【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题突破 专题七 第1讲 函数与方程思想 文.doc

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1、第1讲函数与方程思想【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考1 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过

2、解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2 和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中

3、的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所

4、以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为. (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解 已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项an；(2)

5、设数列bn的通项bn，记Sn是数列bn的前n项和，若n3时，有Snm恒成立，求m的最大值解(1)an是等差数列，a11，a2a3a10144，S10145，S10，a1028，公差d3.an3n2(nN*)(2)由(1)知bn，Snb1b2bn，Sn.Sn1Sn0，数列Sn是递增数列当n3时，(Sn)minS3，依题意，得m，m的最大值为.类型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范围解方法一设f(x)cos2xsin x(x(0，)显然当且仅当a属于f(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且

6、由x(0，知sin x(0,1易求得f(x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二令tsin x，由x(0，可得t(0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示因此f(t)0在(0,1上有解等价于，即，1a1.故a的取值范围是(1,1 研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决 当a为何值时，方程lg(3x)lg(x1)

7、lg(ax)有两解？一解？无解？解当即1x3时，方程化为(x1)(3x)ax，即x25x3a.(*)作出函数yx25x3 (1x3)的图象(如图)，该图象与直线ya的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解由图形易看出：当3a时，原方程有两解；当1或a1时，原方程无解类型三函数与方程思想在不等式中的应用例3设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，所以有g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x1)(2)方法一记h(x)f(

8、x)，由(1)得h(x).令G(x)(x5)3216x，则当1x3时，G(x)3(x5)22160，因此G(x)在(1,3)内是减函数又由G(1)0，得G(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是减函数又h(1)0，所以h(x)0.于是当1x3时，f(x).方法二记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)内单调递减又h(1)0，所以h(x)0，即f(x)0)，满足f(x)g(x)的整数x恰有4个，则实数a的取值范围是_(2)f(x)

9、ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a_.答案(1)(2)4解析(1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x)(2x1)2，g(x)ax2的图象，则由两个函数的图象可知，yf(x)，yg(x)的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h(x)f(x)g(x)(4a)x24x1，要使满足不等式(2x1)2ax2的解集中的整数解恰有4个，则需0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当xb0)，设F(c,0)，直线l：xyc0，由坐标原点O到l的距离为，得，解得c1.又e

10、，故a，b1，所求椭圆方程为y21.(2)假设存在点M(m,0)(0m1)满足条件，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由可得(12k2)x24k2x2k220.显然0恒成立，x1x2，x1x2.设线段PQ的中点为N(x0，y0)，则x0，y0k(x01).以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，MNPQ，kMNkPQ1.即k1，m，k20，0mb0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点(1)求椭圆C

11、的方程；(2)求的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点(1)解由题意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故椭圆C的方程为1.(2)解由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x4)，由得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225，0k2，的取值范围是.(3)证明B、E两点关于x轴对称，E(x2，y2)，直线A

12、E的方程为yy1(xx1)，令y0得xx1，又y1k(x14)，y2k(x24)，x，将代入上式得x1，直线AE与x轴交于定点(1,0)1 在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量2 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想3 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关

13、系式或构造中间函数来求解4 许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.1 若2x5y2y5x，则下列关系正确的是_(填序号)xy0xy0xy0xy0答案解析把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy.2 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(，3)(0,3)解析设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和

14、偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以F(x)0，则f(x)在(，)上单调递增，在(0，)上单调递减nN*，f(5)，f(6)，的最小值为.4 长度都为2的向量，的夹角为60，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，mn，则mn的最大值是_答案解析建立平面直角坐标系，设向量(2,0)，向量(1，)设向量(2cos ，2sin )，0.由mn，得(2cos ，2sin )(2mn，n)，即2cos 2mn,2sin n，解得mcos sin ，nsin .故mncos sin si

15、n.5 已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.若对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围为_答案a4解析由题意，得当x(0，)时，有2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.6 若a、b是正数，且满足abab3，则ab的取值范围为_答案9，)解析方法一(看成函数的值域)abab3，a1，b，而b0，0，即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.当且仅当a1，即a3时取

16、等号ab的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b为正数，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范围是9，)方法三若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范围是9，)7 已知椭圆G：1(a1)，M：(x1)2y21，P为椭圆G上一点，过P作M的两条切线PE、PF，E、F分别为切点(1)求t|的取值范围；(2)把表示成t的函数f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值解(1)设P(x0，y0)，则1(a1)，y(a21)，t2|2(x01)2y(x01)2(a21)2，t.ax0a，a1ta1(a1)(2)|cosEPF|2(2cos2EPM1)(|21)(t21)t23，f(t)t23(a1ta1)对于函数f(t)t23(t0)，显然在t(0，时，f(t)单调递减，在t，)时，f(t)单调递增因此，对于函数f(t)t23(a1ta1)，当a1，即a1时，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf(a1)a22a2；当a1时，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf()23；当1a时，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf()23.13