上海市各区县2021届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 圆锥曲线 理.doc

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1、上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）直线被曲线所截得的弦长等于 2、（崇明县2015届高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为3、（奉贤区2015届高三上期末）若双曲线的一个焦点是，则实数 .4、（奉贤区2015届高三上期末）已知圆与直线相切，则圆的半径 5、（虹口区2015届高三上期末）椭圆的焦距为 6、（虹口区2015届高三上期末）若抛物线上的两点、到焦点的距离之和为6，则线段的中点到轴的距离为 7、（黄浦区2015届高三上期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则

2、抛物线的方程是 8、（嘉定区2015届高三上期末）若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则_9、（金山区2015届高三上期末）已知点A(3,2)和圆C：(x4)2+(y8)2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是 10、（静安区2015届高三上期末）直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 11、（浦东区2015届高三上期末）关于的方程表示圆，则实数的取值范围是 12、（浦东区2015届高三上期末）双曲线的两条渐近线的夹角为 13、（普陀区2015届高三上期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 14、（

3、普陀区2015届高三上期末）若抛物线（）的焦点在圆内，则实数的取值范围是 15、（青浦区2015届高三上期末）抛物线的动弦的长为，则弦中点到轴的最短距离是 16、（松江区2015届高三上期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 17、（徐汇区2015届高三上期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 18、（杨浦区2015届高三上期末）已知直线经过点，则直线的方程是_二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A） （B）2 （C） （D）12、（宝山区2015届高三上期末）圆在点处的切线方程

4、为 ( ) （A） （B）（C） （D）3、（奉贤区2015届高三上期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则该椭圆的方程为 （ ）A B C D4、（嘉定区2015届高三上期末）设、是关于的方程的两个不相等实根，则过、两点的直线与双曲线的公共点个数是（ ）A B C D5、（浦东区2015届高三上期末）设椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的标准方程为 （ ） 6、（杨浦区2015届高三上期末）圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A BC D 三、解答题1、（宝山区27）已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交

5、点(1)求直线的方程；(2)求面积的取值范围2、（宝山区31）在平面直角坐标系 中，点到两点、的距离之和等于4设点 的轨迹为(1)写出轨迹的方程；(2)设直线与交于 、两点，问为何值时此时|的值是多少？3、（崇明县22）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.4、（奉贤区29）曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程（1）求曲线的方程；（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在

6、圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由5、（虹口区23）已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，与双曲线相交于两点，且为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.6、（黄浦区23）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线(1)求动点所在曲线的轨迹方程；(2)设直线

7、与曲线交于两点，且，求直线的方程；(3)(理科)若直线与曲线交于两点，与线段交于点(点不同于点)，直线与直线交于点，求证：是定值7、（嘉定区21）已知点，椭圆：（）的长轴长为，是椭圆的右焦点，直线的一个方向向量为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于、两点，当的面积最大时，求的方程8、（金山区22）动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程；(2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由9、（闵

8、行区20）10、（浦东27）已知直线与抛物线交于、两点（为抛物线的焦点，为坐标原点），若，求的垂直平分线的方程.O11、（浦东32）已知三角形的三个顶点分别为，.（1）动点在三角形的内部或边界上，且点到三边的距离依次成等差数列，求点的轨迹方程；（2）若，直线:将分割为面积相等的两部分，求实数的取值范围. 12、（普陀区19）已知是椭圆上的一点，求到（）的距离的最小值.13、（青浦区21）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点（1）试求双曲线的标准方程

9、；（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角14、（松江区23）（理）对于曲线，若存在最小的非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立，则称曲线为有界曲线，且称点集为曲线的界域（1）写出曲线的界域；（2）已知曲线上任意一点到坐标原点与直线的距离之和等于3，曲线是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的界域15、（徐汇区22）已知椭圆（常数）的左顶点为，点，为坐标原点（1）若是椭圆上任意一点，求的值；（2）设是椭圆上任意一点，求的取值范围；（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由1

10、6、（杨浦区22）如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求面积的最大值。17、（闸北15）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a0，b0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=8x有一个公共的焦点（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；（3）P为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若ABP为等边三角形，求直线

11、l的方程参考答案一、填空题1、4 2、8 3、8 4、2 5、 6、37、 8、 9、7 10、或11、 12、 13、 14、 15、 16、17、18、二、选择题1、A 2、D 3、A 4、D 5、A 6、D三、解答题1、解：（1）由题知点的坐标分别为，于是直线的斜率为， 2分所以直线的方程为，即为 4分（2）设两点的坐标分别为，由得，所以， 6分于是 7分点到直线的距离， 8分所以.因为且，于是，所以的面积范围是10分2、解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆. 2分它的短半轴 故曲线C的方程为4分 （2）设，其坐标满足消去y并整理得，故 5分由

12、，即 6分而，于是所以时，故8分当时，而，所以10分3、解（1）设椭圆C的方程为，半焦距为，则解得：所以，椭圆方程为（2）解：存在直线，使得成立。由得由得。设，则由得，所以化简得所以由得，因此，4、（1）设动点为，则由条件可知轨迹方程是； 3分（2）设为曲线上任意一点，可以证明则点关于直线、点及直线对称的点仍在曲线上 6分根据曲线的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，则该收敛圆的方程是 7分讨论：时最多一个有一个交点满足条件 8分（1）代入（2）得 10分曲线存在收敛圆 11分收敛圆的方程是 13分5、（1），等边三角形，；（2）解：设，中点为，然后点差法，即得，即点与点重合，所以为中点，得证；

13、（3）解：假设存在这样的直线，设直线， 联立得；联立得； ，即； ，该方程无解，所以不存在这样得直线6、解(1)依据题意，可得点. 又，. 所求动点的轨迹方程为. (2) 若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴 设直线的斜率为，则 由 得 设点，有 且恒成立(因点在椭圆内部) 又，于是，即， 解得 所以，所求直线 (理)证明(3)直线与线段交于点，且与点不重合，直线的斜率满足： 由(2)可得点， 可算得 又直线 设点，则由得(此等式右边为正数). ，且= ，解得. 为定值. 7、（1）设，直线的点方向式方程为， （2分）令，得，即， （3分）由已知，所以 （5分）所以椭

14、圆的方程为 （6分）（2）由题意，设直线的方程为， 将代入，得， （1分）当，即时，直线与椭圆相交， （2分） 设，则， （3分）所以，又点到直线的距离，所以的面积设，则， （5分）因为，所以，当且仅当，即时，取最大值（7分）所以，当的面积最大时，直线的方程为 （8分）（直线方程用其他形式也可以）8、(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y；4分(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y00)，|AT|=，a20，则当y0=a2时，|AT|取得最小值为2， 2=a1, a26a+5=0，a=5或a=1 (舍去)， 所以y0=a2=3，x0=2

15、，所以T坐标为(2, 3)；10分(3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，解之得P1(,)，同理P2(4k, 4k2)，直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：整理得：k(y4)+(k21)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)16分9、10、解：的方程为：. 由 得，所以，3分由，可求得.5分所以，中点.6分所以的垂直平分线的方程为：.8分11、解：（1）法1：设点的坐标为，则由题意可知：，由于，2分所以，4分化简可得：（）5分法2：设点到三边的距离分别为，其中，.所以 4分于是点的轨迹方程为（）5分（2）由题意知道，情况（1）.直线：，过定点，此时图像如右下：由平面几

16、何知识可知，直线过三角形的重心，从而.7分情况（2）.此时图像如右下：令得，故直线与两边分别相交，设其交点分别为，则直线与三角形两边的两个交点坐标、应该满足方程组：.因此，、是一元二次方程：的两个根.即, 由韦达定理得：而小三角形与原三角形面积比为，即.所以，亦即.再代入条件，解得，从而得到.11分综合上述（1）（2）得：.12分解法2：由题意知道情况（1）.直线的方程为：，过定点， 由平面几何知识可知，直线应该过三角形的重心，从而.7分情况（2）.设直线：分别与边，边的交点分别为点，通过解方程组可得：，又点，=，同样可以推出.亦即，再代入条件，解得，从而得到.11分综合上述（1）（2）得：.

17、12分解法3： 情况（1）.直线的方程为：，过定点， 由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，从而.7分情况（2）.令，得，故直线与两边分别相交，设其交点分别为，当不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则也不断减小.当时，与相似，由面积之比等于相似比的平方.可知，所以，综上可知.12分12、【解】设，其中2分则=5分，对称轴7分（1） 若，即，此时当时，；9分（2） 若，即，此时当时，；11分综上所述，12分13、解（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，得，即，则双曲线的左、右顶点为、，于是 2分令，可得，解得，即双曲线过点，则所以， 4分所以所求双曲线方程为6分（2）由（1）

18、得双曲线的两个焦点， 7分当时，设点，若点在双曲线上，得，由，得由，解得所以 11分若点在上半圆上，则，由，得，由无解 13分综上，满足条件的点有4个，分别为 14分14、（理）（1） 界域为4分（2）设，则 6分化简，得： 8分 界域为 10分（3）由已知得：12分 ， 14分令 当，即时，等号成立若，时， 16分若，时， 曲线界域为：时，时，18分15、解：（1），得.2，即.4（2）设，则.5 .6由，得.7 当时，最大值为；.8当时，最小值为；.9即的取值范围为.10（3）（解法一）由条件得，.11平方得, 即.12.13=.15故的面积为定值.16（解法二）当直线的斜率不存在时，易得

19、的面积为.11当直线的斜率存在时，设直线的方程为.12由，可得，又，可得.13因为，.14点到直线的距离.15综上：的面积为定值.1616、（1） 2分 则曲线的方程为和。 3分（2）曲线的渐近线为 4分 如图，设直线 5分则 6分 又由数形结合知， 7分设点，则， 8分， 9分，即点M在直线上。 10分（3）由（1）知，曲线，点 设直线的方程为 10分 11分 设 由韦达定理： 12分 13分 令， 14分 ，当且仅当即时等号成立 15分 时， 16分17、解：（1）由题意得F1（2，0），c=2（2分）又，得a48a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），（2分）则b2=2，（1分）故椭圆方程为（1分）（2）直线l的方程为y=k（x2）（1分）联立方程组，消去y并整理得（3k2+1）x212k2x+12k26=0（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）故，（1分）则|AB|=|x1x2|=（2分）（3）设AB的中点为M（x0，y0）=2x0，（1分）y0=k（x02），（1分）直线MP的斜率为，又 xP=3，所以（2分）当ABP为正三角形时，|MP|=，可得，（1分）解得k=1（1分）即直线l的方程为xy2=0，或x+y2=0（1分）21