学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例优化练习新人教A版选修-.doc

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1、二 用数学归纳法证明不等式举例课时作业A组根底稳固1用数学归纳法证明11)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A12B12C12 D11，第一步n2，左边1，右边2，即1成立时，起始值n0至少应取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用数学归纳法证明 “Sn1(nN)时，S1等于()A. BC. D解析：因为S1的首项为，末项为，所以S1，应选D.答案：D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么以下命题总成立的是()A假设f(3)9成立，那么当k1时，均有f(k)k2成立B假设f(5)25

2、成立，那么当k5时，均有f(k)k2成立C假设f(7)49成立，那么当k8时，均有f(k)42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时，命题也成立现当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立等价的命题为“如果当nk1时命题不成立，那么当nk(kN)时，命题也不成立故知当n5时，该命题不成立，可推得当n4时该命题不成立，应选C.答案：C6观察以下式子：1，1，1，可

3、归纳出一般性结论：_.解析：由题意得1(nN)答案：1(nN)7用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是_答案：cos 8用数学归纳法证明：2n1n2n2(nN)时，第一步应验证_答案：n1时，221212，即449证明不等式：12(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即12(kN)当nk1时，左边12，现在只需证明2，即证：22k1，两边平方，整理得01，显然成立2成立即1，11,1，12,1，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1B1C1D1解析：1,3,7,15,31，

4、的通项公式为an2n1，不等式左边应是1.，1，2，的通项公式为bn，不等式右边应是.答案：C2用数学归纳法证明不等式“(n2，nN)时的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项解析：当nk时，左边.当nk1时，左边.故由nk到nk1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项答案：C3用数学归纳法证明某不等式，其中证nk1时不等式成立的关键一步是：()，括号中应填的式子是_解析：由k2，联系不等式的形式可知，应填k2.答案：k24设a，b均为正实数，nN，M(ab)n，Nannan1b，那么M，N的大小关系为_(提示

5、：利用贝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a0，b0，x0.由贝努利不等式得(1x)n1nx.，MN答案：MN5对于一切正整数n，先猜出使tnn2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n1)lg(123n)证明：猜测当t3时，对一切正整数n使3nn2成立下面用数学归纳法进行证明当n1时，313112，命题成立假设nk(k1，kN)时，3kk2成立，那么有3kk21.对nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，对nk1，命题成立由上知，当t3时

6、，对一切nN，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1)lg(123n)当n1时，1(11)0lg 1，命题成立假设nk(k1，kN)时，k(k1)lg(123k)成立当nk1时，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)，命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立6等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.证明：由，得Sn3n1，等价于，即3n2n1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即3k2k1，那么当nk1时，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1时，(*)成立综合，得3n2n1成立所以.法二：当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立当n2时，3n(12)nCC2C22C2n12n12n，所以(*)成立所以.