2021-2022学年最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步练习试题(含详解).docx

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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC中，CAB的角平分线AD交BC于D，于E，且，则BC的长是（ ）A6cmB4cmC10cmD以上

2、都不对2、如图所示，P为平分线上的点，于D，则点P到OB的距离为（ ）A5cmB4cmC3cmD2cm3、如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，AC=63，D为AB上一动点（不与点A重合），AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ）A23B6C33D94、下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ）A5，9，12B7，12，13C30，40，50D3，4，65、有两边相等的三角形的两边长为，则它的周长为（ ）ABCD或6、等腰三角形的一个顶角是80，则它的底角是（ ）A40B50C60D707、下列各组数中，不能作为直角三

3、角形的三边的是（ ）A3，4，5B2，3，C8，15，17D，8、等腰三角形周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（）A6cmB7cmC5cm或6cmD5cm9、如图，在ABC中，BAC45，E是AC中点，连接BE，CDBE于点F，CDBE若AD，则BD的长为（）A2B2C2D310、如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分A B C，交C D于点E， B C10， D E3，则 B C E的面积等于( ) A6B9C15D1第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D、点E在直

4、线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若BADCAE，AGHE，AF+ADBF，AC3，则AE的长为 _2、如图，是ABC的角平分线，则的长为_3、如图，将宽为的纸条沿BC折叠，则折叠后重叠部分的面积为_（根号保留）4、如图，在AB1C1中，AC1B1C1，C120，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4B3C4，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角AB2C2_；第n个三角形的内角ABnCn_5、如图，BD是AB

5、C的角平分线，DEAB，垂足为E，AB6，BC4，DE2，则ABC的面积为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、点P为等边ABC的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD（1）如图1，若BP=AB=2，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；（2）如图2，线段AD交PC于点E，设BCP=，求AEC的度数；求证：AE=CE+DE2、如图，点C是线段AB上一点，ACF与BCE都是等边三角形，连接AE，BF（1）求证：AE=BF；（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC依题意补全图形；判断CMN的形状，并证明你的结论3、在平面直角坐标系xOy中

6、，点A在y轴上，点B在x轴上（1）在线段OA上找一点P，使得PA2-PO2=OB2，用直尺和圆规找出点P；（2）若A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），求点P的坐标 4、已知：如图，ABC中，ABC的平分线BD与ACB的平分线CE交于点I，连接AI并延长交BC于点F求证：AF平分BAC5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，B-4,0，OA=OB，ACO=30（1）求线段AC的长；（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作AFAP，点F在y轴的左侧，AF=AP，过点F作FEy轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子

7、表示EF的长；（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，C43,0，当BK=AC时，求t的值，并求出点P的坐标-参考答案-一、单选题1、A【分析】由角平分线的性质得CD=DE=2，等量代换后求出BC的长【详解】解：AD平分CAB，DEAB于E，C=90，CD=DE=2，又，BC=BD+CD=4+2=6（cm）；故选：A【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，熟练掌握角平分线的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键2、C【分析】根据角平分线的性质可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得点P到OB的距离等于【详解】解：P为平分线上的点，于D，点P到OB的距离为3cm故选：C【点睛】本

8、题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键3、B【分析】连接，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案【详解】解：如图，连接，设交于点，为的中点，点在线段的垂直平分线上，为等边三角形，点在线段的垂直平分线上，为线段的垂直平分线，点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足，则在和中，解得：，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键4、C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可【详解】解：A、52+92122，该

9、组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；B、72+122132，该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；C、302+402=502，该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；D、32+4262，该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断5、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况

10、，需要分类讨论【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为综上所述，该等腰三角形的周长是或故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论6、B【分析】依据三角形的内角和是180以及等腰三角形的性质即可解答【详解】解：（180-80）2=1002=50；答：底角为50故选：B【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点7、D【分析】由题意直接根据勾股定

11、理的逆定理即如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行分析判断即可【详解】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B、，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D、（32）2+（42）2=81+256=337，（52）2=625，（32）2+（42）2（52）2，不符合勾股定理的逆定理即此时三角形不是直角三角形，故选项正确.故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两

12、条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断8、C【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的腰或5cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形【详解】若5cm为等腰三角形的腰长，则底边长为17557（cm），5+57，符合三角形的三边关系；若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为（175）26（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm，符合三角形的三边关系；该等腰三角形的腰长为5cm或6cm，故选：C【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边9、B【分析】过点C作CNAB于点N，连接E

13、D，EN，利用SAS证明DCEBEN，可得EDNB，CEDENB135，得ADE是等腰直角三角形，可得ADDNBN，进而可得结果【详解】解：如图，过点C作CNAB于点N，连接EN，CNA90，BAC45，NCAA45，ANCN，点E是AC的中点，ANECNE45，CENAEN90，CEF+FEN90，CDBE，CFE90，CEF+FCE90，DCEBEN，在DCE和BEN中，DCEBEN（SAS），EDNB，CEDENB135，AED45AACN，ADDE，AECE，AE=EN，ADDN，ADDNBN，BD2AD2故选B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，

14、解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解10、C【分析】过E作EFBC于F，根据角平分线性质得出EFDE3，根据三角形面积公式求出即可【详解】解：过E作EFBC于F，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，EFDE3，BC10，BCE的面积为BCEF15，故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DEEF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等二、填空题1、【分析】过点C作CIBE交AE于I，即可证明ABDACI得到AI=AD，ADB=AIC，BD=CI；延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，可证ADK和ADI都是等腰

15、直角三角形，从而推出DIC=KDB；证明KDBDIC得到KBD=DCI=90，得到BKE+E=90，KBF+EBF=90，由BF=AF+AD，得到BF=AF+AK=KF，可推出E=EBF，由三角形外角的性质得到BFA=E+EBF=2E，再由AGH=E，GAF=90，可得E=30，过点A作AMBE于M，然后利用勾股定理求解即可【详解】解：如图所示，过点C作CIBE交AE于I，ICD=90，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ACI=45，ABD=ACI，在ABD和ACI中， ，ABDACI（ASA），AI=AD，ADB=AIC，BD=CI，延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，

16、KD，DI，AKD=ADK，ADI=AID，AKD+KDI+AID=180，ADK+ADI=90，即KDI=90，BAD=CAE，BAC=90，BAD+CAD=CAE+CAD=90，即DAI=90，ADK和ADI都是等腰直角三角形，DKI=DIK=ADK=45，KD=ID，BDK+ADK=DIK+DIC，DIC=KDB，在KDB和DIC中，KDBDIC（SAS），KBD=DCI=90，BKE+E=90，KBF+EBF=90，BF=AF+AD，BF=AF+AK=KF，BKF=KBF，E=EBF，BFA=E+EBF=2E，AGH=E，GAF=90，3E=90，E=30，过点A作AMBE于M，ACM

17、=45，MAC=45，ACM=MAC，AM=CM，故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件2、#【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值【详解】解：如图，过点作于点，是直角三角形是的角平分线，在与中设，则在中，即解得在中故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，证明三角

18、形全等，掌握以上知识是解题的关键3、【分析】利用折叠的性质可得出ABC是等腰三角形，有AC=AB；过点C作CGAB于点G，则得CG=2，且CGA为等腰直角三角形，从而可求得AC的值，则可求得面积【详解】如图，由折叠性质得：ECB=ACBDEABDCA=CAB=45DCA+ACB+ECB=180CAB+ACB+ABC=180ABC=ACB=67.5AB=AC即ABC是等腰三角形过点C作CGAB于点G，则CG=2，且ACG=CAB=45CGA为等腰直角三角形AG=CG=2 由勾股定理得：重叠部分ABC的面积为故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定ABC是等腰

19、三角形是本题的关键4、40 【分析】先根据等腰三角形的性质求出C1B1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出B1B2C2，C3B3B2及C4B3B2的度数，找出规律即可得出ABnCn的度数【详解】解：AB1C1中，AC1B1C1，C120，C1B1A ，B1B2B1C2，C1B1A是B1B2C2的外角，B1B2C2 ；同理可得，C3B3B220，C4B3B210，ABnCn故答案为：40，【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出B1B2C2，C3B3B2及C4B3B2的度数，找出规律是解答此题的关键5、10【分析】作，根据角平分线的性质得到，在根

20、据三角形的面积公式计算即可；【详解】作，BD是ABC的角平分线，DEAB，；故答案为：10【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键三、解答题1、（1）（2）；证明见解析【分析】（1）连接DP，BD，可证明BPD为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明BAD=BDA=30，可得ADP=90，利用勾股定理即可得出结论；（2）连接BD与CP交于F，连接DC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得和，从而可求得，根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得的度数；连接BE，在AE上截取GE=CE，可证明GCE为等边三角

21、形和ACGBCE，结合等量代换即可证明结论【详解】解：（1）补全图形如下，连接DP，BD，ABC为等边三角形，ABC=60，AB=BC=2，又BCP+BPC=ABC=60，BC=BP，BCP=BPC=30，点B关于直线PC的对称点为D，BP=DP，BPC=DPC=30，BPD=60，BPD为等边三角形，DBP=60，DP=BD=BP=AB=2,BAD=BDA，又BAD+BDA=DBP=60，BAD=BDA=30，ADP=90，（2）如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，由（1）可知ACB=60，AC=BC，点B关于直线PC的对称点为D，BC=CD=AC，CFD=90，,，如下图，连接BE

22、，在AE上截取GE=CE，由得，GE=CE，GCE为等边三角形，GC=CE,GCE=60，由（1）得ACB=60，AC=BC，ACG=BCE=60-BCG，在ACG和BCE中,ACGBCE（SAS）AG=BE，点B关于直线PC的对称点为D，BE=DE，【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形外角和内角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等（1）中能正确构造直角三角形并证明是解题关键；（2）中掌握等边对等角定理，并能利用三角形内角和定理表示等腰三角形的底角是解题关键；中掌握割补法是解题关键2、（1）证明见解析；（2）补全图形见解析；是等边三角形，证明见解

23、析【分析】（1）由等边三角形的性质可知，结合题意易得出即可利用“SAS”证明，即得出；（2）根据题意补全图形即可；由全等三角形的性质可知，再由题意点M，N分别是AE，BF的中点，即得出即可利用“SAS”证明，得出结论，最后根据，即得出，即可判定是等边三角形（1）与都是等边三角形，即，在和中，（2）画图如下：是等边三角形理由如下：，点M，N分别是AE，BF的中点，在和中，即，是等边三角形【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点利用数形结合的思想是解答本题的关键3、（1）见解析；（2）（0，）【分析】（1）连接AB，作AB的垂直平分线交OA于点P，连接PB，可得P

24、A=PB，根据勾股定理可得PA2-PO2=OB2即可；（2）根据A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），可得OA=6，OB=3，所以PA=PB=OA-OP=6-OP，根据勾股定理可得PB2-OP2=OB2，进而可得OP的长，得点P的坐标【详解】解：（1）如图，点P即为所求；（2）A的坐标（0，6），点B的坐标（3，0），OA=6，OB=3，PA=PB=OA-OP=6-OP，PB2-OP2=OB2，（6-OP）2-OP2=32，解得OP=，点P的坐标为（0，）【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质4、见解析【分析】过点I分别向ABC

25、的边BC、AC、AB作垂线，垂足分别为点G、H、K，然后由角平分线的性质得到IGIH，IGIK，然后得到IHIK，再证明IHAIKA即可得到AF平分BAC【详解】证明：如图所示，过点I分别作IGBC、IHAC、IKAB，垂足分别G、H、K，BD平分ABC，CE平分ACB，IGIH，IGIK，IHIK，在RtIHA和RtIKA中，RtIHARtIKA（HL），IAHIAK，AF平分BAC【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键5、（1）8，（2）见解析，（3）（，）或（，）；【分析】（1）根据30角所对直角边等于斜边一

26、半，求出OA长，即可求AC长；（2）作PGOA于G，证AFEPAG，得出，用含t的式子表示AG的长即可；（3）作PNOB于N，证RtBOKRtAOC，得出，求出AP的长即可求t的值，求出NP、ON的长即可求坐标【详解】解：（1），；（2）作PGOA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，AFEPAG，；当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，同理可得AFEPAG，（3）作PNOB于N，如图，RtBOKRtAOC， ， ，此时，点P在线段CA延长线上，；，PNOB，点P的坐标为（，）如图，同理可知RtBOKRtAOC，同理可得，点P的坐标为（，）；综上，点P的坐标为（，）或（，）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，通过证明三角形全等，得出线段之间的关系