六年级图形问题综合(奥数)附答案解析.doc

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1、平面图形计算（一）经典图形：1. 任意三角形ABC中，CD=AC，EC=BC，则三角形CDE的面积占总面积的=（为什么？）2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。（为什么？）3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为什么？）4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方2，或者等于斜边的平方4.（为什么？）例题：例1 如右图，三角形ABC的面积是10，BE=2AB，CD=3BC

2、，求三角形BDE的面积。例2 如图，已知三角形ABC的面积是1，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。例3 如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AE=ED，EF=2BF，求AEF的面积。例4 如图，ABCD是个长方形，DEFG是个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AKF与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面积。例5 如图，三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。三角形ABC面积是500，求图中阴影部分的面积？例6 如图，设正方形ABCD的

3、面积为120，E、F分别为边AB、AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少？例7 在如图所示的三角形AGH中，三角形ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH的面积是多少平方厘米？例8 如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行于AC，如果三角形AED的面积为12平方厘米，求三角形DCF的面积。练习：1. 已知正方形ABCD的边长是5cm，又EF=FG，FD=DG，求三角形ECG的面积。2. 正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线段把它的面积5等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长。

4、3. 如图所示是某个六边形公园ABCDEF，M为AB中点，N为CD中点，P为DE中点，Q为FA中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积之和为900平方米。中间的湖泊面积为361平方米，其余的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？4. 如图，AE=EC，BD=2DC，AF=3BF，若三角形ABC的面积为270平方厘米，求图中阴影部分的面积。5. 如下图,正方形的边长为12,是边上的任意一点,、分别是边、上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.6. 如图正方形的边长是4厘米,是3厘米,长方形的长是5厘米,那么它的宽是_厘米.7. 如图，CE=4EA， BD=3CD，AF=5BF。

5、若三角形ABC的面积为120平方厘米，求图中四个小三角形的面积。8. DF与平行四边形ABCD的BC交于E点，与AB交于F点。若三角形ABE的面积是97平方厘米，求三角形CEF的面积。9. 梯形ABCD，AB，CD分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米，三角形COD的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？图形与面积(一)一、填空题1. 如下图,把三角形的一条边延长1倍到,把它的另一边延长2倍到,得到一个较大的三角形,三角形的面积是三角形面积的_倍.2. 如下图,在三角形中,=8厘米,=6厘米,、分别为和的中点.那么三角形的面积是_平方厘米.3. 如下图,那么,

6、三角形的面积是三角形面积的_.4. 下图中,三角形的面积是30平方厘米,是的中点,的长是的长的2倍,那么三角形的面积是_平方厘米.5. 5. 现有一个55的方格表(如下图)每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于_.6. 下图正方形边长是10厘米,长方形的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是_平方厘米.7. 如图所示,一个矩形被分成、四个矩形.现知的面积是2cm2,的面积是4cm2,的面积是6cm2.那么原矩形的面积是_平方厘米.8. 有一个等腰梯形,底角为450,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是_平方厘米.9. 已知三角形的面积为56平方厘米

7、、是平行四边形的2倍,那么阴影部分的面积是_平方厘米.10. 下图中,在长方形画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是_.二、解答题11. 已知正方形的面积是50平方厘米,三角形两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形的面积.12. 如图,长方形中,=24cm,=26cm,是的中点,、分别是、的四等分点,为上任意一点,求阴影部分面积.13. 有两正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一的面积比小的一多44平方厘米.大、小正方形纸的边长分别是多少?14. 用面积为1,2,3,4的四长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问:图中阴影部分面积是多少?图形与面

8、积（二） 一、填空题1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是_厘米.2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.那么7,2,1三个数字所占的面积之和是_.3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米.4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米.5. 在中,已知的面积是18平方厘米,则四边形的面积等于_平方厘米.6. 下图是边长为4厘米的正方形,=5厘米、是_厘米.7. 如图正方形的边长是4厘米,是3厘米,长方形的长是

9、5厘米,那么它的宽是_厘米.2520303616128. 如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是_.9.10. 如下图,正方形的边长为12,是边上的任意一点,、分别是边、上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.11. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形的面积是_平方厘米.二、解答题12. 图中正六边形的面积是54.,求阴影四边形的面积.13. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.14. 一个周长是56厘米的大长方形,按图35中(1

10、)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长方形面积的比是: ,.而在(2)中相应的比例是,.又知,长方形的宽减去的宽所得到的差,与的长减去在的长所得到的差之比为1:3.求大长方形的面积.15. 如图,已知,.直线将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65.那么三角形面积是_.（一）答案：1. 6.如下图,连接,因为,所以,即.又因为,所以,这样以来,.2. 6.已知、分别是和的中点,因此的面积是的面积的,的面积又是的面积的.又因为(平方厘米), 所以(平方厘米).3. .由可知.因为与是同一个顶点,底边在同一条线段,所以这两个三角形等高,则三角形面积与底边成正比例关

11、系,因此.同理可知.这样以来,的面积是的的,即是的面积的.所以,的面积是的.4. 5.因为是的中点,所以三角形和三角形面积相等(等底、等高的三角形等积),从而三角形的面积等于三角形面积的一半,即302=15(平方厘米).在与中,高相等,所以的面积是面积的.即的面积是(平方厘米)5. 10三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于.6. 60设正方形的面积为,长方形的面积为,重叠部分的面积为,则阴影部分的面积差是:.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关,应等于正方形的面积与长方形的面积之差.所求答案:1010-85=60(平方厘米).7. 24图中的四

12、个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的,矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看,两个相邻矩形的倍比关系是一致的,是的2倍,那么也应是的2倍,所以的面积是26=12,从而原矩形的面积是2+4+6+12=24.8. 20如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线,则是矩形,(厘米).因为,所以是等腰直角三角形,则(厘米).根据梯形的求积公式得:(平方厘米).9. 14由已知条件,平行四边形的面积是:562=28(平方厘米)如下图,连接,为平行四行形的对角线,由平行四边形的性质如,(平方厘米).在与中,为公共底边,平行于,从而边上的高相等,所以,(平方厘米).10. 97因为长方形的面积等于与的面积

13、和,所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和,即.11. 画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面积是长方形面积的2.5倍.从而的面积是502.5=20(平方厘米).所以的面积是202=10(平方厘米).12. 连结,的面积为.把和结合起来考虑,这两个三角形的底、相等,且都等于长方形宽的,它们的高与之和正好是长方形的长,所以这两个三角形的面积之和是:.于是,图中阴影部分的面积为216+108=324.13. 把两正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如图:这个长方形的面积是44平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是两个正方形的

14、边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三种形式: 44=144=222=411.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2.于是,两个正方形的边长是(22+2)2=12(厘米),12-2=10(厘米).14. 如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长交底边于,延长交底边于.矩形面积是上部阴影三角形面积的2倍.矩形是下部阴影三角形面积的2倍.所以矩形的面积是阴影部分面积的两倍.知 ,因此矩形的面积是大矩形面积的,阴影部分面积是大矩形面积的.阴影部分面积=10=.（二）答案：1. 170.每个小正方形的面积为40016=25平方厘米,所以每个小正方

15、形的边长为5cm,因此它的周长是345=170厘米.2. 25. 7,2,1所占面积分别为7.5,10和7.5 .3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正方形3个,面积为1的三角形5个,面积为1.5的三角形一个,因此围成面积是44-3-5-1.5=6.5(平方厘米).4. 24仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面积.=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米)5. 12如下图,连接,因为,所以;又,所以.因为,所以;因此(平方厘米).6. 3.2如下图,连接,则(平方厘米).

16、从另一角度看,于是.=3.2(厘米)7. 3.2如下图,连接,则的面积是正方形面积的,也是长方形的面积的,于是长方形的面积等于正方形的面积44=16(平方厘米).(厘米).8. 243我们用,分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.252030361612 因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16=:36, ;20:16=25:,;20:16=30:,; 20:16=:12, .因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=2439. 60 如下图,连接,则阴影部分就是由四个三角形:,和组成.和的底都有3

17、,高为12,所以.和的底都是4,两条高分别为和则:=2(+)=212=24所以,阴影部分的面积是:=18+18+24=6010. 4长方形的面积是64=24(平方厘米)(平方厘米)=12-10=2(平方厘米)又(平方厘米)所以,四边形的面积等于:=6-2=4(平方厘米)11. 如图,将正六边形等分为54个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.采用数小三角形的办法来计算面积.面积=3;面积=9;四边形面积=11.上述三块面积之和为3+9+11=23,因此,阴影四边形面积为54-23=31.12. 如图,涂阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形

18、.三形的面积是平方厘米.正三角形面积是由三个与三角形全等的三角形组成.所以正三角形的面积等于(平方厘米).由于大正方六角星形由12个与正三角形全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是412=48(平方厘米)13. 设大长方形的宽为,则长为28-.因为, 所以,.,.由题设可知,:3 或 ,于是, .大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为820=160平方厘米.14. 三角形面积是三角形面积的(15+6)7=3(倍),三角形面积是三角形面积的15(5+7)=(倍).所以65-38等于三角形面积与三角形面积的之差,因此三角形的面积是(65-38)(3-)=10.三角形面积是10(3+1)=40.10 / 10