2022高中数学 2-1 第1课时正弦定理同步导学案 北师大版必修5.doc
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1、第二章解 三 角 形本章概述课程目标1.双基目标(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标(1)通过对任意三角形边角关系的研究,培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.(2)通过解决一些实际问题,培养同学们的数学应用意识,激发同学们学习数学的兴趣,感受到数学知识既来源于生活,又服务于生活.(3)正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面,同学们借助技术手段,从事一些富有探索性和创造
2、性的数学活动,可以培养同学们的探索精神和创新精神;另一方面,借助计算器可以解决计算量大的问题,也可以根据实际需要进行近似计算,有利于激发同学们学习数学的兴趣.重点难点重点:运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点:正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.方法探究1.注重知识形成的过程,通过从特殊到一般,再从一般到特殊的过程,引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究,从而养成良好的学习习惯.2.注重数学与日常生活及其他学科的联系,发展数学应用意识,提高实践能力.3.学习本章应注意的问题(1)重视数学思想方法的运用.解
3、三角形作为几何度量问题,要突出几何背景,注意数形结合思想的运用,具体解题时, 要注意函数与方程思想的运用.(2)加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系,将新知识融入已有的知识体系,从而提高综合运用知识的能力.(3)提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题,关键是读懂题意,找出量与量之间的关系,根据题意作出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.1正弦定理与余弦定理第1课时正 弦 定 理知能目标解读1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究,发现正弦定理,并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.2.掌握
4、用向量法证明正弦定理的方法,并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点:正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点:已知三角形的两边和其中一边的对角,判定三角形解的情况.学习方法指导一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知,正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明,教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外,还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一:建立直角坐标系,借助三角函数的定
5、义进行证明.在如图所示的直角坐标系中,点B,C的坐标分别是B(ccosA,csinA),C(b,0).于是SABC=bcsinA.同理SABC还可以表示成absinC和acsinB.从而可得=.方法二:如图所示:当ABC为锐角三角形时,设边AB上的高为CD,根据三角函数的定义,有CD=bsinA,CD=asinB,所以bsinA=asinB,即;同理可得=.所以.如下图所示,当ABC为钝角三角形时,设A为钝角,AB边上的高为CD,则CD=asinB,CD=bsin(180A)=bsinA.所以asinB=bsinA,即;同理.所以.当ABC为直角三角形时,上式也成立.方法三:如下图所示:过A作
6、单位向量j垂直于.由+=,两边同乘以单位向量j,得j(+)=.则j+j=j.j|cos90+|cos(90-C)=| j|cos(90-A).asinC=csinA.=.同理,过C作j垂直于,得=,=.二、利用正弦定理解三角形的类型(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解,在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:.A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAabbsinAababab解的个数一解两解无解一解无解三、三角形常用面积公式(1)S=aha(ha表示边a上的高);(2)S=absinC=bcsinA=a
7、csinB; (3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).四、应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律,是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系.2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题:一类是已知两角和任一边,求其他两边和一角;另一类是已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角.3.解题时,要注意“三角形内角和为180”、“在一个三角形中,大边对大角”等平面几何性质的运用.4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用,在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用.知能自主梳理正弦定理在一个三角形
8、中,各边和它所对角的相等,即=.答案正弦的比思路方法技巧命题方向正弦定理的理解例1有关正弦定理的叙述:正弦定理只适用于锐角三角形;正弦定理不适用于直角三角形;在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;在ABC中,sinA:sinB:sinC=a:b:c.其中正确的序号是.分析紧扣正弦定理进行推理判断.答案解析正弦定理适用于任意三角形,故均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故正确;由比例性质和正弦定理可推知正确.说明公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要.变式应用1满足sinA:sinB:sinC=1:2:3的ABC是否存在? 解析假
9、设满足条件的ABC存在,并设内角A,B,C的对边分别是a,b,c.则由正弦定理知.又sinA:sinB: sinC=1:2:3,a:b:c=1:2:3.则,=2a,c=3a,a+b=c.与三角形中两边之和大于第三边矛盾.故满足sinA:sinB:sinC=1:2:3的ABC不存在.命题方向正弦定理的应用例2在ABC中,已知A=45,B=30,c=10,求b.分析先利用三角形内角和定理求角C,再利用正弦定理求边b.解析A+B+C=180,C=105,sin105 =sin(45+60)(+)=,b=c=5().说明本题属于已知两角与一边求解三角形的类型,此类问题的基本解法是:(1)若所给边是已知
10、角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边;(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.变式应用2已知ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=c=+,且A=75,则b=()A.2B. C.4-2.4+2答案A解析由a=c=可知,C=A75,B=30,sinB=.又sinA=sin75=sin(30+45) =sin30cos45+cos30sin45=+=.由正弦定理,得b=故选A.例3(2012儋州高二检测)在ABC中,a=1, b=,A=30,求边c的长.分析由正弦定理求sinB判断B的
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