2022年高中数学必修1-5公式总结.docx

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1、精选word文档 下载可编辑高中数学必修1-5公式总结高中数学必修1-5常用公式及结论天龙中学数学组编制高中数学必修课本常用公式及结论1集合ann1,a2,an的子集个数共有2个；真子集有21个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2个2、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式）(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，设为此式）3、方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0；4

2、、则复合函数yfg(x)满足同则增异则减5、奇偶函数的图象特征奇函数f(x)f(x)；偶函数f(x)f(x)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数6常见函数的图像yyyyyk0a高中数学必修1-5常用公式及结论天龙中学数学组编制a1(1qn)a1anq其前n项的和公式为s,q1,q1n1q或sn1qna1,q1na1,q120、等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为b(n1)d,qa1nbqn(db)qn1dq1,q1；nbn(n1)d,(q1)其

3、前n项和公式为sn(bd)1qnd1qq11qn,(q1)21、同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=sincos，22、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sin(nnn2(1)2cos2)(1)sin,(n为偶数)n,(n为偶数)n1，cos()n1(1)2cos,(n为奇数)2(1)2sin,(n为奇数)23、和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan1tantanasinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanba)24、二倍角公式及降幂公式sin2sincos

4、2tan1tan21tan2cos2cos2sin22cos2112sin21tan2tan22tan1tan2sin21cos21cos22,cos2225、三角函数的周期公式函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,为常数，且A0)的周期T2|；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,为常数，且A0)的周期T|26、正弦定理asinAbsinBcsinC2R（R为ABC外接圆的半径）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC27、余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC28、面积定理（1

5、）S12ah11a2bhb2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）（2）S12absinC12bcsinA12casinB29、实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么(1)结合律(a)=()a(2)第一分配律(+)a=a;+a;(3)第二分配律(a+b)=a+b不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底30、向量平行的坐标表示设a=(xx1,y1),b=(2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y31、a与b的数量积(或内积)ab=|a|b10|cos32、ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积33、平面向量的坐

6、标运算(1)设a=(xb=(x1,y1),2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2)(2)设a=(x),b=(x1,y12,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2)(3)设A(x1,y(x1)，B2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1(4)设a=(x,y),R，则a)=(x,y)(5)设a=(xb1,y1),b=(x2,y2)，则a=(x1x2y1y2)34、两向量的夹角公式cosabx1x2y1y2|a|b|=x2(a=y2x2y2(x1,y1),b(x2,y2)112235、平面两点间的距离公式d22A,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)，B(x2,y

7、2)36、向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则a|bb=ax1y2x2y10ab(a0)ab=0x1x2y1y2037、设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则第2页（共4页）高中数学必修1-5常用公式及结论（1）O为ABC的外心天龙中学数学组编制OA222（2）O为ABC的重心OAOBOCOBOC0（3）O为ABC的垂心OAOBOBOC（4）O为ABC的内心aOAbOBcOCOCOA038、常用不等式（1）a,bRa2b22ab(当且仅当ab时取“=”号)（2）a,bRab2ab(当且仅当ab时取“=”号)39、斜率公式ky2y1（

8、P1(x1,y1)、P2(x2,y2xx)）2140、直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距)（3）两点式yy1yxx1x(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2,y1y2)2y1x21两点式的推广(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0（无任何限制条件！）(4)截距式xayb1(a、b分别为直线的横、纵截距，a0、b0)（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0)41、两条直线的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2l1|l2k1k2,b1b2;l

9、1l2k1k21(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,lA1AB1BC11|l2；l1l2A1A2B1B20；22C242、点到直线的距离d|Ax0By0C|(点P(x0,y0),直线lAxA2B2ByC0)43、圆的四种方程（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)44、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbCA2B2):dr相离0;dr相切0;dr相交045、证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）

10、转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行46、证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行47、证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；48、证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；49、证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面50、证明平面与平面的垂直的思考

11、途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；51、空间两点间的距离公式若A(xz2221,y1,z1)，B(x2,y2,2)，则dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1)52、棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比53、球的半径

12、是R，则其体积V43R3,其表面积S4R254、球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长55、柱体、锥体的体积VSh（S是柱体底面积、h是柱体高）V1柱体锥体3Sh（S是锥体底面积、h是锥体高）56、等可能性事件的概率P(A)mn57、互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)58、n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)第3页（共4页）高中数学必修1-5常用

13、公式及结论天龙中学数学组编制59、独立事件A，B同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)201*山东数学会考模拟试题一选择题1已知集合A1,0,1,2,3，Bx|1x0，则AB等于A1B1C(,0)D1,02已知等差数列an中，a7a916,，则a8的值是A5B6C7D83一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是A异面B相交C平行D平行或相交4若向量|a|=1,|b|=2,c=a+b且ca，则向量a与b的夹角为A30B60C120D1505已知正方体的外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于A22B233C42433D36函数ycos2x在下列哪个区间是减函

14、数A4,4B4,34C0,2D2,7在下列函数中，函数的图象关于y轴对称的是Ayx3Bylogx1xCycosxDy228将ycosx的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿x轴负方向平移4个单位，则所得图象的解析式为AysinxBysin2xCycos(2x4)Dycos(x24)9设我方每枚地对空导弹独立地击中敌机的概率为08，如果要以99%的把握击中来犯敌机，则至少要同时发射导弹A2枚B3枚C4枚D5枚10.建造一个容积为8cm3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为A1700元B1720元C17

15、40元D1760元二、填空题11、已知函数f(x)2x,(x4)1),(x4)，f(x那么f(5)的值为_12、在-,内，函数ysin(x3)为增函数的区间是_13、设a=12，b=9，ab=-542，则a和b的夹角为_三、解答题14、已知a=（2，1）b=（，-2），若ab，求的值15、已知an是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前10项的和Sn16、已知函数f(x)32sinx12cosx,xR求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值时x的集合第4页（共4页）扩展阅读高中数学必修5知识点总结(精品)必修5知识点总结1、正弦定理在C中，a、b、c分别为角、C的对边

16、，R为C的外接圆的半径，则有abc2RsinsinsinC2、正弦定理的变形公式a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；abc，sin，sinC；a:b:csin:sin:sinC；2R2R2RabcabcsinsinsinCsinsinsinCsin（正弦定理主要用来解决两类问题1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是数形结合思想画出图法一把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点当无交点则B无解、当有一个交

17、点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二是算出CD=bsinA,看a的情况当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附三角形的五个“心”；重心三角形三条中线交点.外心三角形三边垂直平分线相交于一点.内心三角形三内角的平分线相交于一点.垂心三角形三边上的高相交于一点.7、数列按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项数列中的每一个数9、有穷数列项数有限的数列10、无穷数列项数无限的数列11、递增数列从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即an+1an）

18、12、递减数列从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即an+1anamana11；dnnmd21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则aman差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；若an是等apaqna1anSn2；22、等差数列的前n项和的公式Snna1nn1d2sna1a2an*23、等差数列的前n项和的性质若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇anS偶an1*若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇n（其中S奇nan，S偶n1S偶n1an）24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这

19、个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示an1q（注等比数列中不会出现值为0的项；同号位上an的值同号）注看数列是不是等比数列有以下四种方法2anan1q(n2,q为常数,且0)anan1an1(n2，anan1an10)ancqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列.25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若Gab，则称G为a与b的等比中项（注由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1n1nmaaqaaq27、通项公式的

20、变形n；1；qn1mn222annmanq；ama1*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则an2apaqna1q129、等比数列an的前n项和的公式Sna11qnaaqsn1nq11q1qs1a1(n1)30、对任意的数列an的前n项和Sn与通项an的关系anss(n2)n1na1a2an注ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为0，则是等差数列充分条件）.等差an前n项和SnAn2Bnn2a1d2ddn可以为零也可不为零为等差的充要条件若22d为零，则是

21、等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附几种常见的数列的思想方法等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下数列等差数列等比数列数列等差数列等比数列我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题1、等差数列分析因为d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22通项公式对应函数（时

22、为一次函数）（指数型函数）前n项和公式对应函数（时为二次函数）（指数型函数）中，则.是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题2、等差数列中，前n项和为，若，n为何值时最大？分析等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大。最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，例题3递增数列，对任意正整数n，递增得到恒成立，设恒成立，求恒成立，即，则

23、只需求出。，因为是递的最大值即分析构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然有最大值对一切对于一切，所以看成函数的取值范围是构造二次函数，它的定义域是增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，得如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111n项和的推倒导方法错位相减求和.例如1,3,.(2n1)n,.242两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项

24、，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。在等差数列an中,有关Sn的最值问题(1)当a10,dsn=121222323n2n把式两边同乘2后得2sn=122223324n2n1用-，即sn=121222323n2n2sn=122223324n2n1得sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12倒序相加法:类似于等差数列前n

25、项和公式的推导方法.常用结论n(n1)121）:1+2+3+.+n=2）1+3+5+.+(2n-1)=n3）1323n3n(n1)224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()n(n2)2nn26）31、ab0ab；ab0ab；ab0ab32、不等式的性质abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；nnab0,cd0acbd；ab0abn,n1；1111()(pq)pqqppqab0nanbn,n133、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值不等式、一元二次

26、不等式的解法及延伸整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)解法将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“由图可看出不等式x3x6x80的解集为22x|2x1,或x4例题求解不等式解略一元二次不等式的求解特例一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论.二次函数0002(x1)(x2)(x5)0的解集。(x6)(x4)yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解

27、集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx2对于a0(或（2）转化为整式不等式（组）f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)例题求解不等式解略例题求不等式11xx1的解集。x1含绝对值不等式的解法基本形式型如|x|a(a0)的不等式的解集为x|axa型如|x|a(a0)的不等式的解集为x|xa,或xa变型其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为x2x292x92(x2)(x3)10x2由得原不等式的解集为x|函数图像法令f(x)|x2|x3|1

28、19x（注是把的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)则有f(x)5(3x2)2x1(x2)在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图1132o292x由图像可知原不等式的解集为x|2119x22一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析y设ax+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax+bx+c,那么220若两根都大于0，即0,0，则有00o对称轴x=xb2a0b若两根都小于0，即0,0，则有02af(0)011y对称轴x=b2aox若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0若两根在两实数m,n之间，即mn，yoxy0bnm则有2a

29、f(m)0omf(n)0若两个根在三个实数之间，即mtn，yX=nb2axf(m)0则有f(t)0f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数例如若方程x22(m1)xm22m30有两个正实数根，求m的取值范围。omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解由型得02(m1)0m1m30m1,或m3m22m30所以方程有两个正实数根时，m3。又如方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。225522(1)4(m1)00m解因为有两个不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36

30、、二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0（一）由B确定0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线若0，则xyCxyC0下方的区域0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线若0，则xyCxyC0上方的区域（二）由A的符号来确定先把x的系数A化为

31、正后，看不等号方向若是“”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。若是“线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的解x,y可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数2abab42、均值不等式定理若a0，b0，则ab2ab，即241、设a、b是两个正数，则43、常用的基本不等式ab2aba,bR22a2b2；aba,bR；2ababa0,b0；2a2b2aba,bR2244、极值定理设x、y都为正数，则有22s2若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值若xyp（积为定值），则当xy4时，和xy取得最小值2p例题已知x解x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x55，4x504由原式可以化为f(x)4x552当54x1111(54x)3(54x)3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）时取到“=”号54x2也就是说当x1时有f(x)max2友情提示本文中关于高中数学必修1-5公式总结给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学必修1-5公式总结该篇文章建议您自主创作。