2022高中数学 2-3 第2课时角度和物理问题同步导学案 北师大版必修5.doc
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1、第2课时角度和物理问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识,解决有关的实际问题,目的是进一步巩固所学知识,提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力,增强应用数学的意识,以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点:构建数学模型探求角度测量方法.难点:将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小,可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小,根据所测出的三角形中的量,运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中,也都与求角的问
2、题相联系.要清楚问题中的角的含义,如方向角、方位角、仰角、俯角等,根据已知线段和角以及要求的角,选择有充分条件的三角形求解.知能自主梳理1.测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夹角叫做.3.坡面的铅直高度与水平宽度之比(如图中的),叫做.答案1.正弦定理余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命题方向测量角度问题例1在南海伏季渔中,我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60的方向,相距a海里,偷渔船正在向北行驶,若我船速度是渔船速度的倍,问我船应沿什么方向前进才能追上渔船?此时渔船已行驶多少海里?解析如图所示,设乙船沿B点向北行驶的
3、速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则BC=vt,AC=vt,在ABC中,ABC=120,AB=a,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120,即3v2t2=a2+v2t2+vat,2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=- (舍去).BC=a,CAB=30.即甲船应沿北偏东30的方向去追赶乙船,在乙船行驶a海里处相遇.说明解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分清已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系,运用正、余弦定理求解.变式应用1在地面上某处,测得塔顶的仰角为,由
4、此处向塔走30米,测得塔顶仰角为2,再向塔走10米,测得塔顶仰角为4,试求角的度数.分析如图所示,求角,必须把角、2、4和边长30、10尽量集中在一个三角形中,利用方程求解.解析解法一:PAB=,PBC=2,BPA=,BP=AB=30,又PBC=2,PCD=4,BPC=2,CP=BC=10 ,在BPC中,根据正弦定理得:,即=,由于sin20,cos2=,0290,2=30,=15.解法二:在BPC中,根据余弦定理得:PC2=PB2+BC2-2PBBCcos2把PC=BC=10,PB=30代入上式得,300=302+(10)2-23010cos2化简得:cos2=,0290,2=30,=15.
5、解法三:如下图,过顶点C作CEPB,交PB于E,BPC为等腰三角形,PE=BE=15,在RtBEC中,cos2=,02OB,ABO=25.49或ABO=154.51,当ABO=25.49时,AOB=136.51,AB=4.77108(km).当ABO=154.51时,AOB=7.49,AB=9.03107(km).答:此时地球与金星之间的距离约为4.77108km或9.03107km.名师辨误做答例4海岸A处,发现北偏东45方向,距A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以
6、10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?误解缉私船用t小时,在D处追上走私船,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2(-1)2cos1206,BC=.在BCD中,BD=10t,CD=10t,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD,(10t) 2=6+(10t) 2-210t(-),整理,得100t2-5t-3=0,解得t=.BD=,又BC=,CBD=120.BCD=BDC=30.故缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船.辨析述解法错误的原因在于默认为CBD=120
7、,而没有给出证明,并且多余的求出时间t.正解缉私船用t小时在D处追上走私船.在ABC,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2(-1)2cos1206,BC=.在BCD中,由正弦定理,得sinABC=sinBAC=,ABC=45,BC与正北方向垂直.CBD=120.在BCD中,由正弦定理,得,sinBCD=,BCD=30.故缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船.课堂巩固训练一、选择题1.在某测量中,设A在B的南偏东3427,则B在A的()A.北偏西3427B.北偏东5533C.北偏西5532D.南偏西5533答案A2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡
8、比为,设为坡角,那么cos等于()A. B. C. D. 答案B解析由题意,得tan=,即,为锐角,cos=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在船的南偏东15,则灯塔S与B之间的距离为 ()A.66 kmB.132 kmC.96 kmD.33 km答案A解析如图,ASB=180-15-45=120,AB=22,由正弦定理,得,SB=66km.二、填空题4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过h,该船实际航程为.答案6 km解析如图,水流速和船速的合速度为v,
9、在OAB中: OB2=OA2+AB-2OAABcos60,OB=v=2km/h.即船的实际速度为2km/h,则经过h,其路程为2=6 km.5.一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后,再向右转105爬行20cm,又向右转135,这样继续爬行可回到出发点处,那么x=.答案cm解析如图ABC中,A=451560,B=45+30=75,ACB=45,由正弦定理知,x=.课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案B解析如图,由题意知ACB=1
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