学年高中数学第章指数函数和对数函数对数.换底公式学案北师大版必修.doc

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1、4.2换底公式学 习 目 标核 心 素 养1.能推导出对数的换底公式(重点)2会用对数换底公式进行化简与求值(难点、易混点)1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养2通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.换底公式阅读教材P83P86有关内容，完成以下问题换底公式：logbN(a，b0，a，b1，N0)特别地，logablogba1，logba思考：换底公式的作用是什么？提示换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算1.的值为()A. B2C. DBlog392log332.2假设log32a，那么log123可以用a表示为_log1233log3

2、4log48log8m2，那么m_.9因为log34log48log8m2，所以2，化简得lg m2lg 3lg 9.所以m9.4log29log34_.4log29log342log232log244log224.利用换底公式化简求值【例1】计算：log1627log8132.思路探究在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值解log1627log8132.1换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底2换底公式的派生公式：logablogaclogcb；loganbmlogab.1计算：(log43

3、log83)(log32log92)解原式.用对数表示其他对数【例2】log189a,18b5，用a，b表示log3645.解法一：因为log189a，所以918a，又518b，所以log3645log218(59)log21818ab(ab)log21818.又因为log21818，所以原式.法二：18b5，log185b，log3645.法三：log189a,18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18，log3645.用对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底是解决这种类型问题的关键；(3)注意

4、一些派生公式的使用.2(1)log142a，试用a表示log7.(2)假设log23a，log52b，试用a，b表示log245.解(1)法一：因为log142a，所以log214.所以1log27.所以log271.由对数换底公式，得log27.所以log72log272.法二：由对数换底公式，得log142a.所以2a(log72)，即log7.(2)因为log245log2(59)log25log29log252log23，而log52b，那么log25，所以log2452a.对数的实际应用探究问题1光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为

5、a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式提示：依题意得yaa，其中x1，xN.2探究1中的条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 30.477 1，lg 20.301 0)提示：依题意得axaxx(2lg 31)lg 2x6.572，xmin7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下【例3】某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将到达120万？(精确到1年)(l

6、g 1.0120.005 2，lg 1.20.079 2)思路探究先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值解(1)由题意y100(11.2%)x1001.012x(xN)(2)由1001.012x120，得1.012x1.2，xlog1.0121.216，故大约16年以后，该城市人口将到达120万解对数应用题的步骤 3某种汽车平安行驶的稳定性系数随使用年数t的变化规律是0et，其中0，是正常数经检测，当t2时，0.90 0，那么当稳定性系数降为0.500时，该种汽车已使用的年数为_(结果精确到1，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)13由0.9000(e)

7、2，得e，又0.5000(e)t，那么()t，两边取常用对数，得lglg 0.90，故t13.1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰中选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简2运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用(3)在运算过程中防止出现以下错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN)1思考辨析(1)logab.()(2)log52.()(3)loga blogb cloga c()答案(1)(2)(3)2假设lg 3a，lg 5b，那么log53等于()A. BCab DbaBlog5 3.3log332log227_.15log332log22715.4一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保存1个有效数字)解设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，那么y与x的关系式为y0.84x.依题意得0.84x0.5，化为对数式，得log0.840.5x，由换底公式知x，用科学计算器计算得x3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半