中南大学线性代数试卷.doc

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1、考试试卷1闭卷考试时间:100分钟一、填空题（本题15分,每小题3分）1、设为四阶方阵,其中为的第个列向量，令，则 。2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵,且，则 。3、设,且,则 。 4、若阶方阵有特征值，则必有特征值 。 5、若二次型经正交变换化为，则 .二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是阶方阵，则的必要条件是（ ）.（A）中两行（列)元素对应成比例； (B）中有一行元素全为零； （C）任一行元素为其余行的线性组合； （D）必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A）； （B）； （C）； （D）.3、设向量组当( ）时,向量组线性相

2、关.（A）5(B）4（C)3(D）24、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量， 为任意常数,则非齐次线性方程组的通解为（ ).（A） ； （B） ； （C）; （D）。5、设方阵是正定矩阵，则必有（ ）。 （A）; （B）; （C）; （D）。三、（本题8分) 计算行列式 ，其中.四、（本题12分) 设，且，求矩阵及， 其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分） 设向量组不能由向量组线性表示。 （1）求向量组的一个极大无关组； （2）求的值； （3）将向量用线性表示。六、（本题14分) 设齐次线性方程组（)为,已知齐次线性方程组（）的通解为。(1）求方程组()的基础解系；（

3、2）问方程组()和（)是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解,若没有，则说明理由.七、(本题14分） 设矩阵，（1）已知的一个特征值为 求； (2）求方阵，使为对角阵。八、（本题8分） 试证明：阶矩阵的最大特征值为，其中.参考答案一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、； 3、4； 4、； 5、1。二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D； 2、B； 3、A; 4、C; 5、B.三、（本题8分) 解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加,再按最后一行展开得：原式=。四、(本题12分）解：由，得：，可逆，故；由于，.五、（本题14分) 解：（1） 令，则线性无关， 故是向量组的

4、一个极大无关组；(2）由于4个3维向量 线性相关，若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；于是线性相关，从而。(3)令,。六、（本题14分)解:（1） ，所以方程组（)的基础解系为：;（2）设，即，故上述方程组的解为，于是方程组（）和（）所有非零公共解为:。七、(本题14分）解：（1）,将代人上式，得；(2)由（1）得,显然为实对称阵，而令,显然也是实对称阵，是单位阵，由，得的特征值，属于对应的特征向量为，单位化：，属于对应的特征向量为, 单位化：，取，则有。八、（本题8分）证明：由 得的特征值，故的最大特征值是.考试试卷2闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分）1、若n阶

5、行列式零元素的个数超过n（n-1)个，则行列式为 。2、若A为4阶矩阵，且=，则= 。3、设A=，且R(A)=3,则k= 。 4、已知向量,=(1，2，3），=（1，），设A=，则A= 。 5、设A为n阶方阵,为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵，若A有特征值必有特征值 .二、选择题（本题15分,每题3分)1、设A，B，C为n阶方阵，E为n阶单位阵,且ABC=E，则下列各式中（ ）不成立。 (A) CAB=E (B） (C) BCA=E (D)2、设A,B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则它们的秩满足( ）。 (A)必有一个等于零 （B）都小于n （C） 一个小于n，一个等于n （D）都等于n3、下列

6、命题中正确的是（ ）（A）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关(C）任何n+k个n维向量（k)必然线性相关（D）若只有全为零时，等式才成立,且线性无关,则线性无关4、设，则=( ）时，有为的基 （A） （B) (C） （D)5、设二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则( )(A) k8 （ B) k7 （C） k6 （D） k5三、（10分）计算n阶行列式,并求该行列式展开后的正项总数。四、（10分) 设=，且，求矩阵，其中的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分） 设有向量组 ，(1)求该向量

7、组的秩；(2）求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分） 设向量，（1）求3阶方阵的特征值与特征向量；（2)求一正交矩阵为对角矩阵。七、（本题14分）设矩阵，(1）问；(2）当A是正交矩阵时，求方程组的解。八、（本题8分） 证明：线性无关的充要条件是 其中.参考答案一、 填空：（每小题3分，共计15分）1、0 ; 2、； 3、 -3；4、 ; 5、.二、选择:（每小题3分，共计15分）1、D 2、B 3、C 4、D 5、A三、（本题10分）（练习册P117）解: ， 设展开式中正、负项总数分别为则,，于是正项总数为.四、(本题10分)解：由,得：

8、, 可逆,故 ； 由于 。五、(本题14分)解:将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 ， （1）； （2）为所求的一个最大线性无关组，且。六、（本题14分）解： A=，（1） A的特征值为0,0,3； 由AX=0得对应的0的特征向量为k，k,l为不全为零的任意常数，由得对应3的特征向量为c，c为任意非零常数。（2） 将正交化，得，再单位化，得,将单位化得，为所求正交阵。使七、（本题14分）解：（1）若A是正交矩阵，则A的列向量两两正交，故有解得时A是正交矩阵。 （2） 八、（本题8分） 证：记矩阵 由于,从而得线性无关。考试试卷3闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分,每小题3分)1、设,矩阵，

9、则 。2、设为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵，使 成立，则称与相似。3、元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 . 4、已知二次型，则二次型对应的矩阵。 5、设4阶方阵满足：，(其中是单位矩阵),则的伴随矩阵必有一个特征值为 。二、选择题（本题15分，每题3分）1、已知4阶方阵的伴随矩阵为，且的行列式，则（ ). （A) 81 (B） 27 (C） 12 （D) 9 2、设、都是阶方阵，且与有相同的特征值,并且、都有个线性无关的特征向量,则（ ）。 （A) 与相似 (B） （C） ，但 (D) 与不一定相似，但3、设阶方阵为正定矩阵,下面结论不正确的是（ )(A）可逆 （B)也是正定矩阵(C）

10、（D）的所有元素全为正4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（ )。（A） （B) （C) （D）无法比较与的大小5、设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。（A） ( B) (C) (D) 三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。四、(10分) 设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。五、（10分） 设方阵满足(其中是单位矩阵)，求。六、（12分) 已知向量组： ,，(1)求向量组的秩；（2）求向量组的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。七、（14分）设矩阵与矩阵相似，(1）求;（2）求正交矩阵，使.八、(14分）

11、设有线性方程组为（1）证明:若两两不等，则此方程组无解；（2）设，且已知是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解.参考答案二、 填空：（每小题3分,共计15分)1、； 2、； 3、；4、 ; 5、。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、B 2、A 3、D 4、C 5、C三、（本题10分）（见教材P44习题第5题)解：后面列都加到第1列，得四、（本题10分)解：。五、(本题10分）(见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解： ，或。六、（本题12分)(见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解:将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 ， （1）； (2)为所求的一个最大线性无关组，且,.七、（本题14分）（见典型题解P190例14）八、(本题14分)(见教材P87例3。13）解：（1）增广矩阵的行列式是4阶范德蒙行列式：由于两两不等，知，从而，但系数矩阵的秩，故,因此方程组无解。(2）时,方程组变为 即 因为，故，所以方程组有解，且对应齐次方程组的基础解系含32=1个解向量，又是原非齐次方程组的两个解，故是对应齐次方程组的解;由于,故是它的基础解系。于是原非齐次线性方程组的通解为 为任意常数。