2022高中数学 3-1 不等关系同步导学案 北师大版必修5.doc

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1、第三章不等式本章概述课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些

2、简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二

3、次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式 (a0,b0)和a2+b22ab(aR,bR)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固

4、定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.1 等 关 系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数

5、学符号“”、“”、“”、“”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“”、“”、“”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式ab，表示的是ab或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如33就是33或33，尽管3b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或ab或a”、“b”、“ab；如果a-b是负数，那么a0ab;a-b=0a=b;a-b0ab,abbb,bcac.(3)aba+cb+c.推论ab,cda+cb+d

6、.(4)ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd;推论2ab,ab0b0anbn(nN,且n1).(5)ab0 (nN,且n1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,bR，则a-b0;a-b=0;a-bb,bc;(2)ab,c0;(3)ab,cb,cd;(5)ab0,cd0;(6)ab0,nN+,n1.答案1.不等

7、号2.aba=bac(2)acbc(3)acb+d(5)acbd(6)anbn, 思路方法技巧命题方向比较大小例1已知x1,比较x3-1与2x2-2x的大小.分析作差因式分解变形判断符号解析x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1) 2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)（x-）2+x1,x-10,(x-1)（x-）20,x3-1Q,求实数a,b应满足的条件.解析P-Qa2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2) 2PQ,(ab-1) 2+(a+2) 20ab1或a-2.故实数a、b应满足的条件是ab

8、1或a-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系例2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析利用提价后的价格x表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.解析杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8-0.2）x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-0.2）x20.说明决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲

9、种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.解析每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g；（2）咖啡的总使用量不大于2000g；（3）糖的总使用量不大于3000g；（4）x,y为自然数.x,y满足不等式组：9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,xN,yN.命题方向不等式性质的简单应用例3对于实数a、b、c，有下列命题若ab,则acbc;若ac2b

10、c2,则ab;若ababb2;若cab0;则;若ab, ,则a0,bbc2知c0,所以c20,所以ab,故该命题是真命题.ab aab, abb2.所以a2abb2故该命题为真命题.a0 bb-a-bc-aa,所以c-a0.所以0c-a0.又因为ab0,所以.故该命题为真命题.aba-b0, .因为a-b0,所以b-a0.所以abb,所以a0,b0ab（）（2）ab且cdacbd（）（3）ab0且cd0（）（4）ab（）答案解析（1） 当a0时，此式成立，推不出ab，(1)错；（2）当a=3,b=1,c=-2,d=-3时，命题显然不成立，（2）错；ab0（3）cd00成立.(3)对；（4）显然

11、c20,两边同乘以c2,得ab.(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围例4已知：-，求，的范围.分析已知的不等式相当于-，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.解析-，-,-，+得-+-.由得-，+得-，又，-0，-0，-0.变式应用4已知12a60,15b36，求a-b及的取值范围.解析欲求a-b的范围,应先求-b的范围,欲求的范围,应先求的范围,再利用不等式性质求解.15b36,-36-b-15.12-36a-b60-15,-24a-b45.又

12、2x(xR);a3+b3a2b+ab2(a,bR);a2+b22（a-b-1）中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析对于，x2+3-2x=(x-1) 2+20恒成立，对于，a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b) 2(a+b),a、bR,(a-b) 20，而a+b0,或a+b=0,或a+b0,故不正确,对于，a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1) 2+(b+1) 20，正确，故选C.2.设xa0，则下列各不等式一定成立的是（）A. x2axaxa2C. x2a2a2ax答案Bxa0x2

13、ax解析x0 x2axa2.a0axa23.若xy与同时成立，则（）A. x0,y0B. x0,y0C. x0D. x0,y，需满足xy0.又xy，x0,y0.二、填空题4.已知x1，f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)g(x).答案解析f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),x1得x-10，而3x2+10,(3x2+1)(x-1)0，3x33x2-x+1.f(x)g(x).5.已知60x84,28y33,则x-y的取值范围为，的取值范围为.答案(2

14、7,56)(,3)解析28y33,-33-y-28,又60x84,27x-y56.由28yb).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为,其面积为（）2.因为ab-（）2=ab- (ab),所以abQB.P0,-a2(a2+1)0，0，PQ.3.(2011陕西文，3)设0ab,则下列不等式中正确的是（）A.abB.abC.abD. ab答案 B解析0ab,a0,即a,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a=1,b=4,易知选B.4.若a、b是任意实数，且ab,则（）A.a2b2 B. 0 D.( )ab并不保证

15、a、b均为正数，从而不能保证A、B成立.又aba-b0,但不能保证a-b1,从而不能保证C成立，显然只有D成立.事实上，指数函数y=()x在xR上是减函数，所以ab()a()b成立.故选D.5.已知aba，则以下不等式中恒成立的是（）A.b0C.ab0 D.ab答案 A解析 特殊值法：令a=-1,b=0,满足ab|b|,排除D，故选A.6.已知a2+aa-a2-a B.-aa2-a2aC.-aa2a-a2 D.a2-aa-a2答案 B解析 特殊值法：a2+a0,-1a0.令a=-,则a2=,-a=,-a2=-，故选B.一般解法：由a2+a0,得0a2-a且a-a20,故a-a2a20;bcad

16、.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若成立，则成立；若成立则成立，.若成立即bcad,若成立，则，.10.如果ab，那么下列不等式：a3b3;3a3b;lgalgb.其中恒成立的是 .答案 解析 a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)(a+)2+b20;y=3x是增函数，ab，3a3b当a0,b0时，不成立.11.设m=2a2+2a+1,n=(a+1) 2,则m、n的大小关系是 .答案 mn解析 m-n=2a2+2a+1-(a+1) 2a20.12.设ab0,m0,n0，则p=,q=,r=,s=的大小顺序是 .答案 prsq解析 取a=4,b=2，

17、m=3,n=1,则p=,q=2,r=,s=则prsq（特值探路）.具体比较如下：p-r=-=0，pr.ab0,m0,n0a+mb+m0.a+nb+n0，1, 1,rs.或r-s=-=60),由2(x-60)+80120,得x80,某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适.14.(1)已知ab,ef,c0.求证：f-ac0.求证：.解析 (1)ab,c0,acbc,-ac-bc,fe,f-ac0,+1+1,.15.已知a、b为正实数，试比较与+的大小.解析解法一：（）（+）（）-（）=.a、b为正实数，+0, 0,( -)20.0，当且仅当a=b时，等号成立.+，当且仅当a=b时取等号.解法二：（）2,(+)2=a+b+2,（）2-(+)2=-(a+b+2)=.a、b为正实数，0，（）2(+)2.又0，+0，+，当且仅当a=b时取等号. 16.已知0a+b,-a-b,求2a和3a-的取值范围.解析0a+b-a-b,两式相加得-2a.设3a-=m(a+b)+n(a-b) =a(m+n)+b(m-n),则有m+n=3m-n=-,解得m=,n=.3a-= (a+b)+ (a-b).0 (a+b)- (a-b) ,两式相加，得-3a-.故2a(-,),3a-(-, ).17