【课堂新坐标】2021届高考数学二轮复习 考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 理.doc

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1、考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1. （2013广东高考理科4）已知离散型随机变量X的分布列为X123p则X的数学期望E（x）=（ ）A. B. 2C. D3【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式，可以直接代入计算.【解析】选A. .2. （2013湖北高考理科9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)=（ ）A. B. C. D【解题指南】先求分布列，再求E(X)。【解析】选B. E(X)=二、填空题3.（2013上海高考理科T10）设非零常数

2、d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差【解析】，【答案】.4.（2013上海高考文科T6）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .【解析】 【答案】 78.三、解答题5. （2013四川高考理科18） 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生()分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；()甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数以下是甲、乙

3、所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.()将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望.【解题指南】求解本题的关键是理解题意,并且弄清

4、框图的功能,找到随机变量可能的取值,列出分布列再求数学期望.【解析】()变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=.所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是.() 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y

5、的值为2的频率输出y的值为1的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ()随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.P(=0)=C30()0()3=,P(=1)=C31()1()2=,P(=2)=C32()2()1=,P(=3)=C33()3()0=.故的分布列为0123P所以,E=0+1+2+3=1,即的数学期望为1.6. （2013四川高考文科18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；()甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值

6、为i(i=1,2,3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意，并且弄清框图的功能，在第()问中应比较频率的趋势与概率进行判断.【解析】()变量

7、x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是.() 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所

8、编程序符合算法要求的可能性较大.7.(2013天津高考理科T16)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再求概率.(2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列,求数学期望.【解析】(1)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A,则所以，取出的4张卡片中, 含有编号为

9、3的卡片的概率为. (2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.所以随机变量X的分布列是 X1234P随机变量X的分布列和数学期望8.(2013浙江高考理科T19)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列.(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E()= ,D()= ,求abc.【解题指南】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同

10、一个球可能两次都能抽到;(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系.【解析】(1)由题意得,=2,3,4,5,6,故 ， 所以的分布列为23456（）由题意知的分布列为123所以 化简得，解得所以.9. （2013重庆高考理科18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（

11、）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；（）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望【解题指南】首先设出相应的事件,根据古典概型的公式求出恰好摸到一个红球的概率,然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望.【解析】设表示摸到个红球,表示摸到个蓝球,则与独立.（）恰好摸到1个红球的概率为（）的所有可能值为,且综上知,的分布列为 从而有(元).10. （2013湖南高考理科18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

12、X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.【解题指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中内部3株,边界12株,结合题意求解相应概率.(2)先弄清15株满足相应年产量的各有多少株,然后求出对应的概率,写出分布列再求期望.【解析】(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好

13、“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =,故所求的分布列为Y51484542P所求的数学期

14、望为.11. （2013江西高考理科18）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)将基本事件总数求出，然后找所求概率事件的基本事件数，由古典概型公式求得结果；（2）先确定X的可能取值，然后再计算各个概率值即得分布列，最后计算期望值.【解析】（1）从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有种，时，两向量夹角

15、为直角共有8种情形.所以小波参加学校合唱团的概率为.(2)两向量数量积的所有可能取值为-2，-1,0,1.时，共有2种情形，时，有10种情形，有8种情形.所以X的分布列为X01P .12. （2013山东高考理科19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.（）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.【解题指南】（）本题考查了相互独立事

16、件的概率；（）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【解析】（）记“甲队以3:0胜利”为事件A1，“甲队以3:1胜利”为事件A2，“甲队以3:2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故， ， ，所以甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为，甲队以3:2胜利的概率为.（）设“乙队以3:2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以.由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得,又,故的分布列为0123P所以E=.13.（2013北京高考理科16）下图是某市3月1日至14

17、日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解题指南】（1）这是古典概型的概率计算问题，分别求出基本事件空间的基本事件总数、所求事件包含的基本事件总数，作比即可求出概率。（2） 天数的可能取值为0，1，2，列出分布列，再求期望。（3） 从图中找一找哪三天的波动最大，则方差也就最大。【解析】（1）

18、某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，共有13种可能。到达当日空气重度污染有2种可能。所以概率为。（2）X可能取值为0，1，2.分布列如下X012P。（3）5，6，7三天。14.(2013福建高考理科T16)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X3的概率.(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何

19、种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?【解析】(1)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分X3”的事件为A,则A事件的对立事件为“X=5”,因为,所以P(A)=1-P(X=5)= ,所以这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2),由已知: ，,所以,所以E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= ,因为E(2X1)E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽

20、奖时,累计得分的数学期望最大.15. （2013陕西高考理科19）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解;通过确定随机变量X的取值,求随机变量X的分布列,求随机变量X的数学期望三步完

21、成.【解析】(1) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。所以P(A) = .因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙、丙选中3号歌手的概率为。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .当观众甲、乙、丙均选中3

22、号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .X的分布列如下表：X0123P所以，数学期望.16. （2013新课标全国高考理科19）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （1）将T表示为x的函数（2）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代

23、表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的频率），求T的数学期望。【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当用频率估计概率，可概率的估计值；（3）由分布列，代入期望公式，得所求.【解析】（1）当时，当时，所以 （2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当由直方图知需求量的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.

24、10.20.30.4所以 ET17. （2013新课标高考理科19）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分

25、布列及数学期望.【解题指南】（）由事件的独立性和互斥性，并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率；（）根据题意，先确定的可能取值，然后求出相应的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】（）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件.依题意有，且A1B1与A2B2互斥,所以.（）的可能取值为，, 所以的分布列为（元）18.（2013大纲版全国卷高考理科20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下

26、一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（I）求第局甲当裁判的概率；（II）表示前局中乙当裁判的次数，求的数学期望.【解析】（I）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”.则.方法一：（II）的可能值为记表示事件“第3局乙和丙参加比赛时，结果为乙胜丙”，表示事件“第1局结果为乙胜丙”，表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，,方法二：（II）由于第一局甲当裁判，乙可能当裁判次数的可能值为0,1,2当裁判次数为0：乙第一局，第二局与第三局赢，第四局

27、决定第五局裁判权，所以不用管第四局输赢.所以.当裁判次数为1：有三种情况第一局乙输，第二局乙当裁判，第三局乙赢，概率为；第一局乙赢，第二局乙输，第三局当裁判，概率为第一局乙赢，第二局乙赢，第三局乙输，第四局当裁判概率为。所以.当裁判次数为2：第一局乙输，第二局当裁判，第三局乙输，第四局当裁判.所以.的分布列为所以.19.（2013辽宁高考理科19）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。求张同学至少取到1道乙类题的概率；已知所取到的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立。用表示张同学答对题

28、的个数，求的分布列和数学期望。【解题指南】诸如“至少有一个”等问题，可以结合对立事件的概率来求解；对于随机变量的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应的事件及其概率，列出其分布列，正确应用均值公式进行计算【解析】记事件“张同学所取的3道题至少取到1道乙类题”；则“张同学所取的3道题全为甲类题”；事件“张同学所取的3道题全为甲类题”共有种取法；而“从10道题中任取3道题”共有种取法；所以故所以张同学至少取到1道乙类题的概率为张同学答对题的个数的可能值为0，1，2，3.表示张同学没有答对一道题，;表示张同学答对一道题，包含以下两种可能，“答对一道甲类题”、“答对一道乙类题”，因此;表示张同学答对二道题，包含以下两种可能，“答对二道甲类题”、“答对一道甲类题和一道乙类题”，因此;表示张同学所取得的三道题全部答对，因此;所以的分布列为0123故的数学期望为17