【状元之路】2021-2021学年高中数学 数学归纳法证明不等式单元测评 新人教A版选修4-5.doc

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1、单元测评(四)数学归纳法证明不等式(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”时，在验证当n1成立时，左边计算所得的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3解析：由于等式左边当n1时，幂指数的最大值为112，所以左边计算结果为1aa2.答案：C2满足122334n(n1)3n23n2的自然数n()A1 B1或2C1,2,3 D1,2,3,4解析：经验证当n1,2,3时均正确，但当n4时，左边1223344540，而右边34234238，故选C.答案：C3用数学归纳法证明“2nn21对于n

2、n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5D6解析：当n4时，2nn21；当n5时，2nn21.于是n0应取5.答案：C4用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析：原不等式可化为，即2，即2，所以2，即，即.故262n1，即n16，故n7，所以n最小取8.答案：B5用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数n应为()An1 Bn2Cn1,2 D以上答案均不正确答案：A6若命题P(n)对nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()AP(n)

3、对所有正整数n成立BP(n)对所有正偶数n成立CP(n)对所有正奇数n成立DP(n)对所有比1大的自然数n成立答案：B7利用数学归纳法证明(n2，nN*)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边()A增加了一项B增加了两项和C增加了一项，并减少了D增加了两项和，并减少了答案：D8用数学归纳法证明“Sn1(nN*)”时，S1等于()A. B.C. D以上答案均不正确答案：C9用数学归纳法证明coscos3cos(2n1)(kZ*，k，nN*)，在验证n1时，左边计算所得的项是()A. B.cosC.coscos3 Dcos答案：B10设平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设

4、k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系为()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2答案：C第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11数列an中，a11，且Sn、Sn1、2S1成等差数列，则S2、S3、S4分别为_，猜想Sn_.答案：、12用数学归纳法证明123n2，则nk1时，左端应在nk时的基础上加上_答案：(k21)(k22)(k23)(k1)213已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明“f(2n)”时，f(2k1)f(2k)_.答案：14用数学归纳法证明“n35n能被6整除

5、”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_答案：(k35k)3k(k1)6三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设nk(kN，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nN，命题

6、成立(12分)16(12分)求证：(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，且kN*)时命题成立即.当nk1时，从而当nk1时不等式也成立由(1)、(2)知，原不等式对一切n2，nN*均成立(12分)17(12分)用计算、归纳猜想、证明法求数列，的前n项之和Sn.解：观察数列知，S1，S2，S3，由以上推导可猜想：.(4分)证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立；(2)假设nk时等式成立，即.当nk1时，.这就是说，当nk1时，等式成立根据(1)、(2)知，等式对于任何nN*都成立(12分)18(14分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b1010

7、0.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项anlg，记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn1的大小，并证明你的结论解：(1)设数列bn的公差为d，由题意，得解得从而bn2n1.(4分)(2)由bn2n1，知Snlg(11)lg(1)lglg，lgbn1lg.因此要比较Sn与lgbn1的大小，可先比较(11)与的大小取n1，有(11) ；取n2，有(11) ，由此推测(11).若式成立，则由对数函数性质可断定Snlgbn1.(6分)下面用数学归纳法证明式()当n1时，已验证式成立()假设当nk(k1)时，式成立，即(11) .当nk1时，(11)(2k2)220，(2k2).因而(11).这就是说式当nk1时也成立由()、()知式对任何正整数n都成立由此证得Snlgbn1.(14分)5