2022版高考数学一轮总复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量基本定理及坐标表示学案含解析.doc

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1、平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向

2、量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0，b0，a，b共线x1y2x2y10.1若a与b不共线，且ab0，则0.2已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.3已知ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的

3、表示是相同的()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)Da(1,1)，b(1，1)，a，b，ab(1,2)，故选D.2若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A(2,2) B(3，1)C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1)D由题意可知(3，3)若，则P点坐标为(2,2)；若，则P点坐标为(3,1)，故选D.3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则

4、_.由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.4已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得 考点一平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理典例1如图，已知在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于

5、点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，2ab.所以(2)abx.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故.点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助及向量的合成与分解的相关知识求得的值如果是小题，本题可以直接设x(1x)，利用及同基底下向量表示的唯一性求得.1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce

6、1e2与e1e2 De13e2与6e22e1D选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量故选D.2(2020三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：2；，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()A BC DB由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得uv成立，且uv1.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足uv，且u0，v0，uv1.121，点P位于阴影区域内

7、，故正确；同理正确；而错误故选B. 考点二平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解典例2(1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若cab(，R)，则()A1 B2C3 D4(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，求3ab3c；求M，N的坐标及向量的坐标(1)D以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab(，R

8、)，解得2，.4.(2)解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等1在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(2,0)，(2，3)，则点D的坐标为()A(6,1) B(6，1)C

9、(0，3) D(0,3)A(3，2)，(5，1)，则D(6,1)故选A.2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则_.方法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则，(1,1)，解得.方法二：由，得，又，解得. 考点三向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)利用向量共线求参数典例31已知a(1,0)，b(2,1)(1)

10、当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.点评：熟记两向量a，b共线的条件是求解此类问题的关键所在利用向量共线求向量或点的坐标典例32已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_(3,3)方法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)

11、，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二：设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)点评：本例中“AC与OB的交点为P”，实际上变相告知“A，P，C三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可1已知向量a(1,3)，b，若c为单位向量，且c(a2b)，则c()A.或B.或C.或D.或B由题意可知a2b(3,4)，又c(a2b)，c(3

12、,4)，即c(3，4)又|c|1，5|1，即c或，故选B.2(2020北师大附中模拟)已知向量a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点，若a，则点B的坐标为_(3，6)设B(x,2x)，则(x3,2x)a，x32x，即x3.B(3，6)备考技法3共线定理的推广及应用平面向量的等和线由平面向量基本定理，当点P不在直线AB上时，可以过点P作直线AB的平行线，且与OA，OB所在的直线分别交于M，N两点，则由三点P，M，N共线，不难得出：xy，且xy1，又由平行线分线段成比例定理，得：k，k，则xykxky，即kx，ky，故k(xy)k.把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线等和线

13、的相关结论(1)当等和线恰为直线AB时，k1；(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k(1，)；(4)当等和线过点O时，k0；(5)若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数.(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C D2A如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，此时3，故选A.评析应用等和线解题的步骤(1)求k1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或者点的位置两个角度，计

14、算最大值和最小值1.如图，在正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设(，R)，则的取值范围是_3,4当P在CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以3,42.如图，在扇形OAB中，AOB，C为弧AB上的动点，若xy，则x3y的取值范围是_1,3x3y，如图，作，则考虑以向量，为基底显然，当C在A点时，经过m1的平行线，当C在B点时，经过m3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x3y的取值范围是1,33如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量mn(m，n为实数)，则mn的取值范围是()A(1,2B5,6C2,5 D3,5C随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)设mn，由等和线结论，mn2.此为mn的最小值设mn，由等和线结论，mn5.此为mn的最大值综上可知，mn2,511