小学奥数典型题_2.doc

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1、百分数问题【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率 ” ，也可以表示“量 ” ，而百分数只能表示“率 ” ；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号 “ % ” 。在实际中和常用到“百分点 ” 这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是 2%。【数量关系】 掌握“百分数 ” 、 “ 标准量”“比较量 ”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量 标准量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（ 1 ）求一个数是另一个数的百分之几；（ 2 ）已知一个数，

2、求它的百分之几是多少；（ 3 ）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1 仓库里有一批化肥，用去720 千克，剩下 6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 ：（ 1 ）用去的占 720 （ 720 6480）10%（ 2 ）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了 10%，剩下 90%。例 2 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？解 ：本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量， 所以（525 420 ） 525 0.220%或者 1 420 5250.220%答：男职工人数比女职工少 20%。例 3 红

3、旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？解 ：本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此（525 420 ） 420 0.2525%或者 525 420 1 0.2525%答：女职工人数比男职工多 25%。例 4 红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解 ：（ 1 ）男职工占 420 （420525）0.44444.4%（ 2 ）女职工占 525 （ 420 525）0.55655.6%答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占55.6%。例 5 百分数又叫百分率，百分率在

4、工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100%合格率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤人数应出勤人数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%牛吃草问题【含义】 “牛吃草 ” 问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题 ” 。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系

5、】 草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。例 1 一块草地，10 头牛20 天可以把草吃完，15 头牛10 天可以把草吃完 。问多少头牛 5 天可以把草吃完？解 ：草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5 天可以把草吃完 ” ，就是说 5 天的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为 1 ，按以下步骤解答：（ 1 ）求草每天的生长量因为，一方面 20 天的草总量就是10 头牛 20 天所吃的草，即（ 1 10 20 ） ；另一方面，20 天的草总量又等于原有草量加上20 天的生长量，所以：1 10

6、 20 原有草量20 天生长量同理 1 15 10 原有草量10 天生长量由此可知 （ 20 10 ）天草的生长量为 1 10 20 1 15 10 50因此，草每天的生长量为 50 （ 20 10 ） 5（ 2 ）求原有草量原有草量10 天总草量10 生长量 1 15 10 5 10 100（ 3 ）求 5 天草总量5 天草总量原有草量5 天生长量 100 5 5 125（ 4 ）求多少头牛 5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为 1 ，所以每头牛 5天吃草量为 5 。因此 5 天吃完草需要牛的头数 125 5 25 （头）答：需要 5头牛 5天可以把草吃完。例 2 一只船有一个漏洞，水以均匀速

7、度进入船，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘水，3小时可以淘完；如果只有 5 人淘水，要 10小时才能淘完。求 17人几小时可以淘完？解 ：这是一道变相的“牛吃草 ” 问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数 ” ），求时间。设每人每小时淘水量为 1 ，按以下步骤计算：（ 1 ）求每小时进水量因为，3 小时的总水量 1 12 3 原有水量3 小时进水量10 小时的总水量 1 5 10原有水量10 小时进水量所以，（ 10 3 ）小时的进水量为：1 5 10 1 12 3 14因此，每小时的进水量为 14 （ 10 3 ） 2（ 2 ）求淘水前原有水量原有水量 1 12

8、 3 3 小时进水量 36 2 3 30（ 3 ）求 17人几小时淘完17 人每小时淘水量为 17 ，因为每小时漏进水为 2 ，所以实际上船中每小时减少的水量为（ 17 2 ），所以 17 人淘完水的时间是 30 （ 17 2 ） 2 （小时）答：17 人 2 小时可以淘完水。鸡兔同笼【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：1，假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数 2 鸡兔总数）（ 4 2 ）2，假设全都是兔，则有

9、鸡数（ 4 鸡兔总数实际脚数）（ 4 2 ）第二鸡兔同笼问题：1 假设全都是鸡，则有 兔数（ 2 鸡兔总数鸡与兔脚之差）（ 4 2 ）2假设全都是兔，则有 鸡数（ 4 鸡兔总数鸡与兔脚之差）（ 4 2 ）【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡 ，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解 假设 35 只全为兔，则 鸡数（ 4 35 94 ）（ 4 2 ） 23 （只）

10、兔数 35 23 12 （只）也可以先假设 35 只全为鸡，则 兔数（ 94 2 35 ）（ 4 2 ） 12 （只）鸡数 35 12 23 （只）答：有鸡 23 只，有兔 12只。例 2 ，2 亩菠菜要施肥1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？解 ：此题实际上是改头换面的 “ 鸡兔同笼 ” 问题。 “ 每亩菠菜施肥（ 1 2 ）千克 ”与“每只鸡有两个脚 ” 相对应，“每亩白菜施肥（ 3 5 ）千克 ” 与“每只兔有 4 只脚 ”相对应，“16 亩 ” 与“鸡兔总数 ” 相对应， “ 9千克 ”与“鸡兔总脚数 ” 相对应 。假设 16亩全都

11、是菠菜，则有白菜亩数（ 9 1 2 16 ）（ 3 5 1 2 ） 10 （亩）答：白菜地有 10 亩。例 3 老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45本，作业本每本 3 .2 0元，日记本每本 0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？解 ：此题可以变通为“鸡兔同笼 ”问假设 45 本全都是日记本，则有作业本数（ 69 0.70 45 ）（3.200.70） 15 （本）日记本数 45 15 30 （本）答：作业本有 15 本，日记本有 30 本。例 4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80只 ，问鸡与兔各多少只？解 假设 100 只全都是鸡，则有兔数（

12、2 100 80 ）（ 4 2 ） 20 （只）鸡数 100 20 80 （只）答：有鸡 80 只，有兔 20只。例 5 有100 个馍100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1个馍，问大小和尚各多少人？解 ：假设全为大和尚，则共吃馍（ 3 100 ）个，比实际多吃（ 3 100 100 ）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100 不变的情况下，以“小 ” 换“大 ” ，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（ 3 1/3 ）个。因此，共有小和尚 （ 3 100 100 ）（ 3 1/3 ） 75 （人）共有大和尚 100 75 25 （人）答：共有大和尚

13、 25 人，有小和尚 75 人。方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1） 4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数（边人数）空心方阵：总人数（外边人数）边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1 在育才小学的运动会上，进行体操

14、表演的同学排成方阵，每行 2 2人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 ：2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共有 484人。例 2 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解 84（人） （1032）10 答：全方阵 84人。例 3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最层人数是 28人，这队学生共多少人？解 （ 1 ）中空方阵外层每边人数524114（人）（2）中空方阵层每边人数28416（人）（3）中空方阵的总人数141466160（人）答：这队学生共 160 人。例 4 一堆棋子，排列成正方形，多余 4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层

15、，则缺少 9 只棋子，问有棋子多少个？解 （ 1 ）纵横方向各增加一层所需棋子数 4 9 13（只）（ 2 ）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只）（ 3 ）原有棋子数 7 7 9 40（只）答：棋子有 40只。例 5 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多1 棵，最下面一排有 5 棵树。这个树林一共有多少棵树？解 第一种方法： 1 2 3 4 5 15（棵）第二种方法： （51） 5 2 15（棵）答：这个三角形树林一共有 15 棵树。商品利润【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润售

16、价进货价 利润率（售价进货价）进货价100%售价进货价（1利润率）亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解 设这种商品的原价为 1 ，则一月份售价为（ 1 10%），二月份的售价为：（110%）（110%），所以二月份售价比原价下降了1 （110%）（110%）1%答：二月份比原价下降了 1%。例 2 某服装店因搬迁，店商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去 5 2元，已知衣服原来按期望盈利 30%定

17、价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈 ）率是多少？解 ：要知亏还是盈，得知实际售价 52 元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为 52元是原价的 80%，所以原价为（5280%）元；又因为原价是按期望盈利 30%定的，所以成本为 5280%（130%）50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为 （5250）504%答：该店是盈利的，盈利率是 4%。例 3 成本 0.25 元的作业本 1200 册，按期望获得40%的利润定价出售 ，当销售出 80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？解： 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百

18、分之几。从题意可知，每册的原定价是 0.25（140%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的 80%的盈利额之差，即0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作业本每册盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.25（140%）80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例 4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10%，甲店按30%的利润定价，乙店按 20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元 ，求乙店的定价。解 设乙店

19、的进货价为 1，则甲店的进货价为 110%0.9甲店定价为 0.9（130%）1.17乙店定价为 1 （120%）1.20由此可得 乙店进货价为 6 （1.201.17）200（元）乙店定价为 2001.2240（元）答：乙店的定价是 240元。存款利率【含义 】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率 、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】 年（月）利率利息本金存款年（月）数100%利息本金存款年（月）数年（月）利率本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）数【解

20、题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 大强存入银行 1200 元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出 1488元，求存款期多长。解 ：因为存款期的总利息是（14881200）元，所以总利率为 （14881200）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为 （14881200）12000.8%30（月）答：大强的存款期是 30 月即两年半。例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28% ，五年期 9%。如果甲乙二人同时各存入1 万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多

21、多少元？解 ：甲的总利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%31584115848.28%34461.47（元）乙的总利息 100009%54500（元）45004461.4738.53（元）答：乙的收益较多，乙比甲多 38.53元。浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系 。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】 溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】 简单的题目可直接利

22、用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 爷爷有 16%的糖水 50克，（ 1 ）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成 30%的糖水，需加糖多少克？解 （ 1 ）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克）（2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）5010（克）答：（ 1 ）需要加水 30克，（2）需要加糖 10克。例 2 要把30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600克，需要30%和 15%的糖水各多少克？解 ：假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600（30%25%）30（克）这是因为 30%的糖水多用了。于是，我们设想在保

23、证总重量 600 克不变的情况下，用 15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此可知，需要 15%的溶液 200克。需要 30%的溶液 600200400（克）答：需要 15%的糖水溶液200 克，需要30%的糖水 400克。例 3 甲容器有浓度为12%的盐水 500克，乙容器有 500 克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水

24、的百分比浓度。解 ：由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为 500 克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：23 / 23甲容器 乙容器原 有 盐水 500盐50012%60水 500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水 500 2 250盐60 2 30盐水 500250750盐 30第而次把乙中一半倒入甲中后盐水 250375625盐301545盐水 7502375盐 30215第三次使甲乙中盐水同样多盐水 500盐45 9 36盐水 500盐 45361524由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为245004.8%答：乙容器中最后的百分比浓

25、度是 4.8%。构图布数【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】 根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例 1 ：十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 ：符合题目要求的图形应是一个五角星。4 5 2 10因为五角星的 5 条边交叉重复，应减去一半。例 2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。解 ：符合题目要求的图形是两个倒立交叉

26、的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。例 3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。解 ：符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4 棵树，三个顶点上重复应减去，正好 9 棵。 4339例 4 ：把12拆成 1到 7 这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于 12。解 ：共有五种写法，即 12147 1215612 2 3 712246 12 3 4 5在这五个算式中，4 出现三次，其余的 1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设

27、计出以下三种图形：幻方问题【含义】 把 n n 个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和 ”叫做“ 幻和 ” 。三级幻方的幻和 45 3 15五级幻方的幻和 325 5 65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例 1 ：把 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，9 这九个数填入九个方格中，使每行 、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 ：幻和的3 倍正

28、好等于这九个数的和，所以幻和为（ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ） 3 45 3 15九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的 “ 中心数 ” 地位重要，宜优先考虑。设“中心数 ” 为 ，因为 出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于 15 ，所以 ：（ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ）（ 4 1 ） 15 4即 45 3 60 所以 5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们

29、分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例 2 把 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ，10 这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。解 ：只有三行，三行用完了所给的 9 个数，所以每行三数之和为：（ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ） 3 18假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8 行上的三个数之和都等于 18 ，我们看 18 能写成哪三个数之和：最大数是 10 ： 18 10 6 2 10 5 3最大数是 9 ： 18 9 7 2 9 6 3 9 5 42 7 69 5 14 3 8最大数是 8 ：

30、18 8 7 3 8 6 4最大数是 7 ： 18 7 6 5 刚好写成 8 个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述 8 个算式，只有 6 被用了 4 次，所以正中间方格中应填 6 。然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述 8 个算式中只有 9 、 7 、 5 、3 被用了三次，所以 9 、 7 、 5 、3 应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为 18 。最后确定其它方格中的数。如图 。9 2 74 6 85 10 3抽屉原理【含义 】 把 3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2 只苹果放进一

31、个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2 只或2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把 n1个物体（也叫元素）放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有 m个抽屉，有 kmr（0rm）个元素那么至少有一个抽屉中要放（ k 1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（ k 1）个或更多的元素。【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；

32、（3）说明理由，得出结论。例1 ：育才小学有 367 个 1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？解 ：由于 1999年是润年，全年共有 366 天，可以看作 366 个“抽屉”，把 367 个 1999年出生的学生看作 367个“元素”。367 个“元素”放进 366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多的“元素”。这说明至少有2 个学生的生日是同一天的。例2 据说人的头发不超过 20 万跟，如果省有 3645 万人，根据这些数据，你知道省至少有多少人头发根数一样多吗？解 ：人的头发不超过 20 万根，可看作 20 万个“抽屉”，3645 万人可看作364

33、5 万个“元素”，把 3645万个“元素”放到 20万个“抽屉”中，得到3645201825 根据抽屉原则的推广规律，可知 k1183答：省至少有183 人的头发根数一样多。例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10 个 ，白球9 个，黄球 8个，蓝球 2 个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4 个球颜色相同？解 ：把四种颜色的球的总数（3332）11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（111）个球才能保证至少有 4个球的颜色相同。答；他至少要取12 个球才能保证至少有 4 个球的颜色相同。公约公倍【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用

34、题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是 “ 短除法 ” 。例 1 ：一硬纸板长 60 厘米，宽 56 厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？解 ：硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。60 和 56 的最大公约数是 4 。 答：正方形的边长是4 厘米。例 2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要 36 分钟 ，乙车行一周要 30分钟，丙车行一周要 48 分钟，三辆汽车同时从

35、同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？解：要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是 36 、 30 、 48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是 36、30、48 的最小公倍数。 36 、 30 、48 的最小公倍数是 720 。答：至少要 720 分钟（即 12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。例 3 一个四边形广场，边长分别为 60 米，72米，96 米，84 米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？解 ：相邻两树的间距应是 60 、 72 、 96 、84 的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那

36、么这个相等的间距应是 60 、 72 、 96 、84 这几个数的最大公约数 12 。所以，至少应植树 （ 60 72 96 84 ） 12 26 （棵）答：至少要植 26 棵树。例 4 ：一盒围棋子，4 个 4 个地数多 1 个，5个5 个地数多 1 个，6 个 6 个地数还多 1个。又知棋子总数在 150 到 200 之间，求棋子总数。解 ：如果从总数中取出 1 个，余下的总数便是 4 、 5 、6 的公倍数。因为 4 、5 、6的最小公倍数是 60 ，又知棋子总数在 150到 200之间，所以这个总数为60 3 1 181 （个）答：棋子的总数是 181 个。最值问题【含义】 科学的发展

37、观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】 一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。例 1 ：在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？解 ：先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出 ，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过 3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤 3 分钟即可。这样做，用的时间最少，为 9分钟。答：最少需要 9 分钟。例 2 ：

38、在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是 10 千米 ，已知 1 号煤场存煤 100 吨，2 号煤场存煤 200 吨，5 号煤场存煤 400 吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运 1 千米花费 1 元，集中到几号煤场花费最少？解 ：我们采用尝试比较的方法来解答。集中到 1 号场总费用为 ：1 200 10 1 400 40 18000（元）集中到 2 号场总费用为 ：1 100 10 1 400 30 13000（元）集中到 3 号场总费用为： 1 100 20 1 200 10 1 400 10 12000（元）集中到 4 号场总费用为 ;1 100

39、30 1 200 20 1 400 10 11000 （元）集中到 5 号场总费用为 :1 100 40 1 200 30 10000（元）经过比较，显然，集中到 5 号煤场费用最少。答：集中到 5 号煤场费用最少。例 3 和同时制成计算机若干台，可调运外地 10 台，可调运外地 4 台。现决定给调运 8 台 ，给调运 6 台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？解 :调运到的运费最高，因此，往应尽量少调运。这样，把的 4 台全都调往，再从调往 4台，调往 6 台，运费就会最少，其数额为:500 4 800 4 400 6 7600（元）答：调往 4 台，调往 6 台，调往 4 台，这样

40、运费最少。 800 400 500 300列方程问题【含义】 把应用题中的未知数用字母 代替，根据等量关系列出含有未知数的等式方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】 方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答 ” 六字法。（ 1 ）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（ 2 ）设：把应用题中的未知数设为 。（ 3 ）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（ 4 ）解；求出所列方程的解。（ 5 ）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（ 6 ）答：回

41、答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项容，即设未知数、列方程 、解方程、答语。设未知数时要在 后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的 值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例 1 :甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的2 倍少 30人，求两班各有多少人？解 :第一种方法：设乙班有 人，则甲班有（ 90 ）人。找等量关系：甲班人数乙班人数 2 30人。列方程： 90 2 30解方程得 40 从而知 90 50第二种方法：设乙班有 人，则甲班有（ 2 30 ）人。列方程 （ 2 30 ） 90解方程得

42、40 从而得知 2 30 50答：甲班有 50人，乙班有 40 人。例 2 :鸡兔 35只，共有 94 只脚，问有多少兔？多少鸡？解 :第一种方法：设兔为 只，则鸡为（ 35 ）只，兔的脚数为 4 个，鸡的脚数为 2 （ 35 ）个。根据等量关系“兔脚数鸡脚数 94” 可列出方程 4 2 （ 35 ） 94 解方程得 12 则 35 23第二种方法：可按“鸡兔同笼 ” 问题来解答。假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数 2 鸡兔总数）（ 4 2 ）所以 兔数（ 94 2 35 ）（ 4 2 ） 12 （只）鸡数 35 12 23 （只）答：鸡是 23 只，兔是 12只。例 3 :仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运125 袋，乙汽车每次运多少袋？解:第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 940 4 125 110 （袋）第二种方法：从总量里减去甲汽车 4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数 ，再除以 4 ，即是所求。 （940 125 4 ） 4 110 （袋）第三种方法：设乙汽车每次运 袋，可列出方