2022年高中数学：柯西不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 类型一：利用柯西不等式求最值例 1求函数的最大值,且,解： 且, 函数的定义域为即时函数取最大值,最大值为法二： 且, 函数的定义域为,得由即,解得时函数取最大值,最大值为. 当函数解析式中含有根号经常利用柯西不等式求解【变式 1】设且,求的最大值及最小值；,故最大值为10,利用柯西不等式得最小值为 -10 【变式 2】已知,求的最值 . 法 一： 由柯西不等式于是的最大值为,最小值为. 法二： 由柯西不等式于是的最大值为,最小值为. 【变式 3】设 2x+3y+5z=29 ,求函数 的最大值依据柯西不等式名师归纳总结 - - - - - -

2、-第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,故；时等号成立, 此时,当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6 ,即变式 4：设 a 1,0, 2,b x,y,z,假设 x 2 y 2 z 2 16,就 a b 的最大值为；【解】a 1, 0, 2, b x, y,z a b x 2z 由柯西不等式 12 0 22x2 y2 z2 x 0 2z25 16 x 2z 2 4 5 x 4 5 4 5 a b 4 5 ,故 a b 的最大值为 4 5 : 变式 5：设 x,y,z R,假设 x2 y 2 z 2 4,就 x 2y 2z 之最小值为 时, x,y,z 解x

3、2y 2z2 x 2 y 2 z 21 2 2 2 2 2 49 36 名师归纳总结 x 2y 2z最 小 值 为6 , 公 式 法 求x , y , z 此 时第 2 页,共 7 页xyz2262222x2,y4,z412223333变式 6：设 x, y, zR,假设2x3yz3,就x2y1 2z2之最小值为 _,又此时 y_；解析：x2y122 z223 22 12x3y3z 2x2y1 2z23614最小值18 7xy1zt,22x3yz3,22 3 3t1t32331ty77变式 7：设 a,b,c 均为正数且a b c 9,就4916之最小值为abc解：2a3b4c24916a b

4、 c abcabc4916 9 2 3 42 81 491681 9 abcabc9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 8：设 a, b, c 均为正数,且a2 b3 c2,就123之最小值为 _ abc2 2 2 1 2 2 2 3 2 2解： : a 2 b 3 c 1 2 3 a b c1 2 3 18,最小值为 18 a b c2 2 2 x 1 y 2 z 3 变式 9：设 x,y, z R 且 1,求 x y z 之最大、小值 : 16 5 42 2 2 x 1 y 2 z 3 【解】1 由柯西不等式知16 5 44 2 5 2 2 2

5、 x 1 2 y 2 2 z 3 24 5 224 x 1 5 y 2 2 z 3 25 1 x y z 22 5 |x y 4 5 2z 2| 5 x y z 2 5 3 x y z 7 故 x y z 之最大值为 7,最小值为 3 类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：1巧拆常数例 1 2重新支配某些项的次序例23转变结构例 3 4添项例4例 1设、为正数且各不相等,求证：又、各不相等,故等号不能成立；例 2、为非负数,+=1,求证：即名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3假设,求证：解 ：, , 所 证

6、结 论 改 为 证例 4,求证：左端变形,只需证此式 即可；【变式 1】设 a,b,c 为正数,求证：同理,即；,将上面三个同向不等式相加得,【变式2】设a,b,c为正数,求证：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 即【变式 3】已知正数满意证明；解：又由于在此不等式两边同乘以2,再加上得：；,故类型三：柯西不等式在几何上的应用6 ABC 的三边长为a、 b、c,其外接圆半径为R,求证：,证明：由三角形中的正弦定理得,所以同理,于是左边 =；【变式】ABC 之三边长为4,5,6,P 为三角形内部一点,P 到三边的距

7、离分別为x,y,z,求的最小值；且4x+5y+6z=名师归纳总结 由柯西不等式 4x+5y+6z2x2+y2+z242+52+62 ；第 5 页,共 7 页x2+y2+z2 77x2+y2+z2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 柯西不等式a 1 b 1a 2b 2a 1a nb n22 a 12 a 2b i2 a n22 b 12 b 22 b n2a ib iR,i,12n等号当且仅当a 2a n0或ka i时成立 k 为常数,i,12n利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例 2:已知正数a b c 满意abc1证明a3b33 ca2b2

8、2 c322babc3证明：a2b2c2231313123232a a2b b2c c2a2b 2c2a3b33 cabc2abc12,再加上a22 c 得：又由于a2b2c2abbcca在此不等式两边同乘以c3a2abc3a22 bc2b2c2.3a22 bc2故a33 ba2b2c223 ab3c332） 解三角形的相关问题例 3 设 p 是ABC 内的一点,x y z 是 p 到三边a b c 的距离, R是ABC 外接圆的半径,证明xyz1Ra2b2c2cz1112证明：xyzax1by1cz1axbyabcabc记 S 为ABC 的面积,就axbycz2 S2abcabc4R2R1R

9、a2b2c2xyzabcabbcca1abbcca2Rabc2R23） 求最值名师归纳总结 例 4 已知实数a b c ,d 满意ab1cd3,a22 b23 c26d25试求 a 的最值第 6 页,共 7 页解：2 b23 c26 d211bcd222即2 b2 3 c6 dbcd2236由条件可得,52 a3a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得, 1a2 当且仅当2b3c6d时等号成立,1 21 31 6代入b1, c1,d1时,amax236b1, c2,d1时amin1335利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程x2y2z29398x6y24y26y24z24解：x2y22 z828x6y24y622242 z9392x2y2z2822 624264364 144486又8x6y24y22 39,.2 xy2222428x即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得名师归纳总结 xyz,它与8x6y24y39联立,可得第 7 页,共 7 页86246y9 26z18x1313- - - - - - -