2022年高考数学常用结论宝典最终版 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载陕西省高考数学公式及常用结论宝典函数反函数：若xxgf)(，则)()(1xgxf函数的单调性函数单调性的证明步骤：1，任取。2，求差。3，结论(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 .+ (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是

2、减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy是增函数 . 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;在对称区间上，奇函数的单调性相同，偶函数相反； ，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0; 若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 对 于 函 数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒 成 立 , 则 函 数)(xf的 对 称 轴

3、 是 函 数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称 ; 若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 (即奇数项 )的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 (即偶数项 )的系数全为零. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf

4、 x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x(即y轴)对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位

5、，得到曲线0),(byaxf的图象 . 互为反函数的两个函数的关系：abfbaf)()(1. 若函数)(bkxfy存在反函数 ,则其反函数为)(11bxfky,并不是)(1bkxfy,而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )fxcx,()( )( ),(1)f xyf xfyfc. (2)指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3)对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyfxf yf aaa. (4)幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x

6、 f yf. (5)余弦函数( )cosf xx,正弦函数( )sing xx，()( )( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f x af x( ( )0)f x, 则)(xf的周期 T=2a ；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)

7、(xf的周期 T=4a ；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a ；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 二次函数二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2)顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3)零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 一元二次方程的实根分布若()( )0f m f n，则方程0)(xf在区间(, )m n内至少有一个实根.

8、 设qpxxxf2)(，则（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm；（2）方程0)(xf在区间(, )m n内有根的充要条件为()( )0f m f n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载或2()0( )0402f mf npqpmn或()0( )0f maf n或( )0()0f naf m；（3）方程0)(xf在区间(, )n内有根的充要条件为()0f m或2402pqpm. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1) 在给定区间),(的子区间L（

9、形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式( , )0f x t(t为参数 )恒成立的充要条件是min( , )0()f x txL. (2) 在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式( , )0f x t(t为参数 )恒成立的充要条件是( , )0()manf x txL. (3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，若240bac,则21,242bbacxa; 若240bac,则122bxxa; 若240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bb

10、ac ixbaca根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 有理指数幂的运算性质(1) (0 ,)rsrsaaaarsQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a 0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN (0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N)

11、. 对数的四则运算法则若 a0，a 1，M0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN;(2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载集合与简易逻辑元素与集合的关系：UxAxC A,UxC AxA. 德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 包含关系：ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR容斥原理()()card ABcardAcardBcardAB()car

12、d ABCcardAcardBcardC()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n 1 个； 非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个 . 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有 （1n）个小于不小于至多有n个至少有 （1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.

13、数列若数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. qpnmqpnmaaaaaaaaqpnm等比数列等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqnaq或11,11,1

14、nnaa qqqsna q. 等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq. 常用求和公式2)1(321nnn2)12(7531nn) 12)(1(613212222nnnn233332)1(321nnn三角函数常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) | sin|cos| 1xx. 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=coss

15、in，tan1cot. 和角与差角公式s i n ()s i nc o sc o ss; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba). 半角正余切公式：sinsintan,cot21cos1cos二倍角公式sin22sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载三角函数的周期公式函数

16、sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且A0， 0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0， 0)的周期T. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 余弦定理2222cosabcbcA; 2222c o sbcac aB; 2222coscababC. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、 b、 c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. （3）221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 三角形内角和定理在 ABC 中，有()ABCCAB222CAB

17、222()CAB. 在三角形中有下列恒等式：sin()sinABC角的变形：2()()2()()()向量实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：( a )=( )a ; (2)第一分配律：( + )a = a + a; (3)第二分配律： (a +b)= a + b . 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a（交换律） ; (2)（a） b= （ab ）=ab = a （b）; (3)（a+b ） c= a c +b c.平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a= 1e1+2e2不共线的向

18、量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 向量平行的坐标表示设 a =11(,)xy,b =22(,)xy，且 b0，则 a 平行 b(b0)12210 x yx y.a与 b 的数量积 (或内积 )：a b=|a|b |cosab 的几何意义数量积a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos的乘积平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)xy,b =22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2)设 a=11(,)xy,b =22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)xy， B22(,)xy,则21

19、21(,)ABOBOAxx yy. (4)设 a=( ,),x yR，则a=(,)xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(5) 设 a =11(,)xy,b =22(,)xy，则 a b=1212()x xy y. 两向量的夹角 公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b =22(,)xy). 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 向量的平行与垂直设 a=11(,)x y,b

20、=22(,)xy，且 b0，则 a |bb = a 12210 x yx y. ab(a0)ab= 012120 x xy y. 线段的定比分公式设111(,)P xy，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. 三角形的重心坐标公式ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y)、33C(x ,y), 则 ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP. 注:图形 F上的任意一点

21、P(x，y)在平移后图形F上的对应点为(,)P xy，且PP的坐标为( , )h k. “按向量平移”的几个结论（1）点( , )P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)Pxh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量 a =( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量 a =( , )h k平移后得到图象C,若C的解析式( )yf x, 则C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲线C:( ,)0f x y按向量 a =( , )h k平移后得到图象C,则C的方程为(,)0f xh yk. (5) 向量 m =(

22、,)x y按向量 a=( ,)h k平移后得到的向量仍然为m =( ,)x y. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载不等式常用不等式：（1）,a bR222a

23、bab(当且仅当a b 时取“ =”号 )（2）,a bR2abab(当且仅当a b 时取“ =”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5）bababa. 极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积xy是定值 ,则当|yx最大时 ,|yx最大；当|yx最小时 ,|yx最小 . （2）若和|yx是定值 ,则当|yx最大时 , | x

24、y最小；当|yx最小时 , | xy最大 . 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号， 则其解集在两根之间.简言之： 同号两根之外，异号两根之间 . 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 75.无理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x.（2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf

25、xf xg xg xg xf xg x或. （3）2( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x. 指数不等式与对数不等式(1)当1a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ()0l o g()l o g()()0()()aaf xfxg xg xf xg x. (2)当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀

26、学习资料欢迎下载解析几何斜率公式2121yykxx（111(,)P xy、222(,)Pxy）.k=tan ( 为直线倾斜角）直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx(直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)P xy(12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0). 两条直线的平行和垂直(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,

27、llkkbb; 12121llk k. (2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；两直线垂直的充要条件是12120A AB B；即：12ll12120A AB B夹角公式(1)2121tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) (2)12211212tan|A BA BA AB B.(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与l2的夹角是2. 1l到2l的角公式(1)2121tan

28、1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) (2)12211212tanA BA BA AB B.(1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1到l2的角是2. 四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程： 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数 ; 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2) 共点直线系方程：经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC的

29、交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而 b 变动时， 表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4) 垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线0AxByC(A 0 ， B 0) 垂 直 的 直 线 系 方 程 是0BxAy,是参变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxBy

30、C). 圆圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程cossinxarybr. （ 4 ） 圆 的 直 径 式 方 程1212() ()()()0 xxxxyyyy( 圆 的 直 径 的 端 点 是11(,)A xy、22(,)B xy). 圆系方程(1)过点11(,)A xy,22(,)B xy的圆系方程是1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中0axbyc是直线AB的方程 ,是待定的

31、系数(2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ; dr点P在圆上 ; dr点P在圆内 . 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 1，0相离rd; 2，0相切

32、rd; 3，0相交rd.其中22BACBbAad. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载椭圆椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式1PFaex，2PFaex,12,F F 分别为左右焦点焦点三角形：

33、P为椭圆22221(0)xyabab上一点，则三角形12PFF的面积 S=212tan;2PF Fb特别地，若12,PFPF此三角形面积为2b；在椭圆22221(0)xyabab上存在点P，使12PFPF的条件是c b, 即椭圆的离心率e 的范围是2,1)2；椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆2222

34、1(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.双曲线双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| ()|aPFe xc，22| () |aPFexc. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线

35、方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 双曲线的切线方程(1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221

36、x xy yab. （3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值）抛物线焦点与半径22(0),(,0),;44(0),(),;44aayax axaaay a抛物线焦点是准线抛物线 x焦点是 0,准线 y焦半径公式抛物线22(0)ypx p，C 00(,)xy为抛物线上一点，焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122.对焦点在y 轴上的抛物线有类似结论。设点方法抛物线pxy22上的动点可设为P200(,)2yyp或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中2002ypx.

37、二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya. 抛物线的内外部(1)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p

38、的内部22(0)xpy p. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y y

39、p xx. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 过抛物线pxy22（p0)的焦点F的直线与抛物线相交于2211221212(,)(,),4,1(4A xy B xyy ypx xpOOAOB则有即k.K=-为原点 ) 22112212121(,)(,),4,(4A xy B xyy ypx xpOOAOB则有即k.K=-为原点 ) ;圆锥曲线共性问题两个常见的曲线系方程(1) 过曲线1( ,)0fx y,2( ,)0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数 ). (2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xya

40、kbk,其中22max,kab.当22min,kab时,表示椭圆 ; 当2222min,max,abkab时,表示双曲线 . 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx由方程0)y, x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率） . 涉及到曲线上的点 A， B 及线段AB 的中点M 的关系时，可以利用“点差法：，比如在椭圆中：112222112222222222012122212120(,),(,),M(0,0),:1(1)

41、1(2)(1)(2)()()AxyBxyxyxyabxyabxyyxxbbxxyyaya中点则有圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. “四线”一方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0

42、y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 立体几何1证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4证

43、明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a b =ba (2) 加法结合律：(a b )c =a (b c )

44、(3)数乘分配律： (a b )= a b 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 9.共线向量定理对空间任意两个向量a、b (b0 )，ab存在实数使 a = b PAB、 、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB. |ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线 . 10.共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量a 、b 共面的存在实数对, x y,使paxby精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

45、 - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载推论空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对, x y,使MPxMAyMB，或对空间任一定点O，有序实数对,x y，使OPOMxMAyMB. 11. 对空间任一点O和不共线的三点A、 B、 C ，满足OPxOAyOBzOC（xyzk） ， 则当1k时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、 C 四点共面；当1k时，若O平面 ABC ，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC ，则 P、A、B、C 四点不共面 CAB、 、 、D四点共面AD与AB、AC共面ADx AByAC(1)ODxy OAxOByOC（O平面 ABC

46、 ） . 12. 空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p xa yb zc 推论设 O 、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC. 13. 射影公式已知向量AB=a和轴l，e 是l上与l同方向的单位向量.作 A 点在l上的射影A，作 B 点在l上的射影B，则| cosA BABa， e=ae 14. 向量的直角坐标运算设a123(,)a aa，b123(,)b b b则(1)a b112233(,)ab abab；(2)a b112233(,)ab

47、 abab；(3) a123(,)aaa( R)；(4)a b1 12233a ba ba b；14. 设 A111(,)x yz，B222(,)xyz，则ABOBOA= 212121(,)xx yyzz. 15. 夹角公式设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则 cos a，b =1 12233222222123123aba ba baaabbb. 推论22222221 12233123123()()()a ba ba baaabbb，此即三维柯西不等式. 16. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则2222|()() |cos2ABCDBCDAAC

48、 BD. 17. 直线AB与平面所成角sin|AB marcAB m(m为平面的法向量 ). 18. 空间两点间的距离公式若 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 19. 点Q到直线l距离221(|)()|haba ba(点P在直线l上，直线l的方向向量a =PA，向量 b=PQ). 20异面直线间的距离|CD ndn(12,ll是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,ll间的距离 ). 21. 点B到平面的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

49、- - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 22. 异面直线上两点距离公式2222cosdhmnmn. 2222cos,dhmnmnEAAF. 2222cosdhmnmn（EAAF）. (两条异面直线a 、b 所成的角为，其公垂线段AA的长度为h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F，A Em,AFn,EFd). 23. 球的半径是R，则其体积343VR,其表面积24SR24. 球的组合体(1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体:正方体的内切球

50、的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a. 25柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高） .13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高） . 排列组合分类计数原理（加法原理）：12nNmmm. 分步计数原理（乘法原理 ） ：12nNmmm. 排列数公式：mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)注 :规定1! 0. 排列恒等式(1）1(1)mmnnAnmA; （2）1mmnnn