【科学备考】（新课标）2021高考数学二轮复习 第八章 立体几何 空间几何体的结构、三视图和直观图 理（含2021试题）.doc

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1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第八章 立体几何 空间几何体的结构、三视图和直观图 理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16C.9D.答案 1.A解析 1.设球的半径为R,由题意可得(4-R)2+()2=R2,解得R=,所以该球的表面积为4R2=.故选A.2. (2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72答案 2.B解析 2.该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和

2、一个矩形组成的,则其表面积S=34+35+5+4+35=60.选B.3. (2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案 3.A解析 3.由三视图知识可知,圆柱的正视图是矩形,不可能为三角形.故选A.4. (2014江西,10,5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大

3、致的图形是()答案 4.C解析 4.由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处.在坐标平面xAy中,直线AE1的方程为y=x,与直线DC的方程y=7联立得F.由两点间的距离公式得E1F=,tanE2E1F=tanEAE1=,E2F=E1FtanE2E1F=4.E2F1=12-4=8.=.故选C.5. (2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案 5.B解析 5.由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此它的俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.6. (2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标

4、系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和B.和C.和D.和答案 6.D解析 6.设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B、C、D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),点A(0,0,2)在平面yOz上,又点C的横坐标小于点B和D的横坐标,该几何体的正视图为图.点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B(2,2,0)在平面xOy上,该几何体

5、的俯视图为图.故选D.7. (2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案 7.B解析 7.由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱,该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形,其高为12.要得到最大球,则球与三个侧面相切,从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径,故半径r=2,其中S为底面直角三角形的面积.故选B.8.(2014安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.18答案 8.A解析 8.根据题意作出直观图

6、如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为6+2()2=6+=21+.故选A.9.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2答案 9.D解析 9.由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=35+243+43+33+243+246+36=138(cm2).10.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D

7、-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S3S1答案 10.D解析 10.三棱锥D-ABC如图所示.S1=SABC=22=2,S2=2=,S3=2=,S2=S3且S1S3,故选D.11.(2014课标全国卷,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.答案 11.C解析 11.由三视图知该零件是两个圆柱的组合体

8、.一个圆柱的底面半径为2 cm,高为4 cm;另一个圆柱的底面半径为3 cm,高为2 cm.设零点的体积V1=224+322=34(cm3).而毛坯的体积V=326=54(cm3),因此切削掉部分的体积V2=V-V1=54-34=20(cm3),所以=.故选C.12.(2014课表全国，12，5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案 12.B解析 12.由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC面BCD,ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连结

9、AM,DM,则DM面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2,BC=DM=4,所以在RtAMD中,AD=6,又在RtABC中,AC=46,故该多面体的各条棱中,最长棱为AD,长度为6,故选B.13.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（ ）（A）（B）（C）（D）答案 13. B解析 13. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.14.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据可得这个几何体的表面积为( )A. B

10、. C. D. 12答案 14. B解析 14. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为.15. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( ) A. 2B. 3C. 4D. 5答案 15. A解析 15. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以其体积为，解得x=2.16. (2014山西太原高三模拟考试（一），8) 一个几何体的三视图如图所示（单位

11、：cm），则该几何体的体积为( ) A. （32+ ) 3B. （32+ ) 3C. （41+ ) 3D. （41+ ) 3答案 16. C解析 16. 该三视图对应的几何体为由上中下三部分构成的组合体，其中上半部是长宽高分别为3、3、1的长方体；中半部为底面直径为1高为1的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、2的长方体，其体积为.17.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，3) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 答案 17.B解析 17. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且腰长为2，所以该三棱柱的体积.18. (2014重庆

12、杨家坪中学高三下学期第一次月考，6) 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24答案 18. C解析 18. 根据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为4，因为体积为24，所以底面积.19. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，6) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 答案 19. D解析 19.原几何体如图中三棱锥，由已知正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三

13、角形，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，所以这个几何体的外接球的半径为，所以这个几何体的外接球的表面积为.20. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，7) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 6 B. 2 C. 3 D.答案 20.D 解析 20. 由三视图知，原几何体的体积为.21. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 5) 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）答案 21.D解析 21.该几何体是一三棱柱，qi 其体积为=4.22. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，5) 已知正三棱锥的主视图、俯视图如下图所示，其中，

14、则该三棱锥的左视图的面积为（）A. 9B. 6C. D. 答案 22.B解析 22.如图所示，底面是正三角形，边长为，所以，从而，故，所以侧视图面积为.23. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，7）某个长方体被一个平面所截，截得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 4B. C. D. 8答案 23.D解析 23. 如图，该长方体的底面边长为2，高为3，点、分别为对应棱的中点，沿着平行四边形切割该长方体，显然被切割的部分占上面正方体的一半，所以剩余的部分体积为8.24. (2014北京东城高三第二学期教学检测，6) 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投

15、影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 答案 24.C解析 24. 该条棱长可以看作长方体的体对角线，设长方体的长，宽，高分别为，则由已知可得，可解得，从而，所以，故，当且仅当时取“” ，选C.25.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.答案 25.解析 25.该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积V=124+222=(m3).26.13(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，13) 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体

16、的表面积是 。答案 26. 解析 26. 该三视图对应的几何体为组合体, 其中上半部为底面边长为2, 斜高为的正四棱锥, 下半部分是边长为2的正方体, 所以其表面积为.27. (2014福州高中毕业班质量检测, 14) 已知某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该几何体的表面积为 . 答案 27.解析 27. 由三视图知，原几何体是一个棱长为2的正方体削去一个三棱锥后剩下的一个七面体，截面三角形为边长为的等边三角形，截面的面积为，所以几何体的表面积为.28. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），15) 如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形

17、，则该几何体的体积为_. 答案 28.解析 28. 该几何体为一四棱柱，体积 .29. (2014四川,18,12分)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MNNP.()证明:P是线段BC的中点;()求二面角A-NP-M的余弦值.答案 29.查看解析解析 29.()如图,取BD中点O,连结AO,CO.由侧视图及俯视图知,ABD,BCD为正三角形,因此AOBD,OCBD.因为AO,OC平面AOC内,且AOOC=O,所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC,所以BDAC.取BO的中点H,连结NH,PH.又M,N分别为线段AD,AB的中

18、点,所以NHAO,MNBD.因为AOBD,所以NHBD.因为MNNP,所以NPBD.因为NH,NP平面NHP,且NHNP=N,所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP,所以BDHP.又OCBD,HP平面BCD,OC平面BCD,所以HPOC.因为H为BO中点,故P为BC中点.()解法一:如图,作NQAC于Q,连结MQ.由()知,NPAC,所以NQNP.因为MNNP,所以MNQ为二面角A-NP-M的一个平面角.由()知,ABD,BCD是边长为2的正三角形,所以AO=OC=.由俯视图可知,AO平面BCD.因为OC平面BCD,所以AOOC.因此在等腰RtAOC中,AC=.作BRAC于R.在ABC中,A

19、B=BC,所以BR=.因为在平面ABC内,NQAC,BRAC,所以NQBR.又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,因此NQ=.同理,可得MQ=,所以在等腰MNQ中,cosMNQ=.故二面角A-NP-M的余弦值是.解法二:由俯视图及()可知,AO平面BCD.因为OC,OB平面BCD,所以AOOC,AOOB.又OCOB,所以直线OA,OB,OC两两垂直.如图,以O为坐标原点,以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0).因为M,N分别为线段AD,AB的中点,又由()知,P为线段BC的中点,所以M,N,P.

20、于是=(1,0,-),=(-1,0),=(1,0,0),=.设平面ABC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),则即有 从而取z1=1,则x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).设平面MNP的一个法向量n2=(x2,y2,z2),则即有从而取z2=1,所以n2=(0,1,1).设二面角A-NP-M的大小为,则cos =.故二面角A-NP-M的余弦值是.30. (2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.()证明:四边形EFGH是矩形;()求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.答案 30

21、.查看解析解析 30.()由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由题设,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.()解法一:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),EFAD,FGBC,n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.解法二:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中点,F,G分别为BD,DC的中点,得E,F(1,0,0),G(0,1,0).=,=(-1,1,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.20