2022年高中数学三角函数疑点难点讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 高中数学三角函数疑点难点讲解【考点注视】1、 把握三角函数概念,其中以三角函数的定义学习为重点；（理科：兼顾反三角）2、 提高三角函数的恒等变形的才能,关键是熟识诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等,把握常见的变形方 法；3、 解决三角函数中的求值问题,关键是把握未知与已知之间的联系；4、 娴熟运用三角函数的性质,需关注复合问题,在问题转化过程中,进一步重视三角恒等变形；5、 把握yAsinx等的图象及性质,深刻懂得图象变换之原理；6、 解决与三角函数有关的（常见的）最值问题；7、正确处理三角形内的三角函数问题,主要是

2、懂得并娴熟把握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理,提高边角、角角转化意识；8、提高综合运用的才能,如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理；【疑难点拔】一、概念不清,就（）,4,可知（ A）不对；用排除法,例 1 如、为第三象限角,且（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D）以上都不对错解选（ A）,3区间角；如取27分析：角的概念不清,误将象限角看成类似263可知应选（ D）；二、以偏概全| m|1时 ,例 2 已知sinm,求 cos的值及相应的取值范畴；错解当是第一、四象限时,cos12 m,当是其次、三象限时,cos12 m；分 析 ： 把限 制 为 象 限

3、角 时 , 只 考 虑| m|1且m0的 情 形 , 遗 漏 了 界 限 角 ； 应 补 充 ： 当k2kZ,c o s0；当m0时,kkZ,cos1,或cos1；三、忽视隐含条件例 3 如sinxcosx10,求 x 的取值范畴；错解移项得sinxcosx1,两边平方得sin2x0 ,那么2k2x2kkZ即kxk2kZ分析：忽视了满意不等式的x 在第一象限,上述解法引进了sinxcosx1；正解：sinxcosx1即2sinx41,由sin x42得22 k4x42k3kZ2 kx2k2kZ4四、忽视角的范畴,盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设、为锐角,且+120 ,争论函数ycos2c

4、os2的最值；错解y11cos2cos21coscos11cos22第 1 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1；1可见,当cos1时,ymax3；当cos1时,ymin22分析：由已知得30,90,6060,就1cos2当cos1,即60 时,ymin1,最大值不存在；2五、忽视应用均值不等式的条件例 5 求函数ya2xb2xab0 ,0x2的最小值；cos2sin2x1 错解ya2xb2x1 sin2abx4ab24 ab0sin2cos2sin2xcossin2x当sin x1时,ymin4ab分析：在

5、已知条件下, （ 1）、（2）两处不能同时取等号；正解：ya2 1tan2xb2 12cot2x 2 ab2 a2tan2xb2cot2x a2b22 abab 当且仅当atanxbcotx,即tanxb a,时,yminab 2专题四：三角函数【经典题例】例 1：点 P 从（ 1,0）动身,沿单位圆x2y21逆时针方向运动2 3弧长到达 Q 点,就 Q 点的坐标为（）（A）1,3（B）3,1（C）1,3（D）3,122222222 思路分析 记POQ ,由三角函数定义可知Q 点的坐标x ,y满意xrcos,yrsin,应选（ A ） 简要评述 三角函数定义是三角函数理论的基础,懂得把握能起到

6、事半功倍的成效；例 2：求函数fxsin4xcos4xsin2xcos2x的最小正周期、最大值和最小值. 在此例中2sin2x 思路分析 fx11sin2xcos2x1 1sinxcosx 1sin2x12sinxcosx242所以函数 fx的最小正周期是 ,最大值是3 ,最小值是 41.4 简要评述 三角恒等变形是历年高考考察的主要内容,变形才能的提高取决于肯定量的训练以及方法的积存,“ 降次、化同角” 是基本的思路；此外,求函数的周期、最值是考察的热点,变形化简是必经之路；例 3：已知sin42sin421,4,2,第 2 页,共 6 页4求2sin2tancot1的值 . 思路分析 si

7、n42sin42sin42cos421sin241 2cos4,得c o s 42 s i n1.又4,2,所以5 12.222c o t1c o s 22 c o s2c o s 2于是2 s i nt a nc o s 2s i nc o ss i n 2cos22cot2cos52cot532353.6622 简要评述 此类求值问题的类型是：已知三角方程,求某三角代数式的值；一般来说先解三角方程,得角的值或角的名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载某个三角函数值；如何使解题过程化繁为简,变形仍旧显得重要,此题中巧用诱导

8、公式、二倍角公式,仍用到了常用的变形方法,即“ 化正余切为正余弦”；例 4：已知 b、c 是实数,函数 fx= x 2 bx c 对任意 、 R有：f sin 0 ,且 f 2 cos 0 ,（1）求 f（ 1）的值；（2）证明： c 3 ；（3）设 f sin 的最大值为 10,求 f（x）； 思路分析 （1）令 =,得 f 1 0 , 令 =,得 f 1 0 , 因此 f 1 0 ,；2（2）证明：由已知,当 1 x 1 时,f x 0 , 当 1 x 3 时,f x 0 , 通过数形结合的方法可得：f 3 0 , 化简得 c 3 ；（3）由上述可知, -1 ,1 是 f x 的减区间,那

9、么 f 1 10 , 又 f 1 0 , 联立方程组可得 b 5 c 4 ,所以 f x x 2 5 x 4 简要评述 三角复合问题是综合运用学问的一个方面,复合函数问题的熟识是高中数学学习的重点和难点,这一方面的学习有利于提高综合运用的才能；例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数ylog1sin3x的单调递增区间是8 k2x8 k4kZ；3 倍（纵坐标不变） ,4332（2）如函数ysin2xacos2x的图象关于直线x8对称,就 a 的值是 1 ；（3）把函数ysin x4的图象向右平移8个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原先的就所得的函数解析式子是ysin x8；2 ,最小正周期

10、是2,图（4）如函数yAsinxBA0 ,0 |,|2的最大值是22,最小值是3象经过点（ 0,-2 ）,就函数的解析式子是 4y322sin3x62；2 思路分析 略 简要评述 正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容,必需娴熟把握；上述问题的解答可以依据正弦曲线的“ 五点画法” 在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案；例 6：函数fx 1sin2xxx 值；tsinxcosx,sinxcos（1）求 fx 的定义域；（2）求 fx 的最大值及对应的 思路分析 （1）x|x2k且x2k2kZ2设 t=sinx+cosx, 就 y=t-1 ymax2,1x2 k4kZ 简要评述

11、如fx关于sinxcosx与sinxcosx的表达式,求函数的最值常通过换元法,如令使问题得到简化；例 7：在 ABC 中,已知sinA2 cosCsinC2 cosA3sinB（1）求证： a、b、c 成等差数列； （2）求角 B 的取值222范畴； 思路分析 （1）条件等式降次化简得sinAsinC2sinBac2 b第 3 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1 2,（2）cosBa2c2a2c23 a2c22 ac6 ac2 ac2 ac8 ac8 ac ,得B的取值范畴,03技巧外,仍常常需要考虑对条

12、件或结论中的“ 边” 简要评述 三角形中的变换问题, 除了需要运用三角式变换的全部方法、与“ 角” 运用“ 正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换；例 8：水渠横断面为等腰梯形,如下列图,渠道深A B 为 h,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和达到最小,此时下底角 应当是多少？思路分析 CD=Shcot, C=Sh2cot,转化为hhsin考虑 y= 2 cos 的最小值,可得当 时, y D C 最小,即 C 最小；sin 3 简要评述 “ 学以致用” 是学习的目的之一,三角学问的应用很广泛,在复习过程中应受到重视；【热身冲刺】一、挑选题：1如0a10,就满意s

13、ina =0.5的角 a的个数是（ C）0（ 3）f 3 f30；（A）2 （B）3 （C） 4 （ D）5 2为了得到函数ysin x6的图象,可以将函数ycos2x的图象（ B ）（A）向右平移6个单位长度（ B）向右平移3个单位长度（C）向左平移6个单位长度（ D）向左平移3个单位长度3已知函数fxsinx,就下面三个命题中：（1）f 1f40（ 2）f 2 f344其中正确的命题共有（ B ）就k 的取值范畴是 （ B ）（A） 0 个（B） 1个（C）2 个（D）3 个4如fx是奇函数,且当x 0 时,fx x2sinx,就当 xR 时,fx为 C （A）x2sinx（ B）x2si

14、nx（C） | x |xsinx（D）| x |xsinx5函数fx3cos3 xsin3x是奇函数,就等于（ D）（A） k（B）k6（C）k3（D）k36假如圆x2|y2k2至少掩盖函数fx3sinx的一个最大值点和一个最小值点,k（A）（D）1|k|2| k3（B）| k|2（C）| k|17如 x 5,3 ,就 ytanx2tanx6cosx6123的最大值是（ C ）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（A）12 2（B）11 2（C）11 3（D）12 35 6 6 58函数 y sin

15、2 x 2 cos x 在区间 2, a 上的最小值为 -1 ,就 a 的取值为（ C ）3 4（A） 2 , （B）0 ,2（C） 2, 2（ D） 2, 43 3 3 3 3 39如 ABC面积 S= 1 a 2b 2c 2 就 C=（ C）4（A）（B）（C）（D）2 3 4 610已知向量 a 2 cos , 2 sin , , , b ,0 1 , 就 a 与 b 的夹角为（ A ）2（A）3（B）（ C）（D）2 2 2二、填空题：11如 f x 是以 5 为周期的奇函数,f 3 =4, 且 cos 1,就 f 4 cos 2 = -4 . 212函数 y =lgsin x cos

16、 x 的增区间是 k , k k Z413用 x 表示不超过实数 x 的最大整数；就 sin 10 sin 20 sin 30 sin 2000 = -81 ；3 314设 x cos sin,且 sin cos 0,就x的取值范畴是 ,0 2 ；三、解答题：15（文）求函数y22sinxlg3tanx3 的定义域；fx3 ） =f1x,设 M= f arcsinsin4 ,答案：2 k6, 2 k42 k7, 2k3kZ62（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数,对任何xR,都有N= f arcoscos4 ,争论 M 和 N 的大小；答案：MN 2 .第 5 页,共 6 页16在锐角三角

17、形ABC中,sinAB3,sinAB1.55（）求证tanA2tanB；（）设 AB =3,求 AB 边上的高 . 略解（）证明：sinAcosBcosAsinB3,sinAcosB2,tanA55sinAcosBcosAsinB.cosAsinBtanB1155所以tanA2tanB .（）解：2AB,sinAB3,所以tanAB 3,54即tanAtanB3,将tanA2tanB代入上式并整理后解得1tanAtanB4tan B226,舍去负值,tanA2tanB26.设 AB 边上的高为 CD . 由 AB=AD+DB= CDtan ACD2 CD6得 CD=2+ 6 . tanB217

18、已知y2sincossincos,xsincos,其中0.,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1 求函数 fx 的解析式； 2 求函数 fx 的最大值、最小值；答案：y x 2x 1；y max 5; y min ;1418在锐角 ABC中,已知 ABC,且 B=60 ,又 1 cos 2 A 1 cos 2 C 3 1,求证：a 2 b 2 c2略证：由已知得 cos A cos C 3 1, 又 cos A C 1, 进一步可求出 cos C A 3 ,得4 2 2A 45 , B 60 , C 75,a 2 b 2

19、 R sin 45 2 sin 60 4 R 6 2 4 R sin 75 2 c419（1）已知 x 0 , ,证明不存在实数 m 0 1, 能使等式 cos x +msin x =m* 成立；2（2）试扩大 x 的取值范畴,使对于实数 m 0 1, ,等式 * 能成立；（3）在扩大后的 x 取值范畴内,如取 m 3 , 求出访等式 * 成立的 x 值；3提示：（1）可化为 m tan x 1（2）x , （3）x2 4 2 2 620设函数 f x = a b ,其中向量 a =2cos x ,1 , b =cos x ,3 sin2 x , x R. 1 如 f x 1 3 且 x ,

20、,求 x ；3 3（2）如函数 y=2sin2 x 的图象按向量 c =m,n|m| 平移后得到函数 y= f x 的图象,求实数 m、n 的值 . 2略解：（）依题设,f x =2cos 2 x + 3 sin2 x =1+2sin2 x + . 6由 f x 1 3,得 sin x 3,xx . 6 2 3 3 4（） 函数 y =2sin2 x 的图象按向量 c =m,n 平移后得到函数 y 2 sin 2 x m n 的图象, 即函数 y= f x 的图象. 名师归纳总结 由（）得fx=2sin2 x +12+1. |m|2, m=12,n=1. 第 6 页,共 6 页- - - - - - -