2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷.doc

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1、2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷考试时间：2005年9月11日上午8：0010：30一、 选择题：每题6分，满分36分1、设函数的定义域为R，且对任意实数，则的最大值为（ ）A 0 B C D 12、实数列定义为则的值为（ ）A 3 B -4 C 3或-4 D 83、正四面体ABCD的棱长为1，E是ABC内一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x，点E到平面DAB,DBC,DCA的距离之和为y，则等于（ ）A 1 B C D 4、数列满足如下条件：对于比其余99个数的和小k，已知，m，n是互质的正整数，则m+n等于（ ）A 50 B 100 C 165 D 1735、若，则等于（

2、 ）A B C D 16、P为椭圆在第一象限上的动点，过点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则的最小值为（ ）A B C D 二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数满足则 .8、设S是集合1，2，15的一个非空子集，若正整数n满足：，则称n是子集S的模范数，这里|S|表示集合S中元素的个数。对集合1，2，15的所有非空子集S，模范数的个数之和为 .9、对于，当取得最大值时，x .10、函数满足：对任意实数x,y，都有，则 .11、正四面体ABCD的体积为1，O为为其中心. 正四面体与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的

3、体积为 .12、在双曲线xy1上，横坐标为的点为，横坐标为的点为.记坐标为（1，1）的点为M，是三角形的外心，则 .三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC的内心为I，ACBC，内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，连结CD与内切圆的另一个交点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证：（1）；（2）14、设是正整数，关于x的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值.15、设集合A和B都是由正整数组成的集合，|A|10，|B|9，并且集合A满足如下条件：若，则.令求证：|A+B|50. （|X|表示集合X的元素个数）2005年全国高中数学联赛福建赛区

4、预赛试卷参考答案1、D 由，知，所以，当时，等号成立.故的最大值为1.2、A 设，则，故，（-4舍去）所以.3、D 点E到边AB,BC,CA的距离之和就是ABC的高，即为，故，又，即，这里的h是正四面体的高，点E到平面DAB,DBC,DCA的距离，于是，所以，于是4、D 设，则，对k求和得，所以，于是，故m+n1735、B 把两个式子分别平方相加得 把两个式子相乘得所以，即6、C 设，则直线AB的方程为，故，当，即点P为时等号成立。7、14 把三个式子相加得：即得8、 只要找出，对每个n有多少集合，使得n是模范数，再关于n求和即可.若n是S的一个模范数，S含有k个元素，则又. S的其他个元素有

5、种取法，故n为模范数时，共有个.当n1，2，13，模范数的总数为，故所以对集合1，2，15的所有非空子集S，模范数的个数之和为9、 我们考虑的最大值，这里是正整数，满足，后者即，代入得，取，由均值不等式得：，当且仅当时等号成立.所以，的最大值是.10、39 取xy0，得若，令y0，可得，代入原式知不符合；若，解得，代入检验知满足题意，所以11、 若将A-BCD放在一个水平面上，易知其中心到点A的距离是A到底面距离的，所以反射的对称面是距离A为A到底面距离的水平面.因此，它割A点所在的小正四面体是原正四面体缩小.同样，对B、C、D三点处所切割的正四面体也是原正四面体的，当我们在原正四面体中切割掉

6、这四个小正四面体后，即得到两个正四面体的公共部分体积为。.12、 易得，所以故是以为底边的等腰三角形，且底边所在直线的斜率为1.因为M在直线yx上，所以底边的中垂线方程为yx，由此因为的中点为， ，所以外心在直线上，由此得于是.13、证明（1）在直角三角形CEI中，由射影定理可得：所以，又，故CDIDSI. 10分（2）因为D、I、M、G四点共圆，并且由（1）得ISDIDCIMD，所以点S在四边形DIMG的外接圆上，故GSIGMI90，即GSCI 20分14、解：设方程的两实数实数根为x1，x2，由韦达定理知，x1，x2均为负数，由，得，所以，得故.又，所以， 5分（1）当b7时，由及得，或12，c1，但方程及的根不满足条件. 10分（2）当b8时，由及得，故由，得，易知为增函数，而，故，此时，而方程的两根满足条件。 15分（3）当时，于是，若，则只能，此时方程的根不满足条件.终上所述，的最小值是25.15.证明：考虑一般的情形，设，对任意的，设有种方式表示为的形式，其中，即显然有 5分对任意的，考虑集合，则有个这样的集合，对于共有个集合，下面证明这些集合是两两不同的.若不然，则存在及，使得，其中，从而，由题设知，.若，不可能；若，也不可能。从而 10分，由柯西不等式 15分所以即，当m10，n9时，.20分