【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题突破 专题四 第2讲 空间中的平行与垂直 文.doc

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1、第2讲空间中的平行与垂直【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等1 线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a线面平行的性质定理ab线面垂直的判定定理l线面垂直的性质定理ab2 面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理a面面平行的判定定理面面平行的性质定理ab提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，

2、要注意其具备的条件，缺一不可3 平行关系及垂直关系的转化示意图考点一空间线面位置关系的判断例1(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是_(填序号)l1l2，l2l3l1l3l1l2，l2l3l1l3l1l2l3l1，l2，l3共面l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面(2)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是_(填序号)若lm，m，则l若l，lm，则m若l，m，则lm若l，m，则lm答案(1)(2)解析(1)对于，直线l1与l3可能异面、相交；对于，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共

3、面，如正方体一个顶点的三条棱对于，由异面直线所成角的定义知正确(2)中直线l可能在平面内；与中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得正确 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中 (1)(2013广东改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是_(填序号)若，m，n，则mn若，m，n，则mn若mn，m，n，则若m，mn，n，则(2)平面平面的一个

4、充分条件是_(填序号)存在一条直线a，a，a存在一条直线a，a，a存在两条平行直线a，b，a，b，a，b存在两条异面直线a，b，a，b，a，b答案(1)(2)考点二线线、线面的位置关系例2如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；(2)求证：EC平面PAB.证明(1)由题意得PACA，F为PC的中点，AFPC.PA平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，CDPC.E为PD的中点，F为PC的中点，EFCD，EFPC.AFEFF，PC平面AEF.(2)方法一如图，

5、取AD的中点M，连结EM，CM.则EMPA.EM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB.在RtACD中，CAD60，MCAM，ACM60.而BAC60，MCAB.MC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB.EMMCM，平面EMC平面PAB.EC平面EMC，EC平面PAB.方法二如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连结PN.NACDAC60，ACCD，C为ND的中点E为PD的中点，ECPN.EC平面PAB，PN平面PAB，EC平面PAB. (1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理

6、易得(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)若AC1平面A1BD，求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB1，求三棱锥BA1C1D的体积(1)证明如图所示，连结AB1交A1B于E，连结ED.ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABBB1，侧面ABB1A1是正方形，E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，在AB1C中，ED是中位线，B1CED，B1C平面A1BD.(2)证明AC1平面A1BD，AC1A1B.侧

7、面ABB1A1是正方形，A1BAB1.又AC1AB1A，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)解ABBC，D为AC的中点，BDAC，BD平面DC1A1.BD是三棱锥BA1C1D的高由(2)知B1C1平面ABB1A1，BC平面ABB1A1.BCAB，ABC是等腰直角三角形又ABBC1，BD，ACA1C1.三棱锥BA1C1D的体积VBDSA1C1DA1C1AA11.考点三面面的位置关系例3如图，在几何体ABCDE中，ABAD2，ABAD，AE平面ABD.M为线段BD的中点，MCAE，AEMC.(1)求证：平面BCD平面

8、CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN平面BEC.证明(1)ABAD2，ABAD，M为线段BD的中点，AMBD，AMBD.AEMC，AEMCBD，BCCD.AE平面ABD，MCAE，MC平面ABD.平面ABD平面CBD，AM平面CBD.又MC綊AE，四边形AMCE为平行四边形，ECAM，EC平面CBD，BCEC，ECCDC，BC平面CDE，平面BCD平面CDE.(2)M为BD中点，N为ED中点，MNBE且BEECE，由(1)知ECAM且AMMNM，平面AMN平面BEC. (1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明

9、线面平行，再转化为证明线线平行(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决 如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连结FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BC

10、E，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.考点四立体几何中的探索性问题例4(2012北京)如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化第(1)问证明线面平

11、行，可以证明DEBC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ

12、.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ. 解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设另外也可以通过观察分析直接得到结论，然后证明其结论正确 直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC4，P为平面ABCD外一点，且PAPB，PDPC，N为CD的中点(1)求证：平面PCD平面ABCD；(2)在线段P

13、C上是否存在一点E使得NE平面ABP，若存在，说明理由并确定E点的位置，若不存在请说明理由解(1)取AB中点M，连结PM，PN，MN则PMAB，PNCD，又ABCD为直角梯形，ABBC，MNAB.PMMNM，AB平面PMN.又PN平面PMN，ABPN.AB与CD相交，PN平面ABCD.又PN平面PCD，平面PCD平面ABCD.(2)假设存在在PC、PB上分别取点E、F，使BFBP，CECP，连结EF、MF、NE，则EFBC且可求得EFBC3.MN3且MNBC，EFMN且EFMN.MNEF为平行四边形，ENFM.又FM平面PAB，在线段PC上存在一点E使得NE平面ABP，此时CEPC.1 证明线

14、线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2 证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3 证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4 证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股

15、定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5 证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等6 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上

16、有两个动点E，F，且EF，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBEEF平面ABCD三棱锥ABEF的体积为定值AEF的面积与BEF的面积相等答案解析AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE，故正确B1D1平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF平面ABCD.故正确中由于点B到直线EF的距离是定值，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VABEF不变故正确由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此AEF与BEF的面积不相等，故错误2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)证明：平面ADC1B1平面A1BE；(

17、2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论(1)证明如图，因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以B1C1面ABB1A1.因为A1B面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因为A1BAB1，B1C1AB1B1，所以A1B面ADC1B1.因为A1B面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F平面A1BE.证明如下：易知：EFC1D，且EFC1D.设AB1A1BO，则B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四边形B1OEF为平行四边形所以B1FOE.又因为B1F面A1BE，OE面A1BE.所以B1F面A1BE

18、.(推荐时间：60分钟)一、填空题1 已知，是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是_(填序号)若，l，则l若l上有两个点到的距离相等，则l若l，l，则若，则答案解析当，l时，l可以在内，不正确；如果过l上两点A，B的中点，则A，B到的距离相等，不正确；当，时，可以有，不正确，正确的只有.2 、为平面，m为直线，如果，那么“m”是“m”的_条件答案既不充分也不必要解析，当m时，有可能m，不能推出m，反之亦然3 如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是_

19、(填序号)平面ABD平面ABC 平面ADC平面BDC平面ABC平面BDC 平面ADC平面ABC答案解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故填.4 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.正确命题是的序号为_答案解析平面与可能相交，中m与n可以是相交直线或异面直线故错5 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点

20、，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_答案解析如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于点E.连结EF，易知PFDE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为的正方形，故其面积为.6 在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是_答案36解析由MNAM且MN是BSC的中位线得BSAM，又由正三棱锥的性质得BSAC，所以BS面ASC.即正三棱锥SABC的三侧棱SA、SB

21、、SC两两垂直，外接球直径为SA6.球的表面积S4R243236.7 设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_(填出所有正确条件的代号)x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线答案 解析因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以正确；若直线x平面z，平面y平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以不正确；若平面x平面z，平面y平面z，则平面x与平面y可能相交，所以不正确；若直线x直线z，直线y直线z，则直线x与直线y可能相交、

22、异面、平行，所以不正确8 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平

23、面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.二、解答题10(2013重庆)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积(1)证明因为BCCD，所以BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)解三棱锥PBCD的底面BCD的面

24、积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.11(2012广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.(1)证明因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，A

25、BADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)解如图，连结BH，取BH的中点G，连结EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明取PA中点M，连结MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.12如图，在

26、平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC120，E，M分别为AB，DE的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为AC的中点，AC4.(1)求证：平面ADE平面BCD；(2)求证：FB平面ADE.证明(1)由题意，得ADE是ADE沿DE翻折而成的，ADEADE.ABC120，四边形ABCD是平行四边形，A60.又ADAE2，ADE和ADE都是等边三角形如图，连结AM，MC，M是DE的中点，AMDE，AM.在DMC中，MC2DC2DM22DCDMcos 604212241cos 60，MC.在AMC中，AM2MC2()2()242AC2.AMC是直角三角形，AMMC.又AMDE，MCDEM，AM平面BCD.又AM平面ADE，平面ADE平面BCD.(2)取DC的中点N，连结FN，NB.ACDC4，F，N分别是AC，DC的中点，FNAD.又N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，BNDE.又ADDED，FNNBN，平面ADE平面FNB.FB平面FNB，FB平面ADE.16