2022年高中数学基本不等式知识点归纳及练习题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学基本不等式的巧用ab1基本不等式：ab21基本不等式成立的条件：a0,b0. 2等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式1a 2b22aba,bR；2b aa b2a,b 同号；3ab ab 2a,bR；4 a 2b2 2ab 2 2a,bR3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,就 a,b 的算术平均数为ab 2,几何平均数为正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,就ab,基本不等式可表达为两个1假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时, xy 有最小值是 2 p.

2、简记：积定和最小 22假如和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时, xy 有最大值是p 4 .简记：和定积最大 一个技巧运用公式解题时,既要把握公式的正用,也要留意公式的逆用,例如 a2b22ab 逆用就是aba 2b22；ab 2aba,b0逆用就是 abab 2 2a,b0等仍要留意 “ 添、拆项 ”技巧和公式等号成立的条件等两个变形1a 2b22ab2 2aba,bR,当且仅当 ab 时取等号 ；2 a 2b22ab 2aba1 2a0,b0,当且仅当 ab 时取等号 这两个不等式链用处很大,留意把握它们三个留意1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选

3、学习资料 - - - - - - - - - 1使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由是其存在前提“ 一正、二定、三相等” 的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行2在运用基本不等式时,要特殊留意“ 拆” “拼” “凑” 等技巧,使其满意基本不等式中“ 正” “定” “等” 的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满意任何一次的字母取值存在且一样应用一：求最值 例 1：求以下函数的值域（1）y 3x 21 2（2）yx12xx解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知x5,求函数y4x215的最大值；44 x技巧二：凑系数例 1. 当时,求yx 82 x 的最大值；技巧三 ： 分别例

4、 3. 求yx27x10 x1的值域；x1；技巧四 ：换元技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f x xa的单调性；x例：求函数yx25的值域；2 x4x1x,x0,练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 . （ 1）y2 x3x1,x0（2）y2xx13,x3 3y2sinsinx2已知 0x1,求函数yx 1x 的最大值 . ；30x2,求函数yx 2 3 x 的最大值 . 3条件求最值1. 如实数满意ab2,就3a3b的最小值是 . ；变式：如log4xlog4y2,求1 x1的最小值 . 并求 x, y 的值y技巧六：整体代换：多次连用最值

5、定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；y变式：（1）如 x, y R 且 2 x y 1,求 1 1 的最小值x y2 已知 a , b , x , y R 且 a b1,求 x y 的最小值x y 2技巧七、已知 x, y 为正实数,且 x 2 y21,求 x 1y 2 的最大值 . 1技巧八：已知 a, b 为正实数, 2b aba 30,求函数 yab的最小值 . 技巧九、取平方5、已知 x, y 为正

6、实数, 3x 2y10,求函数 W3x 2y 的最值 . 应用二：利用基本不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数,求证：a2b2c2abbcca1）正数 a, b,c 满意 a bc1,求证： 1 a1 b1 c 8abc例 6：已知 a、b、cR ,且abc1；求证：1111118abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x0,y0且1 x91,求使不等式xym恒成立的实数m 的取值范畴；y应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：如ab1 ,Plgalgb,Q1lgalgb ,Rlga2b,就P,Q,R的大小关系是 . 2解：（ 1）y3x 2 1 2x 2 23x 216 值

7、域为 6 ,+）2x 2（ 2）当 x0 时, yx1 x2x12；x3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x0 时,yx1 x = （x1 x） 2x1 x = 2 值域为（,2 2 ,+）解：因 4 x 5 0,所以第一要 “ 调整”符号, 又 4 x 2 g 1 不是常数, 所以对 4 x 2 要进行拆、 凑项,4 x 5Q x 5 , 5 4 x 0,y 4 x 2 15 4 x 13 2 3 14 4 x 5 5 4 x当且仅当 5 4 x 1,即 x 1 时,上式等号成立,故当 x 1 时,y max

8、 1；5 4 x评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；解析：由 知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值；留意到 2 x 8 2 8 为定值, 故只需将 y x 8 2 x 凑上一个系数即可；当,即 x2 时取等号 当 x2 时,y x 8 2 x 的最大值为 8；评注： 此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值；解析一：此题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有（x1）的项,再将其分别；当, 即时,y2（x1x4159（当且仅当x1 时取“ ” 号）解析二：此题看似无

9、法运用基本不等式,可先换元,令yt2 17t1 +10=t25 t4t45tttt =x1,化简原式在分别求最值；当, 即 t =时,y2t459（当 t =2 即 x1 时取“ ” 号）；t评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为 y mg x AB A 0, B 0,g x 恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值；g x 解：令 x 24 t t 2,就 y xx 22 54 x 24x 2 14 t 1t t 2因 t 0, t 11,但 t 1解得 t 1 不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性；t t由于 y t

10、1 在区间 1, 单调递增,所以在其子区间 2, 为单调递增函数,故 y 5；t 2所以,所求函数的值域为 5 ,；2分析：“ 和” 到“ 积” 是一个缩小的过程,而且 3 a 3 b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,a b a b a b a b解：3 和 3 都是正数,3 32 3 3 2 3 64 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当3ab 3时等号成立,由ab2及3a3b得ab1 即当ab1时,3a3b的最小值是6错解：Q x 0, y 0,且1 91,x y 1 9 x y 2 9 2 xy 12 故 x

11、 y min 12；x y x y xy错因：解法中两次连用基本不等式,在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ,在1 92 9 等号成立x y xy条件是1 9即 y 9 x , 取等号的条件的不一样,产生错误；因此,在利用基本不等式处理问题时,列出x y等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法；正解 ：Qx0,y0,191,xyxy19y9x10610x16min16；xyxyxy当且仅当y9x时,上式等号成立,又191,可得x4,y12时,yxyxy分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式aba 2 b2 2；2 x 2 2y 2同时仍应化简1y2 中

12、y 2 前面的系数为1 2,x1y2 x2 2 1y2下面将 x, 2 2y 2分别看成两个因式：13 4即 x1 y2 2 x 2 2y 23 4x 2 2y 2x 2 1 2 2 y 2 2x 2 y 222222 分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本 不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；法一： a302b,ab302b b2 b230bb1b1b1由 a 0 得, 0b15

13、2t 234t 31 16 16 16令 t b+1,1t 16,abt 2（t t） 34t t 2 t t8 1 ab18 y18当且仅当 t 4,即 b3,a6 时,等号成立；法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30 ab2 2 ab令 uab 就 u 22 2 u300, 5 2 u3 2 1ab3 2 ,ab18, y18点评： 此题考查不等式 a b ab（a, b R）的应用、 不等式的解法及运算才能；如何由已知不等2式 ab a 2 b 30（a, b R）动身求得 ab 的范畴, 关键是查找到 a b 与 ab 之间的关系, 由此想到不等5 名师归纳总结 -

14、- - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式a2bab（a,bR）,这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab 的范畴 . 变式： 1. 已知 a0,b0, ab ab1,求 ab 的最小值；2. 如直角三角形周长为1,求它的面积最大值；aba 2 b 2,此题很简洁解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,223x 2y2 （3x ）2（2y ）2 2 3x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“ 和为定值” 条件靠拢；W0,W 23x2y2 3x 2y 102 3x

15、 2y 10 3x 2 2y 2 10 3 x2y 20 W20 2 5 变式 : 求函数 y 2 x 1 5 2 1 x 5 的最大值；2 2解析：留意到 2 x 1 与 5 2x 的和为定值；2 2y 2 x 1 5 2 4 2 2 x 15 2 4 2 x 1 5 2 8又 y 0,所以 0 y 2 2当且仅当 2 x 1 =5 2x ,即 x 3时取等号；故 y max 2 2；2评注：此题将解析式两边平方构造出“ 和为定值” ,为利用基本不等式制造了条件；总之,我们利用基本不等式求最值时,肯定要留意“ 一正二定三相等” ,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用基本不等式；分析：不

16、等式右边数字bc8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“12ac2” 连乘,又；111aabac2,可由此变形入手；aa解： Q a、b、cR ,abc1；111aabac2bc；同理1 b,1 c12abaabc上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1111112bc2 gac2 gab8；当且仅当abc1 3时取等号；1abcabc,xkxy9x9y1.10y9xk x0,y0,19 y1解：令xy1xkykkxky1023；k16,m,16kkb1lga0,lgb0分析：aQ1（2a lglgalgb lgalgbpR2blgab1lgabQRQP；26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页