七年级数学竞赛讲座02 特殊的正整数.doc
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1、七年级数学竞赛讲座(二)特殊的正整数一、 一、知识要点1、 1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、等都是完全平方数,完全平方数有下列性质:性质1 任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3 偶完全平方数是4的倍数。性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、 2、 质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数。定义3 一个大于1的整数a,如果只
2、有1和a这两个约数外,还有其他正约数,那么a叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、 3、 质数与合数的有关性质(1) (1) 质数有无数多个(2) (2) 2是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。(3) (3) 若质数pab,则必有pa或pb。(4) (4) 若正整数a、b的积是质数p,则必有a=p或b=p.(5) (5) 唯一分解定理:任何整数n(n1)可以唯一地分解为:,其中p1p211),一定可以表示成两个合数之和。 评注:本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。 例9 证明:n (n+
3、1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方。 分析:注意到n (n+1)+1=n2+n+1,n是自然数,n2n2+n+1( n+1)2,这为我们证题提供了出发点。 证明:n (n+1)+1=n2+n+1,n是自然数,n2n2+n+1( n+1)2, 而n、n+1是两个相邻的自然数, n (n+1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方。 评注:本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个结论。 例10 如果一个自然数是质数,且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数,则称这个数为绝对质数。证明:绝对质数不能有多于三个不同的数字。 分析:绝对质数中出现的数字不会有偶数,也不会
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