届高考数学一轮复习第章三角函数解三角形第讲正余弦定理及解三角形作业试题含解析新人教版.docx

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1、第四讲正、余弦定理及解三角形1.2021湖北省四地七校联考在一幢20 m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()A.20(1+33) m B.20(1+3) mC.10(6+2) m D.20(6+2) m 图4-4-12.2021南京市学情调研在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设2bcos C2a-c,那么角B的取值范围是()A.(0,3 B.(0,23 C.3,) D.23,)3.多项选择题在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,那么以下结论中正确的选项是()A.a2=b(b

2、+c) B.A=2B C.0cos A12D.0sin Bb.(1)求证:ABC是直角三角形.(2)假设c=10,求ABC的周长的取值范围.8.2022惠州市模拟ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC .(1)求角A;(2)假设ABC的外接圆的半径为1,求ABC的面积S的最大值.9.2021江西重点中学第二次联考在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设sin Bsin C=3sin A,ABC的面积为332,a+b=33,那么c=()A.21B.3C.21或3D.21或310.2021晋南高中联考平面四边形ABCD为凸

3、四边形,且A=60,ADDC,AB=3,BD=2,那么BC的取值范围为()A.72,2) B.(72,2)C.(2,7)D.72,7)11.2021福建五校第二次联考锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1, bcos A-cos B=1,假设A,B变化时,sin B-2sin2A存在最大值,那么正数的取值范围是()A.(0,33)B.(0,12)C.(33,22)D.(12,1)12.2022四川五校联考在ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,那么ABC面积的最大值为()A.32B.22C.3D.413.2022陕西省百校联考在ABC中,D为AC的中点,假设A

4、B=463,BC=2,BD=5,那么cosABC=,sin C=.14.2022福建宁德模拟海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保存宇宙秘密的最后遗产,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.假设要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,那么图4-4-2中海洋蓝洞的口径为m.图4-4-215.2021陕西百校联考ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)假设A2,且csin 2A=4cos Asin C,求a的值;(2)假设sin A,sinB,sin C成等差数列

5、,求B的最大值.16.在ABC中,角A与角B的内角平分线交于点I,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)假设ABC的外接圆半径为4,求ABI周长的最大值.17.在ABC中,AB=4,BC=3,那么当函数f(B)=cos 2B-cos(B+3)-3sin(B+3)+5取得最小值时,AC=()A.13B.23C.4D.218.在ABC中,假设sin(2-B)=cos 2A,那么AC-BCAB的取值范围为()A.(-1,12)B.(13,12)C.(12,23)D.(13,23)19.2022洛阳市联考a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(s

6、in B+sin C-sin A)=bsin C.(1)求角A的大小;(2)设a=3,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值.答 案第四讲变换正、余弦定理及解三角形1.B由题图知BE的长度即所求塔吊的高.易知四边形ABCD为正方形,CD=BC=AD=20 m.在RtDCE中,EDC=60,EC=CDtanEDC=203(m),这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+203) =20(1+3)(m).应选B.2.A由2bcos C2a-c及余弦定理,得2ba2+b2-c22ab2a-c,整理,得a2+c2-b2ac1,即2cos B1,所以cos B12,所以B(0,3,应选A.3

7、.ABD因为c-b=2bcos A,所以由余弦定理得c-b=2bb2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B)-sin B=2sin Bcos A,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以sin(A-B)=sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C90,所以0A60,0Bcos A12,0sin B0),那么CB=2x,cosCDB=9-3x26x=3-x22x=

8、-55,得x=5.所以CD=5,CB=25,因为cosCDB=-55,所以sinCDB=1-(-55)2=255,由正弦定理得sinBCD=BDsinBDCBC=35,故A错误;由余弦定理,得cosCBD=32+(25)2-(5)22325=255,sinCBD=1-(255)2=55,故SABC=12CBBAsinCBD=8,故B正确;在ABC中,由余弦定理得AC=AB2+BC2-2ABBCcosCBD=25,所以ABC的周长为8+45,故C正确;在ABC中,由余弦定理得cosACB=BC2+AC2-AB22BCAC=-35,所以ACB为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.5.31010

9、解法一记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作ADBC交BC于点D,那么AD=13a,ABC的面积S=12a13a=12acsin B,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=102c.由正弦定理得322csinBAC=102csinB,所以sinBAC=31010.解法二作ADBC交BC于点D,那么AD=13BC,设BC=3,那么AD=1.由B=4,可知BD=1,那么DC=2,AC=5.由正弦定理得sinBACsin4=35,所以sinBAC=3522=31010.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sin C-sin B=sin A(sin Ctan A

10、-cos C),即2sin C-sin (A+C)=sin A(sin Ctan A-cos C),所以2sin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Csin2AcosA-sin Acos C,化简可得2sin C-cos Asin C=sin Csin2AcosA,因为sin C0,(此条件不能省略)所以sin2AcosA+cos A=2,即sin2A+cos2A=2cos A,所以cos A=22,又0Ab,知AB,所以B+A+2=,即A+B=2,所以ABC是直角三角形.(2)ABC的周长L=10+10sin A+10cos A=10+102sin(A+4),由ab可知

11、,4A2,因此22sin(A+4)1,即20L10+102.故ABC的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,那么由正弦定理和条件,得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,0A,A=3.(2)记ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得asinA=2R,得a=2Rsin A=2sin3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsin A12332=334(当且仅当b=c时取等号).即ABC的面积S的

12、最大值为334.9.D因为sin Bsin C=3sin A,sin B0,所以sin C=3sinAsinB=3ab,又ABC的面积为332,所以12absin C=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sin C=32,当0C,所以cos C=12或cos C=-12.当cos C=12时,c=a2+b2-2abcosC=3,当cos C=-12时,c=a2+b2-2abcosC=21.应选D.10.D在ABD中,设AD=x,那么由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA,即x2-3x-1=0,得AD=x=3+72.ADCD,A=60,延长AB,DC交于点

13、E,所以在RtADE中,E=30,AE=2AD=3+7,因为AB=3,所以BE=7,所以当BCCD时,BC最短,此时,在RtBCE中,BC=12BE=72.在BDE中,BD=2,BE=7,所以BCBE=7,所以BC的取值范围是72,7).应选D.11.Aa=1,bcos A-acos B=a,由正弦定理得sin Bcos A-sin Acos B=sin A,即sin(B-A)=sin A,B-A=A或B-A=-A,B=2A或B=(舍).ABC为锐角三角形,0A2,0B=2A2,2A+B=3A,解得6A4.解法一sin B-2sin2A=sin 2A-(1-cos 2A)=sin 2A+cos

14、 2A-=1+2sin(2A+)-(其中tan =).32A2,要使sin B-2sin2A取得最大值,只需存在,满足2A+=2,06,tan 0=tan tan 6,即033.应选A.解法二sin B-2sin2A=sin 2A-2sin2A,令f(A)=sin 2A-2sin2A(6A4),那么f (A)=2cos 2A-2sin 2A=2cos 2A(1-tan 2A).当tan 2A0,f(A)单调递增,当tan 2A1时,f (A)0,ac0,所以cos B=38(ca+ac)-14382caac-14=12,当且仅当ca=ac,即a=c时,“=成立.因为cos B1,所以cos B

15、12,1),因为B(0,),(角B的范围要写上)所以B(0,3,所以B的最大值为3.16.(1)A+B+C=,A+B=-C,cos(A+B)=-cos C.5+4cos(A+B)=4sin2C,5-4cos C=4(1-cos2C),即4cos2C-4cos C+1=0,解得cos C=12,又0C,C=3.(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的外接圆半径为4,由正弦定理得csinC=8.C=3,c=43,ABC+BAC=23,又角A与角B的内角平分线交于点I,ABI+BAI=3,AIB=23.设ABI=,那么03,BAI=3-.在ABI中,由正弦定理BIsin(3-)

16、=AIsin=ABsinAIB=8,得BI=8sin(3-),AI=8sin ,ABI的周长为43+8sin(3-)+8sin =8sin(+3)+43.03,3+323,当+3=2,即=6时,ABI的周长取得最大值,为8+43,ABI周长的最大值为8+43.17.A由题意知函数f(B)=2cos2B-1-2cos(B+3-3)+5=2cos2B-2cos B+4=2(cos B-12)2+72,所以当cos B=12时,函数f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=42+32-24312=13.18.B因为sin(2-B)=cos 2A,所以cos B

17、=cos 2A,又A,B,C为ABC的内角,所以B=2A,A3.由正弦定理得AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sinB-sinAsin(A+B)=sin2A-sinAsinAcos2A+cosAsin2A=2sinAcosA-sinAsinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A=2cosA-14cos2A-1=12cosA+1,由0B,0C,得02A,0-3A,得0A3,故12cos A1,所以AC-BCAB的取值范围为(13,12),应选B.19.(1)(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C,由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-12.又A(0,),A=23.(2)根据a=3,A=23及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2,b=2sin B,c=2sin C,S=12bcsin A=122sin B2sin C32=3sin Bsin C,S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C).故当B=C,B+C=3,即B=C=6时,S+3cos Bcos C取得最大值3.