【成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式】.docx

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1、【成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式】 成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式第一章节公式由（1）对数的性质： 负数和零没有对数； 1的对数是零； 底数的对数等于1。 （2）对数的运算法则： 3、对数换底公式： 由换底公式推出一些常用的结论： （1）（2）（3）（4）三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是； 的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则如果那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，有极限，则： 特别地，如果C是常数，那么函数极限的四算运则如果那么推论设都存在，为常数，为正整数，则有： 无穷小量的比较： x与n同时趋向+由夹挤准则第二

2、章节公式1.导数的定义： 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0即f(x0).2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即kf(x0)3导函数(导数)当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y.4几种常见函数的导数(1)c0(c为常数)，(2)(xn)nxn1(nZ)，(3)(ax)axlna(a0,a1),(ex)ex(4)(lnx)，(logax)logae=(a0,a1)(5)(sinx)cosx，(6)(cosx)si

3、nx(7),(8)(9),(10)(11),(12)5函数的和、差、积、商的导数(uv)uv，(uv)uvuv，(ku)cu(k为常数)(uvw)uvwuvw+uvw微分公式： （1）(7),(8)(9),(10)(11),(12)6微分的四算运则d(uv)dudv，d(uv)vduudvd(ku)kdu(k为常数)洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。 7.导数的应用： =0的点为函数的驻点，求极值； (1)时，;,;(2)时，;,;(3);=0的点为函数的拐点，求凹凸区间； 第三章知识点概况不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不

4、定积分，记作，并称为积分符号，函数为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。 不定积分的性质： 基本积分公式： 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分，将被积表达式g(x)dx凑成2.作变量代换。令3.用公式积分，并用换式中的u常用的凑微分公式主要有： 分部积分法：适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分:(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而

5、与积分变量的字母无关，即应有（2）在定积分的定义中，我们假定a0，则事件B对事件A的条件概率为概率的乘法公式乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有事件的独立性一般地说,P(AB)P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(AB)P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。 定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为一维随机变

6、量及其概率分布（一）随机变量1.随机变量定义：设为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在上的随机变量，简记作。 2.离散型随机变量定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布1.分布函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。 分布函数F(x)有以下性质： （2）F(x)是x的不减函数，即对任意（4）F(x)是右连续的，即（5）对任意实数ab,有PaXb=F(b)-F(a)2.离散型随机变量的概率分布则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。 离

7、散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示： 3.分布函数与概率分布之间的关系若X为离散型随机变量，则。 随机变量的数字特征1.数学期望（1）数学期望的概念定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即（2）数学期望的性质若C为常数，则E(C)=C若a为常数，则E(aX)=aE(X)若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差（1）方差的概念定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量X，如果X的概率函

8、数为，则X的方差为（2）方差的性质若C为常数，则D(C)=0若a为常数，则若b为常数，则D(X+b)=D(X)1、数列极限的存在准则定理1.3（两面夹准则）若数列xn,yn,zn满足以下条件： （1），（2），则定理1.4若数列xn单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理。 （1）（2），（3）当时，3、当xx0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当xx0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 4、函数极限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理1.8（两面夹定理）设函数在点的

9、某个邻域内（可除外）满足条件： （1），（2），则有。 推论：（1）（2），（3）5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量； 特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理： 如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。 7、重要极限8、重要极限是指下面的公式：9、（2）（3）（4）10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 定理1.12（

10、四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）g（x）在x0处连续，（2）f（x）g（x）在x0处连续（3）若g（x0）0，则在x0处连续。 定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=fg（x）在x=x0处连续。 定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）闭区间上连续函数的性质在闭区间a，b上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1.

11、15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则f（x）必在a，b上有界。 定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在a，b上至少存在一个，使得f（）=C11、闭区间上连续函数的性质在闭区间a，b上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则f（x）必在a，b上有界。 定理1.16（最大值和最小值定理）

12、如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在a，b上至少存在一个，使得f（）=C12、推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）与f（b）异号，则在a，b内至少存在一个点，使得f（）=013、初等函数的连续性定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则f（x）在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在

13、该点的函数值即可。 14、可导与连续的关系定理2.1如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 15、由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 16、导数的计算1.基本初等函数的导数公式（1）（C）=0（2）（x）=x-1（3）（4）（5）（ax）=axlna（a0,a1）（6）（ex）=ex（7）（8）（9）（sinx）=cosx（10）（cosx）=-sinx（11）（12）（13）（secx）=secxtanx（14）（cscx）=-cscxcotx（15）（16）（17）（18）2.导数的四则运算法则设u=u（x），v=v（x）均为x的

14、可导函数，则有（1）（uv）=uv（2）（uv）=uv+uv（3）（cu）=cu（4）（5）（6）（uvw）=uvw+uvw+uvw3.复合函数求导法则如果u=（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=（x）处可导，则复合函数y=f（x）在点x处可导，且其导数为同理，如果y=f（u），u=（v），v=（x），则复合函数y=f（x）的导数为4.反函数求导法则如果x=（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数17、微分的计算dy=f(x)dx求微分dy只要求出导数f(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则： （1）

15、d（c）=0（c为常数）（2）（为任意实数）（6）d（ex）=exdx（7）d（sinx）=cosxdx（8）d（cosx）=-sinxdx（17）d（cu）=cdu18、微分形式不变性设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为dy=f(u)du19、常用的凑微分公式： 1）、，20、常用的换元类型有： 被积函数类型所用代换代换名称正弦代换正切代换根式代换21、定积分的基本性质（1）。（k为常数）。 （2）。 （3）。 （4）如果f（x）在区间a,b上总有f（x）g（x），则。 （5）（6）设M和m分别为f（x）在区间a,b上的最大值和最小值，则有（7）积分中值

16、定理如果f（x）在区间a,b上连续，则在区间a,b上至少存在一点，使得22、变上限定积分求导定理1.变上限定积分定义定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有2.变上限定积分求导定理定理如果函数f（x）在区间a,b上连续，则有推论，23、计算定积分1.牛顿莱布尼茨公式如果f(x)在区间a,b上的连续，且，则有推论：(1)若f(x)为奇函数，则(2)若f(x)为偶函数，则2、定积分的分部积分法24、定积分的应用1.计算平面图形的面积(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)g(x)和直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积A为。

17、 (2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(cd)，所围成的平面图形的面积A为。 2.旋转体的体积(1)X型由连续曲线y=f(x)(f(x)0)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积(2)Y型由连续曲线和直线y=c,y=d(c0,称29、概率的乘法公式，30、（1）数学期望的性质若C为常数，则E(C)=C，若a为常数，则E(aX)=aE(X)若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)（2）方差的性质若C为常数，则D(C)=0； 若a为常数，则若b为常数，则D(X+b)=D(X)； 第 7 页 共 7 页