2022年高一数学知识点总结--必修5.docx

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1、精选word文档 下载可编辑高一数学知识点总结-必修5高中数学必修5知识点第一章解三角形1、正弦定理在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有asinbsina2RcsinC2R2、正弦定理的变形公式a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）a:b:csin:sin:sinC；abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin222abc3、三角形面积公式SC4、余定理在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，cab2abcosC222

2、5、余弦定理的推论cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab2226、设a、b、c是C的角、C的对边，则若a2b2c2，则C90为直角三角形；若a2b2c2，则C90为锐角三角形；若a2b2c2，则C90为钝角三角形第二章数列1、数列按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项数列中的每一个数3、有穷数列项数有限的数列4、无穷数列项数无限的数列5、递增数列从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列各项相等的数列8、摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式表示数列

3、an的第n项与序号n之间的关系的公式10、数列的递推公式表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项若bac2，则称b为a与c的等差中项13、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d第1页共6页通项公式的变形anamnmd；a1ann1d；ddanamnmana1n1；nana1d1；14、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等

4、差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式Snna1an2；Snna1nn12d16、等差数列的前n项和的性质若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若G2

5、ab，则称G为a与b的等比中项n119、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qnm20、通项公式的变形anamq；a1anqn1；qn1ana1；qnmanam*21、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数*列，且2npq（n、p、q），则anapaq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m2项和构成的数列成等比数列。na1q122、等比数列an的前n项和的公式Sna11qnaaq1nq11q1qq1时，Sna11qa11qq，即常数项与q项系数互为相反数。nn23、等比数列的前n项和的性质若项数为2nn*，则SS偶奇qnSnmSnqS

6、mSn，S2nSn，S3nS2n成等比数列第2页共6页24、an与Sn的关系anSnSn1S1n2n1一些方法一、求通项公式的方法1、由数列的前几项求通项公式待定系数法若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb，列两个方程求解；若相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc，列三个方程求解；若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaq2、由递推公式求通项公式若化简后为an1and形式，可用等差数列的通项公式代入求解；若化简后为an1anf(n),形式，可用叠加法求解；若化简后为an1anq形式，可用等比数列的通项公式代入求解；若化简后为an1kanb形式，则可化为(an1x)k(anx

7、)，从而新数列anx是等比数列，用等比数列求解anx的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式a1S1anSnSn1检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。4、其他（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法迭加；例如anan1n1有anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q为相除后的常数，列两个方程求解；n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，构造倒数为等差数列；anan1anan121an1例如anan12anan1，则1，即为以-2为公差的等差数列。anan1（3

8、）anqan1m形式，q1，方法构造anxqan1x为等比数列；例如an2an12，通过待定系数法求得an22an12，即an2等比，公比为2。（4）anqan1pnr形式构造anxnyqan1xn1y为等比数列；nn（5）anqan1p形式，同除p，转化为上面的几种情况进行构造；第3页共6页因为anqan1pn，则anpnqan1ppn11，若qp1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法二、等差数列的求和最值问题（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若若ak0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1a10a10ak0，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

9、d0a0k1三、数列求和的方法叠加法倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如an2n13；n分式时拆项累加相约法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如an1nn11n1n1，an12n12n1111等；22n12n1一项内含有多部分的拆开分别求和法适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如an2n1等；n四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和aq类型，这样可以相乘约掉。第三章不等式1

10、、ab0ab；ab0ab；ab0ab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；ab0,cd0acbd；ab0abab0nnnn,n1；anbn,n13、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式第4页共6页4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系判别式b4ac201*二次函数yaxbxc2a0的图象有两个相异实数根一元二次方程axbxc02有两个相等实数根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2

11、ax1x2b2a没有实数根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx25、二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式6、二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示

12、直线xyC0下方的区域若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域10、线性约束条件由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的解x,y第5页共6页可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设a、b是两个正数，则ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数212、均值不等式定理若a0，b0，则ab2ab，即ab2a

13、b13、常用的基本不等式a2b22aba,bR；22abab2a,bR；abab2a2b2ab22a0,b0；22a,bR14、极值定理设x、y都为正数，则有s（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s2若xy4若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p第6页共6页扩展阅读高中数学必修5知识点总结(精品)必修5知识点总结1、正弦定理在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有asinbsincsinC2R2、正弦定理的变形公式a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；sina2R，sinb2R，sinCabsinc2R；a:b:csin:sin:sinC；c

14、sinCabcsinsinsinCsin（正弦定理主要用来解决两类问题1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是数形结合思想画出图法一把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二是算出CD=bsinA,看a的情况当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45(A、B、C、D在同一

15、平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附三角形的五个“心”；重心三角形三条中线交点.外心三角形三边垂直平分线相交于一点.内心三角形三内角的平分线相交于一点.垂心三角形三边上的高相交于一点.7、数列按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项数列中的每一个数9、有穷数列项数有限的数列10、无穷数列项数无限的数列11、递增数列从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即an+1an）12、递减数列从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即an+1nana1d1；danamnm21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p

16、、q*），则2anapaq22、等差数列的前n项和的公式Snna1an2；Snna1nn12dsna1a2an23、等差数列的前n项和的性质若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1S奇S偶nn1若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）（其中S奇nan，24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示an1anq（注等比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号）注看数列是不是等比数列有以下四种方法2anan1q(n2,q为常数,且0)anan1an1(

17、n2，anan1an10)ancqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列.25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若Gab，22则称G为a与b的等比中项（注由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）2n126、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q27、通项公式的变形anamqnm；a1anqn1；qn1ana1；qnmanam*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则anapaqna1q129、等比数

18、列an的前n项和的公式Sna1qnaaqsn1n1q11q1q2a1a2an30、对任意的数列an的前n项和Sn与通项an的关系ans1a1(n1)snsn1(n2)注ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为0，则是等差数列充分条件）.等差an前n项和Sndddd22AnBnna1n222可以为零也可不为零为等差的充要条件若为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附几种常见的数列的思想方法等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定

19、使Sn取最大值时的n值，有两种方法d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题1、等差数列分析因为中，则.是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成

20、直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题2、等差数列中，前n项和为，若，n为何值时最大？分析等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大。最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，例题3递增数列，对任意正整数n，递增得到恒成立，设恒成立，求恒成立，即，则只需求出。，因为是递的最大值即分析构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然有最大值对一切对于一切，所以看成函数的取值范围是构造二次函数，它的定义域是增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数

21、f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，得如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法错位相减求和.例如112,314,.(2n1)12n,.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证2an

22、1anan2(an1anan2)nN都成立。2am0在等差数列an中,有关Sn的最值问题(1)当a10,d把式两边同乘2后得2sn=122232n2234n1用-，即123nsn=122232n22sn=122232n2234n1得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n122n2n1n1(1n)22sn(n1)2n12倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.常用结论1）:1+2+3+.+n=n(n1)2212）1+3+5+.+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）1n(n1)1n1n11n(n2)1pq111()

23、2nn21qp1p1q6）()(pq)31、ab0ab；ab0ab；ab0ab32、不等式的性质abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；nd0acabdb0a；ab0nnbn,n1；anbn,n133、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)解法将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“由图可看出

24、不等式x23x26x80的解集为x|2x1,或x4(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。例题求解不等式解略一元二次不等式的求解特例一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论.二次函数yax22000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)f(

25、x)例题求解不等式解略例题求不等式xx111的解集。含绝对值不等式的解法基本形式型如|x|a(a0)的不等式的解集为x|axa型如|x|a(a0)的不等式的解集为x|xa,或xa变型其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为x2x292x9(x2)(x3)102x2由得原不等式的解集为x|112x9（注是把的解集并在一起）2y函数图像法令f(x)|x2|x3|2x1(x3)则有f(x)5(3x2)2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为x|x一元二次方程

26、ax2+bx+c=0(a0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么0若两根都大于0，即0,0，则有00o对称轴x=b2ax0b0若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y11对称轴x=b2aox若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0若两根在两实数m,n之间，即mn，0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx若两个根在三个实数之间，即mtn，yf(m)0则有f(t)0f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数例如若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。4(

27、m1)24(m22m3)00m1m1m3解由型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。又如方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。55220m(1)4(m1)02解因为有两个不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的

28、点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0（一）由B确定若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域（二）由A的符号来确定先把x的系数A化为正后，看不等号方向若是“”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。若是“线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的解x,y可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得

29、最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数ab2ab42、均值不等式定理若a0，b0，则ab2ab，即43、常用的基本不等式ab2aba,bR；ab222ab222a,bR；abab2a0,b0；2ab222ab2a,bR44、极值定理设x、y都为正数，则有若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s42若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题已知x解x5454p14x5，求函数f(x)4x2的最大值。，4x50由原式可以化为f(x)4x55214x5(54x)154x3(54x)154x3(54x)154x3132当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号也就是说当x1时有f(x)max2友情提示本文中关于高一数学知识点总结-必修5给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高一数学知识点总结-必修5该篇文章建议您自主创作。