(参考答案)高一数学：集合章节复习课.docx

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1、【新高考新教材】高一数学：集合章节复习课主讲人：刘蒋巍一.知识回顾1.集合中的元素具有三个特征： 确定性：对于一个给定的集合，它的元素意义应当是明确的，不会模棱两可。即指定的对象一定是明确的标准。那也就是说，设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，那么 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 互异性：一个给定集合中的元素之间必须是互异的。因此，同一集合中不应重复出现同一元素，就像世界上不可能同时出现两片完全相同的叶子一样， 相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中。 无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分。就像在一个队伍（集合） 中，你

2、排在第一个和最后一个都是一样的，因为你只有一个，你是唯一确定的， 没有顺序之分。2.常用数集的表示非负整数集（或自然数集），记作 N正整数集，记作 N*或 N+整数集，记作 Z 有理数集，记作 Q 实数集，记作 R3.集合的表示文字描述法：用文字把元素所具有的属性描述出来；如：直角三角形。符号描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化） 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，xR|x5，注：要弄清元素既有的形式，是数、是点还是集合等。即(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y=x2+3x+2不同，前者

3、是点集，后者是数集。还要弄清元素具有怎样的属性。列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。列举法常用于集合元素有限 且个数不多的情况。4. 集合相等集合相等，即为构成两个集合的元素完全相同： 个数相同。例如：集合 A = 1,2,3与 B = 1,3,2，则 A = B ；2 对于其中一个集合的元素，在另一个集合中也可以找到这个元素。例如：集合 A = x | 2x -1 0与 B = x | x 1 ，则 A = B注意：两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该判断出这两个集合的所有元素。集合相等定义 2：如

4、果 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，即若 A B且B A ，则 A = B 。如例子（3）中的两集合 E = F 。B A即A = B A B5.子集的定义：对于两个集合 A，B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素， 我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset）。 记作： A B(或B A)读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含（contains）A 当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A BBA用 Venn 图表示两个集

5、合间的“包含”关系：A B如：例子（1）中 A B6.真子集定义：若集合 A B ，但存在元素 x B,且x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（propersubset）。记作：AB（或 BA）；读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）如：例子（1）和（2）中 AB，CD；7.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： 。规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。常见结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；（4） 对于集合 A，B，C，如果 A B ，且 B C ，那么 A C

6、。注意： 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系。 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。 一 般 地 ， 一 个 集 合 元 素 若 为 n 个 ， 则 其 子 集 数 为 2n 个（ C 0 + C1 + C 2 + . + C n = 2n ），其真子集数为（ 2n -1）个，其非空子集数为（ 2n -1）nnnn个，其非空真子集数为（ 2n - 2 ）个。特别地，空集的子集个数为 1，其真子集个数为 0。8.并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，即 A 与 B 的所有部分，记作

7、 AB，读作：A 并 B； 即 AB=x|xA 或 xB。Venn 图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。9.交集定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫作集合 A、B 的交集（intersection set），记作：AB，读作：A 交 B；即：ABx|xA，且 xBVenn 图表示：（阴影部分即为 A 与 B 的交集）常见的五种交集的情况：BAA(B)ABABAB说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。10.全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素， 那么就

8、称这个集合为全集,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作：CU A，读作：A 在 U 中的补集，即： CU A = x x U ,且x AVenn 图表示：（阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集）UACUA说明：补集的概念必须要有全集的限制。讨论：集合 A 与CU A之间有什么关系？借助 Venn 图分析A CU A = ,CUU = ,A CU A = U ,CU = UCU (CU A) = A11.集合基本运算的一些结论求集合的交、并、补是集合间的基本运

9、算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。AB A，AB B，AA=A，A = ,AB=BA A AB，B AB，AA=A，A =A,AB=BA（CUA）A=U，（CUA）A= 若 AB=A，则 A B，反之也成立若 AB=B，则 A B，反之也成立若 x（AB），则 xA 且 xB若 x（AB），则 xA，或 xB二典型例题例题 1.（互异性）已知集合 A = b 与 B = a2 , a + b,0， A = B ，求a, a ,

10、1a2016 + b2017 的值。解析：由b 的互异性得， a 1且a 0a, a ,1a2 = 1a = a + b或 ba + b = 1a2 = a b解得：a = -1 或b = 0a = 1b = 0(舍)= 0 a= 0 a因此， a2016 + b2017 = (-1)2016 + 02017 = 1例题 2.（阅读理解）设集合 A = 2,0,1,3，B = x | -x A,2 - x2 A，则集合 B 中所有的元素和为 解析：由题意，得： B -2,0,-1,-3，当 x = -2,-3 时， 2 - x2 = -2,-7 A当 x = 0,-1时， 2 - x2 = 2

11、,1 A 。因此，集合 B = -2,-3从而，集合 B 中所有元素和为 - 5例题 3.（子集、空集）设集合M= x x 2 - mx + 6 = 0，则满足M 1,2,3,6的集合M 为 ；m 的取值范围是 解析：对于方程 x2 - mx + 6 = 0，我们有D = m2 - 24当M = 时， M 1,2,3,6，此时D 0 ，解得： - 266 m 26当集合 M 中仅有一个元素时，即： D = 0时， m = 2当集合 M 中仅有两个元素时，根据方程 x2 - mx + 6 = 0的特征知：该方程若存在有理根，则必为 6 的因数。又根据韦达定理，可知：两根之积为 6故考虑M = 1

12、,6、M = 2,3的情形：当 M = 1,6时，m = 7 ；当M = 2,3时，m = 56因此，满足M 1,2,3,6的集合M 为：、1，6、2,36满足M 1,2,3,6的 m 的取值范围是： - 2 m 2或m = 7 或m = 5例题 4.（交集、并集、补集）设全集U = x | x 4，集合 A = x | -2 x 3，B = x | -3 4例题 7.（点集）已知集合MM P = = (x, y) | 4x + y = 6, P = (x, y) | 3x + 2 y = 7，则因为集合M= (x, y) | 4x + y = 6, P = (x, y) | 3x + 2 y

13、 = 7，所以， M P = 4x + y = 6,，即： M P = (1,2)(x, y) | 3x + 2 y = 7.例题 8.（新定义）设非空集合 S = x | m x l 满足：当 xS 时，有 x2S.给出如下三个命题：若 m=1，则 S=1；若 m = - 1 ，则 1 l1；若l = 1 ，则- 2 m 0 2422其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3解析：对于命题，若 m=1，则S = x | 1 x l，则l S ，l 2 1,有l 2 S .那么，1 l 2 l ，即：l 2 l即： l = 1，故S = 1，故正确。l -1 or l 1,解得：0 l 1对于命

14、题，若 m = - 1 ，则集合 S = x | - 1 x l ， 22(- 1 )2 S ，2则- 1 1 l ；因为l S ，有l 2 S .那么， - 1 l 2 l ，242解得： 0 l 1综上， 1 l 1，故正确。4对于命题，若 l = 1 ，则集合 S = x | m x 1 ，则22m S ，有m2 Sm m2 ,m 0or m 1,那么，m m2 1 ，即：12m2 解得：-2 m 2222故， -2 m 0 ，故正确。综上，正确命题的个数2是 3，故选 D例题 9.（集合运算）设 A = x x2 + 4x = 0, B = x x2 + 2(a +1)x + a2 -

15、1 = 0 ,其中 x R ,如果 A I B = B ，求实数a 的取值范围。解析：集合 A = x | x2 + 4x = 0= 0,-4；因为 A I B = B ，所以 B A对于方程 x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0 的判别式D = 4(a +1)2 - 4(a2 -1) = 8(a +1)若a -1，则 B = 0,-4，此时 B = A ，由根与系数的关系，- 2(a +1) = -4 ，解得：a = 1而当a = 1时，集合 B = x | x2 + 4x = 0= 0,-4综上，实数a 的取值范围为a | a -1 or a = 1例题 10.（集合运算）设

16、U = R ，集合 A = x | x2 + 3x + 2 = 0，UB = x | x2 + (m + 1)x + m = 0；若(C A) I B = f，求m 的值。U解析：集合 A = x | x2 + 3x + 2 = 0 = -1,-2；因为(C A) I B = f，所以 B A对于方程 x2 + (m +1)x + m = 0 ，其判别式D = (m +1)2 - 4m = m2 - 2m +1 = (m -1)2 0所以， B ；当D = (m -1)2 = 0 时， m = 1，集合 B = x | x2 + 2x +1 = 0= -1，此时 B A ； 当 x = -2时

17、，方程 x2 + (m +1)x + m = 0 可化为：4 - 2(m +1) + m = 0 ，解得：m = 2方程 x2 + (m +1)x + m = 0 即为： x2 + 3x + 2 = 0 ；此时集合 B = A综上， m 的值为 1 或 2.三链接新高考单选题1.设集合M = x | x = k + 1 , k Z， N = x | x = k + 1 , k Z，则（）2442A M = NB M NC N MD M I N = f解析：集合M = x | x = 2k +1 , k Z ，集合 N = x | x = k + 2 , k Z ；又因为k Z ，442k +1

18、为所有奇数； k + 2 为所有整数。所以， M N ；故，选 B.2.已知集合 Ax|x2x20，集合 ，则 AB() A2，+)B(2，+)C1，+)D(1，+)【分析】利用集合的交集运算即可解题解：集合 Ax|x2x20x|x1 或 x2，集合 x|x2，ABx|x2， 故选：B3.集合 A =x|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0m6，则集合 AB 的所有元素之和为？A. 250B. 225C. 200D. 185【答案】225 【解析】AB15；故所求和(3627)(0530)152254.若实数集合 A31x，65y与 B5xy，403仅有一个公共元素，则集合 AB中所

19、有元素之积的值是？A. 2015B. 403C. 65D. 0【答案】0 【解析】因为 31x65y5xy4032015xy若 xy0，则集合 A 和集合 B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以 xy0，从而 AB 中所有元素之积的值为 0多选题U已知U = R ，集合 A = x | x2 - x - 2 = 0, B = x | mx +1 = 0, B (CA) = ,则m 的值可以是？A. 1B. - 1C. 0D. 122【答案】BCD【解析】点拨：不能忽略空集。当 m 为 0 时，集合 B 为空集。填空题1.已知M= y | y = x 2 - 4x + 3, x R

20、， N = y | y = -x 2 + 2x + 8, x R则M I N = 。解析：集合M = y | y = x2 - 4x + 3, x R= y | y = (x - 2)2 -1, x R= y | y -1集合 N = y | y = -x2 + 2x + 8, x R= y | y = -(x -1)2 + 9, x R= y | y 9所以， M N = y | -1 y 92.设全集U = (x, y) x, y R,集合M = (x, y)y + 2 =x - 2 ， N = (x, y) y x - 4,1那么(CU M ) I (CU N ) 等于 。y + 2x

21、- 21解析：集合M = (x, y)= = (x, y) | y = x - 4, x 2, y -2，又因为 N = (x, y) y x - 4，所以M N = (x, y) | x 2, y -2, x, y R(CU M ) I (CU N ) = CU (M N ) = (2,-2)3.不等式 2x - 3 0的解集为x +1答案：x | -1 x 32x - 34.若集合 A = x= ax + 1, x R 为空集，则实数a 的取值范围是 (-, - 1) U 1 +) ( , 365.集合 Ax|x 5k ，kZ，100k999，其中x表示不大于 x 的最大整数.6则集合 A

22、 的元素个数为 6.集合 P = x x R, x -1 1 ，Q = x x R, x - a 1, 且 P Q = ,则实数a 取值范围为 解析： P = x 0 x 2,Q = x a -1 x a +1, 要使 P Q = ，则 a -1 2 或a +1 0 。解得 a -1或 a 3。解答题1.已知集合 M= m | m = k + l ,2k + 2l = 2n , m、n、k、l Z，求集合 M 中所有n元素之和。2.设 a1, a2 , a3 , a4 为四个有理数，使得：a a1 i j 4= - 24,-2,- 3 ,- 1 ，求 a + a+ a + a的值i j,1,3

23、281234解：由条件可知， ai a j (1 i j 4) 是 6 个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由 此 知 ，a1 , a2 , a3 , a4的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 | a1 | a2 | a3 | a4 | ， 则| ai | a j | (1 i j 4) 中最小的与次小的两个数分别是| a1 | a2 | 及| a1 | a3 |，最大与次大的两个数分别是| a3 | a4 | 及| a2 | a4 |，从而必须有a a = - 1 , 1 28a a = 1, 1 3a a= 3, 2 4a3a4 = -24,于是 a2= - 18a, a3 =1 , a = 3a4a= -24a1 1121故a a , a a = -1 , -24a 2 = -2, - 3 ， 2 31 48a212结合 a Q ，只可能 a = 1 114由此易知， a = 1 , a = - 1 , a = 4, a = -6 或者 a = - 1 , a = 1 , a = -4, a = 6 1422341422349检验知这两组解均满足问题的条件故 a1 + a2 + a3 + a4 = 4