2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向攻克练习题(无超纲).docx

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形中、是的中点，是上的一点，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中结论正确的个数有（

2、 ）A1个B2个C3个D4个2、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米3、在中，C=90，A、B、C的对边分别为、，则下列式子一定成立的是（ ）ABCD4、在RtABC中，C90，BC3，AC4，那么cosB的值等于（）ABCD5、ABC中，tanA1，cosB，则ABC的形状是（）A等腰三

3、角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形6、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）A地在地的北偏西方向上B地在地的南偏西方向上CD7、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（ ）ABCD8、如图，在中，点P为AC上一点，且，则的值为（ ）A3B2CD9、在RtABC中，C90，AC5，BC3，则sinA的值是（ ）ABCD10、如图，ABC中，ABAC2，B30，ABC绕点A逆时针旋转（0120）得到ABC，BC与BC、AC分别交于点D、点E，设CD+DEx，AEC的面积为y，则y与x

4、的函数图象大致为（）A BC D第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在RtABC中，C90，BC2，AC2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F若ABF为直角三角形，则AE的长为_或_2、计算：cos245tan30sin60sin245_3、如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，BEC与FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点若BMBE，MG2，则BN的长为 _，sinAFE的值为 _4、如图, 小明沿着坡度 的坡面由 到 直

5、行走了 13 米时, 他上升的高度 _米5、如图，等腰直角三角形ABC，C=90，AC=BC=4，M为AB的中点，PMQ=45，PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在菱形ABCD中，ABC60，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H（1）当点E在如图位置时，求证：BFDHBD；（提示：延长DA交BF于G）（2）当点E在图、图的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DH1，BD4，

6、则tanDHE 2、（1）计算：tan45+3tan30cos60（2）解方程：（x2）（x5）23、如图，在中，（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求的值（结果保留根号）4、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y13x的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB3（1）点D的坐标是 ；（2）求tanEOB的值；（3）观察图象，请直接写出满足y23的x的取值范围；（4）连接DE，在x轴上取一点P，使，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直

7、接写出线段PQ的长5、如图1，已知抛物线yx2+x+1与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）点C的坐标是 ，点B的坐标是 ；（2）M为线段BC上方抛物线上一动点，连接MC、MB，求MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标；（3）如图2，T为线段CB上一动点，将OCT沿OT翻折得到OCT，当OCT与OBC的重叠部分为直角三角形时，求BT的长（4）如图3，动点P从点O出发沿x轴向B运动，过点P作CP的垂线交CB于D点P从O运动到B的过程中，点D运动所经过的路径总长等于 -参考答案-一、单选题1、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：BAECEF，则可证得正确，错

8、误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABEAEF，即可求得答案【详解】解：四边形ABCD是正方形，BC90，ABBCCD，AEEF，AEFB90，BAEAEB90，AEBFEC90，BAECEF，BAECEF，BECE，BE2ABCFAB2CE，CFCECD，CD=4CF，故正确，错误，tanBAEBE：AB，BAE30，故错误；设CFa，则BECE2a，ABCDAD4a，DF3a，AE2a，EFa，AF5a，ABEAEF90，ABEAEF，故正确故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键2、C【

9、分析】过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案【详解】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，tan65，OFxtan65，BF3+x，tan35，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键3、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可【详解】解：由题意可得，如下图：，则，A选项错误，

10、不符合题意；，则，B选项正确，符合题意；，则，C选项错误，不符合题意；，则，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解4、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可【详解】解：如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，cosB故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键5、C【分析】先根据ABC中，tanA=1，cosB=求出A及B的度数，进而可得出结论【详解】解：ABC中，tanA=1，cosB=，A=45，B=45，C=90，ABC是等腰直角三角形故

11、选：C【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键6、B【分析】根据题意可知，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D【详解】解：如图所示：由题意可知，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键7、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出AOB=60AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OGAB，可得OG平分AOB，得出AOC=，根据锐角三角函数求解即

12、可【详解】解：如图连结OA，OB，OG，六边形ABCDEF为圆外切正六边形，AOB=3606=60，AOB为等边三角形，点G为切点，OGAB，OG平分AOB，AOC=，cos30=，故选择B【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键8、A【分析】过点P作PDAB交BC于点D，因为，且，则tanPBD=tan45=1，得出PB=PD，再有，进而得出tanAPB的值【详解】解：如图，过点作交于点，,，且，PBD=45，又，故选A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够

13、正确作出辅助线进行求解9、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案【详解】解：如图，C90，AC5，BC3， ，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键10、B【分析】先证ABFACE（ASA），再证BFDCED（AAS），得出DE+DC=DE+DB=BE=x，利用锐角三角函数求出，AG=ACsin30=1，根据三角形面积列出函数解析式是一次函数，即可得出结论【详解】解：设BC与AB交于F，ABC绕点A逆时针旋转（0120）得到ABC，BAF=CAE=，AB=AC=AB=AC，B=C=B=C=30，在ABF和ACE中，ABFACE

14、（ASA），AF=AE，AB=AC，BF=AB-AF=AC-AE=CE，在BFD和CED中，BFDCED（AAS），BD=CD，FD=ED，DE+DC=DE+DB=BE=x，过点A作AGBC于G，AB=AC，BG=CG，AC=2，cosC=，AG=ACsin30=1EC=是一次函数，当x=0时，故选择B【点睛】本题考查等腰三角形性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，解直角三角形，三角形面积，列一次函数解析式，识别函数图像，本题综合性强，难度大，掌握以上知识是解题关键二、填空题1、 3； 145【解析】【分析】分两种情况讨论：当BDAE时，ABF为直角三角形；当DBAB时，ABF为直角三角形.【

15、详解】解：当BDAE时，ABF为直角三角形，如下图：根据题意，BE=BE，BD=BD=BC=，B=EBF，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=2，AB=BC2+AC2=232+22=4，sinB=24=12，B=EBF =30，在RtBDF中，B=30，DF=BD=，BF=BD-DF=-=，在RtBEF中，EBF =30，EF=BE，BF=BE2-EF2=2EF2-EF2=EF，即=EF，EF=，则BE=1，AE=AB-BE=4-1=3.当DBAB时，ABF为直角三角形，如下图：连接AD，过A作ANEB，交EB的延长线于N，根据题意，BE=BE，BD=CD=BD=BC=，DBE=EBF，

16、在RtABC中，C=90，BC=2，AC=2，AB=BC2+AC2=232+22=4，sinDBE=24=12，DBE=EBF =30，ABF=90，ABE=ABF+EBF=120，RtABN中，ABN=60，BAN=30，BN=AB，在RtABD和RtACD中AD=ADBD=CD，RtABDRtACD（HL），AB=AC=2，BN=1，AN=，设AE=x，则BE= BE=4-x，在RtAEN中，AN2+EN2=AE2，（）2+（4-x+1）2=x2x=145综上，AE的长为3或145，故答案为：3或145.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大

17、小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理2、#0.5【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】解：= .故答案为【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键3、 4； #【解析】【分析】根据题意连接BF，FM，由翻折及BM=ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN=BA先证明AEFNMF得AE=NM，再证明FMNCGN可得，进而求解即可【详解】解：BM=BE，BEM=BME，ABCD，BEM=GCM，又BME=GMC，GCM=GMC，MG=GC=2，G为CD中点，CD=AB=4连接BF

18、，FM，由翻折可得FEM=BEM，BE=EF，BM=EF，BEM=BME，FEM=BME，EFBM，四边形BEFM为平行四边形，BM=BE，四边形BEFM为菱形，EBC=EFC=90，EFBG，BNF=90，BF平分ABN，FA=FN，RtABFRtNBF（HL），BN=AB=4FE=FM，FA=FN，A=BNF=90，RtAEFRtNMF（HL），AE=NM，设AE=NM=x，则BE=FM=4-x，NG=MG-NM=2-x，FMGC，FMNCGN，即，解得：（舍）或，故答案为：4；.【点睛】本题考查矩形的翻折问题和相似与全等三角形问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性

19、质求解4、【解析】【分析】根据坡度的定义求得，即可求得的长【详解】解：设，则根据勾股定理可得故答案为：5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度水平宽度是解题的关键。5、【解析】【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，M为AB的中点，在中，在中，在中， ，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键三、解答题1、（1）见解析；（2）或；（3）或【

20、解析】【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明AGFADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如图所示，延长BA交DH于G，同理可证ABFAGH，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明GAFDAH，得到，则；（3）如图所示，先根据结论求出，然后证明FBEHDE，得到，即，则，；然后对于图和图利用类似的方法求解即可【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，四边形ABCD是菱形，ABC=60，ADC=ABC=60，AD=AB，BFBD，DHBD，FBD=HDB=90，BGD=60，ADH=120，DG=2BG

21、，FGA=120，BAG=ABD+ADB=60，ABG是等边三角形，AG=AB=AD，在AGF和ADH中，AGFADH（ASA），DH=GF，又，；（2）如图所示，延长BA交DH于G，同理可证ABFAGH，；如图所示，延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，BFBD，DHBD，BGDH，FGA=HAD，又GAF=DAH，AG=AD，GAFDAH（AAS），；（3）如图所示，BFBD，DHBD，BF/DH，FBEHDE，即，；如图所示，此时不符合题意；如图所示，同理可得，EHDEFB，即，；故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质

22、，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形2、（1）0；（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，再进行化简求值即可（2）先化简为一般式，再根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：（1）原式=(32-1)2-1+33312=1-32-1+32（2）x2-7x+10+2=0x-3x-4=0【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，因式分解法解一元二次方程，牢记特殊角的三角函数和掌握解一元二次方程的方法是解题的关键3、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质

23、求出，设，在三角形中利用三角函数即可求解【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，在三角形中，设，在三角形中，【点睛】本题考查的是作图基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键4、（1）；（2）；（3）；（4）或【解析】【分析】（1）根据D点纵坐标为3，代入正比例函数即可求解；（2）求出EB，根据正切的性质即可求解；（3）根据函数图象即可直接求解；（4）分当点P在线段AB上时和当点P在线段AB的延长线时，分别求出AP的长，故可求解【详解】解：（1）正方形ABCD的边长AB=3AD=3D点在正比例函数y13x上设D（x，3），代入y13x得3=

24、3x解得x=1D故答案为：；（2）反比例函数的图象经过点D，k=13=3E点的横坐标为1+3=4E（4，y），代入得到EB=tanEOB=（3）如图，根据图象可得3时，图象在直线y=3的上方，x的取值为0x1（4）当点P在线段AB上时，如图1，设AP=m，则PB=3-mSPDE=S梯形ABED-SADP-SPBE=解得m=3OP=1+3=4点P（4，0）当x=4时，Q（4，）PQ=当点P在线段AB的延长线时，如图2，设AP=m，则PB=m-3SPDE=SADP-S梯形ABED-SPBE=解m=5OP=1+5=6点P（6，0）当x=6时，Q（6，）PQ=综上，PQ的长为或【点睛】此题主要考查反比

25、例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质5、（1）（0，1），（2，0）；（2）SMBC最大值1， M（1，）；（3）1或2或；（4）35【解析】【分析】（1）令y0，可求B点坐标，令x0，可求C点坐标；（2）求出直线BC的解析式为yx+1，过点M作MNx轴交直线BC于点N，设M（t，t2+t+1），则N（t，t+1），SMBC（t1）2+1，当t1时，SMBC有最大值1，M（1，）；（3）分三种情况讨论：当TC与BO垂直时，即OGT90，CT1，CB，BT1；当OTC90时，CT，BT；当OC与BC垂直时，即OHB90，OH，CH，BH，在RtTCH中，（

26、TH）2TH2+（1）2，求出TH2，则BTBH+TH2；（4）设OPm，则CP，过点P作PFCB交于点F，当COPCPD时，PBm，则有m+m2，可求m，PB，CD，BD，当P点从O点运动，D点从B点开始向C点方向运动，到达COPCPD时，BD的长度达到最大值，当P点再向B点运动时，D点又向B点运动，直到D点回到B点，所以点D运动所经过的路径总长是BD长度的2倍，可求2BD35【详解】解：（1）令y0则x2+x+10，x2或x，B（2，0），令x0则y1，C（0，1），故答案为：（0，1），（2，0）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，yx+1，如图，过点M作MNx轴交直线BC于点N，设

27、M（t，t2+t+1），则N（t，t+1），MNt2+t+1+t1t2+2t，SMBC2（t2+2t）（t1）2+1，M为线段BC上方抛物线上一动点，0t2，当t1时，SMBC有最大值1，M（1，）；（3）如图1，当TC与BO垂直时，即OGT90，TGCO，COTOTC，CTOOTC，CTOCOT，COCT，OC1，CT1，BO2，CB，BT1；如图2，当OTC90时，OCCO1，COTOBC，sinCBO，CT，BT；如图3，当OC与BC垂直时，即OHB90，在RtOHB中，sinOBH，OH，在RtOCH中，CH，BH，OCOC1，CH1，CTCT，CTCHTHTH，在RtTCH中，CT2

28、TH2+CH2，（TH）2TH2+（1）2，TH2，BTBH+TH+22；综上所述：BT的长为1或2或；（4）如图4，CPPD，CPD90，设OPm，CP，过点P作PFCB交于点F，当COPCPD时，OCPCPD，OPPFm，sinOBC，PBm，m+m2，m，PB，CD1+m21+（）2，BD，当P点从O点运动，D点从B点开始向C点方向运动，到达COPCPD时，BD的长度达到最大值，当P点再向B点运动时，D点又向B点运动，直到D点回到B点，点D运动所经过的路径总长是BD长度的2倍，2BD35，点D运动所经过的路径总长等于35，故答案为：35【点睛】本题考查了二次函数的动点运动的综合问题，对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决当图形（或某一事物）在运动的过程中达到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律