运算求解才能；【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系,利用空间向量解决问题；方法二利用名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源几何法解决 求二面角问题和翻折问题；为【规范解答】方法一： （）取线段EF 的中点 H,连结 A H ,因 A E = A F 及 H是

21、EF的中点,所以 A HEF , 又由于平面 A EF平面 BEF . 如图建立空间直角坐标系 A-xyz ,就 A （2,2, 2 2 ）,C（10,8,0）,F（4,0,0）,D（10,0, 0）. 故 FA =（-2 ,2,2 2）,FD=（6,0,0） . 设n=（x,y,z ）为平面 A FD 的一个法向量,所以 2 x 2 y 2 2 z 0；6 x 0取 z 2,就 n 0, 2, 2；又平面 BEF 的一个法向量 m 0,0,1,故 cos n m n m 3；n m 3所以二面角的余弦值为 33（）设 FM x BN a ,就 M 4 x ,0,0,N a ,8,0,由于翻折

22、后,C 与 A 重合,所以 CM A M ,CN A N ,故,610 xa 2 2 8 22 0 = 2a 2（6 2 22 x）22 22 2（2 2）2,得 x 214,a 134,所以 FM 21；43. （2022 陕西高考理科 8）如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是矩形 PA平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2 ,E,F分别是 AD, PC的中点 . （）证明： PC平面 BEF；（）求平面 BEF与平面 BAP夹角的大小；【命题立意】此题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题,考查了同学们的空间想象才能以及空间思维才能以及利用空间向量解决立

23、体几何问题的方法与技巧；【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系,利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解 . 名师归纳总结 【规范解答】解法一（）如图,以A 为坐标原点, AB,AD, AP所在的直线分第 8 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源别为 x,y, z 轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2, BC=2 2 ,四边形 ABCD是矩形 . A, B,C,D的坐标为 A0,0,0,B2,0,0,C2, 2 2 ,0 ,D0, 2 2 ,0 ,P0,0,2 又 E,F 分别是 AD,PC的中点, E0 ,2 ,0,

24、F1 ,2 ,1. PC =（2, 2 2 ,-2 ） BF =（ -1 ,2 ,1） EF =（ 1,0, 1）, PC BF =-2+4-2=0 , PC EF =2+0-2=0 ,EFF , PC平面 BEF BAP 的 法 向 量 PC BF , PC EF , PCBF,PCEF, BFn 1PC2,22, 2,平 面（ II） 由 （ I） 知 平 面BEF的 法 向 量n 2AD0,2 2,0,n n 28,n n 1 2n n 1 282,设平面 BEF与平面 BAP的夹角为,就coscosn n 24 2 220 45 , 平面 BEF与平面 BAP的夹角为0 45ABCD

25、中,4. （2022 重庆高考文科 20）如题图,四棱锥P底面 ABCD 为矩形, PA底面ABCD,PAAB2,点 E 是棱 PB 的中点 . （I ）证明： AE 平面 PBC；（II ）如 AD 1,求二面角 B EC D 的平面角的余弦值 . 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线 与平面的位置关系,考查余弦定理及其应用,考查空间向量的基础学问和在立体几何中的应用,考查空间想象才能,推理论证才能,运算求解才能,考查数形结合的思想,考查化归与转化的思想 . 【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直,（II ）作出二面角的平面角,再利用三角函数、余弦定理等学问求余弦值 .

26、或建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值 . 【规范解答】 （I ）以 A 为坐标原点,名师归纳总结 射线AB AD AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴, P0,0,2,第 9 页,共 22 页建立空间直角坐标系Axyz . 如下列图 . 设 设D 0 , a, 0 , 就 B2 ,0,0, C 2, ,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E2,0,2；于是AE2名师整理优秀资源0, ,0,PC2, ,2,就,0,2 2,BC222u u u r u u u r u u u r u u u rA E B C

27、 0 , A E,0 P Cuuur uuur uuur uuur所以 AE BC AE PC,故 AE 平面 PBC . （II ）设平面 BEC的法向量为 1n ,由（）知,AE 平面 BEC,故可取 n 1 EA（2,2）. 设2 2uur uuur uur uuur平面 DEC的法向量 n 2（x 2 , y 2 , z 2）,就 n 2 DC 0, n 2 DF 0,由 AD 1 ,得 D（0 ,1,0）,G（2 ,1,0）,x 2 0从而 DC（2 ,0,0）,DE（2 2, 1,2 2）,故 2 x 2 y 2 2 z 2 0,所以 x 2 0,z 2 2 y ,22 2可取 y

28、 2 1,就 n 2（ , ）,从而 cos n n 2 n n 2 3. n n 2 3【方法技巧】 （1）用几何法推理证明、运算求解；（2）空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题 . 5. （2022 江西高考文科 ）如图,BCD 与MCD 都是边长为2 的正三角形,A平面 MCD平面 BCD , AB平面 BCD ,AB2 3. （1）求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小；（2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. BMD【命题立意】此题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系,考查空间线面角、二面角的问题以及有关的运算问题,考查空C间向量的坐标运

29、算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象才能、推理论证才能、划归转化才能和运算求解才能；【思路点拨】此题主要有两种方法,法一：几何法（1）直接找出线面角,然后求解；（2）对二面角的求法思路,一般是分三步“ 作”,“ 证” ,“ 求”. 其中“ 作” 是关键,z“ 证”是难点 . 法二：建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. A【规范解答】 取 CD中点 O,连 OB,OM,就 OBCD,OMCD,又平面 MCD平面 BCD , 就 MO平面 BCD . 名师归纳总结 以 O为原点,直线OC、BO、OM为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标BxCMyDO第 10 页,共 22

30、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源3, 0）,系如图 . OB=OM= 3 ,就各点坐标分别为O（0,0,0）,C（1,0,0）,M（0,0,3 ）,B（0,-A（0,-3 ,23 ）,（1）设直线 AM与平面 BCD所成的角为. 因 AM（ 0,3 ,3 ）,平面 BCD 的法向量为n0,0,1. 就有sincosAM nAM n32,所以45 . AMn62（2）CM 1,0,3,CA 1,3,2 3. 设平面 ACM的法向量为n 1 , , x y z ,由n 1CM得x3z0z0. n 1CAx3y2 3解得x3 z,yz,

31、取n 1 3,1,1. 又平面 BCD的法向量为n0,0,1,就cosn nn n1设所求二面角为,就sin1122 5. n 1n5556. （2022 四川高考理科 18）已知正方体ABCDA B C D 的棱长为 1,点 M 是棱 AA 的中点,点 O 是对角线 BD 的中点 . （）求证：OM 为异面直线AA 和 BD 的公垂线；（）求二面角MBCB 的大小；（）求三棱锥MOBC 的体积 . 【命题立意 】 此题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础学问,并考查空间想象才能和规律推理才能,考查应用向量学问解决名师归纳总结 - - - - - - -数学问题的

32、才能,转化与化归的数学思想. 【思路点拨 】方 法一：几何法问题（）,分别证明 OMAA , OMBD 即可 .问题（ II ）第一利用三垂线定理,作出二面角MBCB 的平面角,然后通过平面角所在的直角三角形,求出平面角的一个三角函数值,便可解决问题. 问题（）挑选便于运算的底面和高,观看图形可知,OBC 和OA D 都在平面BCD A 内,且SOBCSOA D,故V MOBCV MOA DV OMA D,利用三棱锥的体积公式很快求出V OMA D. 方法二：建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答 】 方法一 ：（I ）连结 AC . 取 AC 的中点 K ,就 K 为

33、BD 的中点,连结OK . 第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源点 M 是棱 AA 的中点,点 O 是 BD 的中点,由 AA AK ,得 OM AA . AK BD AK BB , AK 平面 BDD B . AK BD . OM BD . 又 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交,故 OM 为异面直线 AA 和BD 的公垂线,（II ）取 BB 的中点 N ,连结 MN ,就 MN平面BCC B,B 的大小为 arctan2 2 . 过点过点 N 作 NHBC 于 H ,连结 MH ,就由三垂线定理得, BCMH . MHN 为

34、二面角 MBCB 的平面角 . MN1,NHBNsin 45122. 224BC在 Rt MNH 中 .tanMHNMN12 2故二面角 MNH24（ III）易知,SOBCSOA D, 且OBC 和OA D 都在平面BCD A 内,点 O 到平面 MA D 的距离h1,VMOBCVMOA DV O MA D1SMA Dh1. 2324Dxyz , 方法二 ：以点 D 为坐标原点,建立如下列图的空间直角坐标系就A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,A1,0,1,C0,1,1,D0,0,1（I ） 点 M 是棱 AA 的中点,点 O 是 BD 的中点,名师归纳总结 M1,0,1, O1 1

35、1 , ,2 2 2,OM1,1 2,0, 1,1,BC 1,0,1. 第 12 页,共 22 页22AA0,0,1 ,BD 1, 1,1. OMAA0 ,OMBD1100, 22BM0, OMAA , OMBD , 又 MO 与异面直线AA 和 BD 都相交,故 MO 为异面直线AA 和 BD 的公垂线,（II ）设平面 BMC 的一个法向量为n 1 , , x y z ,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源x y z 1,n 1BM0,即y1z0.0,2n 1BC0.xz取z2,就x2,y1.n 12,1,2. 取平面BC B的一个

36、法向量n 20,1,0. cosn n2n n2111,由图可知,二面角MBCB 的平面角为锐角,n n293故二面角 MBCB 的大小为arccos1. 3（III）易知,SOBC1S四边形BCD A1122,设平面 OBC 的一个法向量为n 3444BD 1 1, 1,1,BC 1,0,0, n 3BD10,即x 1y 1z 10,n 3BC0.x 10.1 24. 取z 11,就y 11,从而n 30,1,1. 点 M 到平面 OBC 的距离dBM n 311.V MOBC1SOBCd1212n 32 23342 22【跟踪模拟训练】一、挑选题 每道题 6 分,共 36 分 名师归纳总结 1. 已知点 A（-3,1,-4）,就点 A关于 x 轴的对称点的坐标为 ）A （ -3,-1,4）B-3,-1,-4C3,1,4D3,-1,-4 2. 在正三棱柱ABCA1B1C1 中, D是 AC的中点, AB1BC1,就平面 DBC1 与平面 CBC1 所成的角为 A30 B45 C60 D903. 设动直线xa 与函数f 2 2 sin 4x 和g x 3cos2x 的图象分别交于M 、 N 两点,就|MN|的最大值为（） A