2022年高中数学 1.3.1 二项式定理课时提升作业（八）新人教A版选修2-3.doc

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1、课时提升作业(八)二项式定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-+210=()A.32B.-32C.1 024D.512【解析】选A.由题意得a10-2a9+22a8-+210=(a-2)10,又a=2-,所以原式=(2-2)10=32.2.(2014济宁高二检测)若展开式的第4项为含x3的项,则n等于()A.8B.9C.10D.11【解析】选B.Tk+1=xn-k=(-1)kxn-2k,k0,1,2,n,因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.3.(2013江西高考)展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-40【解析】选C.展

2、开式的通项公式为Tk+1=(x2)5-k=(-2)kx10-5k.由10-5k=0,得k=2,所以常数项为T2+1=(-2)2=40.4.(2014杭州高二检测)对于二项式(nN*),有以下四种判断:存在nN*,展开式中有常数项;对任意nN*,展开式中没有常数项;对任意nN*,展开式中没有x的一次项;存在nN*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.与B.与C.与D.与【解析】选D.二项式的展开式的通项公式为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(kN*)和n=4k-1(kN*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.5.在的二项展开式中,x的系数为()A.10B.-10C.40D.

3、-40【解析】选D.的展开式的通项为Tr+1=(2x2)5-r=25-r(-1)rx10-3r,令10-3r=1,得r=3,所以T4=22(-1)3x=-40x.所以x的系数是-40.【误区警示】本题易把二项式系数等同于项的系数而错选A.6.(2014湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=()A.2B.C.1D.【解题指南】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为Tr+1=(2x)7-r=27-rarx7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以22a5=84,解得a=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.【

4、解析】根据已知条件可知=,所以n=8,因为展开式的通项公式为Tr+1=x8-2r,令8-2r=-2,则r=5.所以=56即为所求.答案:568.(2014唐山高二检测)二项式的展开式中整式项共有项(用数字作答).【解析】由Tr+1=(x2)9-r=x18-3r,依题意需使18-3r为整数.故18-3r0,r6,即r=0,1,2,3,4,5,6共7项.答案:79.233除以9的余数是.【解析】233=811=(9-1)11=911-910+99-+9-,因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:8【一题多解】233=23023=6458=8(63+1)5=8(635+

5、634+633+632+63+)=8(635+5634+10633+10632+563)+8,因为括号内的各项都是9的倍数.所以233除以9所得的余数是8.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014淄博高二检测)在的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数.(2)含x2的项.【解析】(1)第3项的二项式系数为=15,又T3=(2)4=24x,所以第3项的系数为24=240.(2)Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.11.在(1-x2)20的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相

6、等,(1)求r的值.(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.【解析】(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是和,因为=,所以4r-1=r+1或4r-1+r+1=20,解得r=4或r=.所以r=4.(2)T4r=T16=(-x2)15=-15504x30,Tr+2=T6=(-x2)5=-15504x10.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3【解题指南】由多项式乘法的运算法则知,展开式中的常数项由两部分构成,前一个因式取x2时,后一个因式必须含,前一个因式取2时,后一个因式必须为常数.【解析】选D.第一个因式

7、取x2,第二个因式取含的项得:1(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.【变式训练】(1-x)4的展开式中x2的系数是()A.-6B.-3C.0D.3【解析】选A.因为(1-)3的有理项为1和3x,故要出现x2,需从(1-x)4因式中找x2项和x项,即x2和-x,所以x2项为x21-x3x=-6x2.2.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()A.1.23B.1.34C.1.33D.1.24【解析】选B.(1.05)6=(1+0.05)6=+0.05+0.052+0.053+0.056=1+0.3+0.0375

8、+0.0025+1.562510-81.34.3.(2014萍乡高二检测)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy1,即x的取值范围是(1,+).4.(2013陕西高考)设函数f(x)=则当x0时,f(f(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15【解题指南】由x的取值确定函数表达式,再由二项展开式的通项确定展开式中的常数项.【解析】选A.当x0时,f(f(x)=的展开式中,常数项为(-)3=-20.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014成都高二检测)在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.【解析】因为Tr+1

9、=x20-ryr(r=0,1,2,20)的系数为有理数,所以r=0,4,8,12,16,20,共6项.答案:66.(2014山东高考)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题指南】本题考查了二项式定理,基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将展开,得到Tr+1=a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由a3b3=20,得ab=1,所以a2+b22ab=2.答案:2三、解答题(每小题13分,共26分)7.已知的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项.(2)展开式中第几项的二项式系数大于

10、相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据前三项的二项式系数之和为37,求出n;再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为整数得到x的整数次幂的项.(2)根据二项展开式中间项的二项式系数最大,再利用组合数公式证明.【解析】(1)展开式的前三项的二项式系数之和为+=37,解得n=8.所以=的展开式的通项为Tr+1=(x)8-r=.当r=0,6时,x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12,28x.(2)展开式共有9项,根据展开式中间项的二项式系数最大,故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为=70.展开式第4项

11、的二项式系数为,展开式第6项的二项式系数为,因为=5670.故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.8.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值.(2)展开式中x5的系数.(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项展开式的通项为Tk+1=(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6=.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.【拓展延伸】已知展开式中某些项(或系

12、数)求其他问题的思路及技巧(1)根据给定的条件和通项公式,建立方程来确定指数.(2)根据所求的指数,再求所求解的项.(3)为减少计算中的错误,宜将根式化为分数指数幂.【变式训练】在的展开式中,已知第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】通项为Tr+1=,(1)因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得r=(n-6)=2,则所求的系数为=.(3)根据通项,由题意得令=k(kZ),则10-2r=3k,即r=5-k,因为rZ,所以k应为偶数.所以k可取2,0,-2,此时r取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,x-2.- 8 -