均差与牛顿插值公式ppt课件.ppt

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1、12.3 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时缺点：当插值节点增减时全部插值基函数全部插值基函数 均要随之变均要随之变化，整个公式也将发生变化化，整个公式也将发生变化. . 能否重新在能否重新在 中寻找新的中寻找新的基函数基函数 ？ 希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。( )il xnP2本讲主要内容本讲主要内容: Newt

2、on插值多项式的构造插值多项式的构造 差商的定义及性质差商的定义及性质 差分的定义及性质差分的定义及性质 等距节点等距节点Newton插值公式插值公式3 )()()(102010 xxxxaxxaaxPn),()(10 nnxxxxa（3.13.1）), 1 ,0()(njfxPjjn 确定确定 . .其中其中 为待定系数，为待定系数，naaa,10可由可由 个插值条件个插值条件1n基函数基函数 是否是否构成构成 的一组基函数的一组基函数？0010111,()(),()()()nxxxxxxxxxxxx-( )nP x41xx .01011xxffa .12010102022xxxxffxxf

3、fa 依此递推可得到依此递推可得到 . . naa,3 当当 时，时，2xx 21202202102)()()(fxxxxaxxaaxPn 推得推得101101)()(fxxaaxPn由由 ， 当当 时，时， 0 xx .)(000faxPn 当当 时，时，推得推得由由5 称称 为函数为函数 关关于点于点 的的一阶均差一阶均差. . 000)()(,xxxfxfxxfkkk )(xfkxx ,0110010,xxxxfxxfxxxfkkk 称为称为 的的二阶均差二阶均差. .)(xf定义定义2 2,2102101xxxfaxxfa 显然显然11102010, kkkkkkxxxxxfxxxfx

4、xxf 一般地，称一般地，称为为 的的 阶均差阶均差k)(xf（均差也称为差商）（均差也称为差商）. . 2.3.1 2.3.1 均差及其性质均差及其性质6 均差有如下的基本性质：均差有如下的基本性质： .)()()()(,011010 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf这个性质可用归纳法证明这个性质可用归纳法证明. . 1 1 阶均差可表示为函数值阶均差可表示为函数值 的的线性组合，线性组合，)(,),(),(10kxfxfxfk 这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性的对称性. . 即即7 3 3 若若 在在 上

5、存在上存在 阶导数，且节点阶导数，且节点)(xf,ban,10baxxxn .,!)(,)(10banfxxxfnn 这公式可直接用罗尔定理证明这公式可直接用罗尔定理证明. . 2 2 由性质由性质1 1及均差定义可得及均差定义可得 .,0120110 xxxfxxxxfxxxfkkk 即即则则 阶均差与导数关系如下：阶均差与导数关系如下：n.,010110 xxxxfxxfxxxfkkkk 8,)(,)(,)(,)()()(4321043214324344321032132332102122101100 xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfx

6、fxxxfxfxxfxxfxkk四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差1表2 均差计算可列均差表如下（表均差计算可列均差表如下（表2-12-1）. . 9 2.3.2 2.3.2 牛顿插值公式牛顿插值公式 根据均差定义，把根据均差定义，把 看成看成 上一点，可得上一点，可得x,ba),(,)()(000 xxxxfxfxf ),(,110100 xxxxxfxxfxxf 010101 , ,().nnnnf x xxf xxxf x xxxxx只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 )(,)()(0100 xxxxfxfxf )(,10210 xxxxxxxf),()(xRxN

7、nn )()(,1010 nnxxxxxxxf)(,10 xxxxfnn 10)., 1 , 0(,0nkxxfakk称称 为为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插值多项式）均差插值多项式. . )(xNn 系数系数 就是均差表就是均差表2-12-1中加横线的各阶均差，它比中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计. .ka 显然，显然， 由前式确定的多项式由前式确定的多项式 满足插值条件，满足插值条件，)(xNn且次数不超过且次数不超过 ，n其系数为其系数为 它就是形如（它就是形如（3.13.1）的多项式，）的多项式，)(,)()

8、(0100 xxxxfxfxNn )(,10210 xxxxxxxf其中其中 ),()(,1010 nnxxxxxxxf),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn 11 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一每增加一个结点，个结点，NewtonNewton插值多项式只增加一项，克服了插值多项式只增加一项，克服了LagrangeLagrange插值的缺点插值的缺点. F由插值多项式的由插值多项式的唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)，故其余项也相同，即故其余项也相同，即(1)011( ) ,( )( ),(1)!nnnnff x

9、 xxxxn(1)0( ) ,.(1)!nnff x xxn则则0010010001010101( )( )( )( ) , ()( ) , ()( )( ) , ,()()()kkkkN xf xN xf xf x x x xN xf x x x xNxN xf xxx xx xx x 12解解 首先根据给定函数表造出均差表首先根据给定函数表造出均差表 给出给出 的函数表（见表的函数表（见表2-22-2），求），求3 3次牛顿插次牛顿插值多项式，并由此计算值多项式，并由此计算 的近似值的近似值. .3)(xf例例27279 93 31 13 32 21 10 0kx)(kxf2 26 69

10、92 24/34/36 6181827273 32 23 31 11 10 0三阶均差三阶均差二阶均差二阶均差一阶均差一阶均差kx)(kxf)2)(1(34)1(221)(3 xxxxxxxN2)221()121(2134)121(2122121)21(33 N132.3.3 2.3.3 差分与等距节点插值差分与等距节点插值 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多可以进一步简化，计算也简单得多. . 设函数设函数 在等距节点在等距节点 上上的值的值 为已知，这里为已知，这里 为常数，称为为常数，称为步长步长.

11、.)(xfy ), 1 , 0(0nkkhxxk)(kkxff h 为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念. .14记号记号 ,1kkkfff定义定义称为称为 在在 处以处以 为步长的为步长的一阶（向前）差分一阶（向前）差分. .)(xfkxh 利用一阶差分可定义二阶差分为利用一阶差分可定义二阶差分为 .21212kkkkkkffffff一般地可定义一般地可定义 阶差分阶差分为为 m.111kmkmkmfff15.: ,1kkkkfEfEfIfI移位算子：引进不变算子. ,)(IEfIEIfEffkkkk可得到则一、差分的基本性质一、差分的基本

12、性质: :00()( 1)( 1), nnnnjn jjkkkn kjjjnnfEIfEffjj -+ -=骣骣琪琪D=-=-=-琪琪桫桫邋00().nnnnjjn kkkkkjjnnfE fIf ffjj+=轾 骣骣犏 琪琪=+D=D=D琪琪犏桫桫臌邋（2 2）函数值可用差分表示，如）函数值可用差分表示，如（1 1）差分可用函数值表示，如）差分可用函数值表示，如16,2, , (3)22212121111hfxxxxfxxfxxxfhfxxffxxfkkkkkkkkkkkkkkkkk差商与差分关系，如：1 , 1,2, . !mkk mkmf xxfmnm h+=D=一般地，( ) ( ),

13、(,). nnnkkk nfh fxxx x+D=以及17计算各阶差分可按如下差分表进行计算各阶差分可按如下差分表进行.2300110222102333210231230niiiiiinnnnnnxfffffxfxffxfffxffffxfffff18020000( )()(1)(1) (1)1!2!nnnN xN xthtt tt tt nffffn 称上公式为称上公式为牛顿前插公式牛顿前插公式,其余项为其余项为1(1)00(1)()( )()( )(1)!(,)nnnnnt ttnR xR xthhfnx x利用这些性质利用这些性质,可将可将Newton公式进一步简化为公式进一步简化为19

14、 ( )cos,0,1,5,0.1 (0.048).kf xxxkh khf=给出的在处的函数值， 用四次等距插值公式计算近似值，并估计误差例例5 5解：先构造差分表如下：解：先构造差分表如下：2345 () 0.001.00000 0.005000.100.99500 0.00993 0.01493 kkxf xfffff 0.00013 0.20 0.98007 0.00980 0.00012 0.02473 0.00025 0.000020.30 0.95534 0.00955 0.00010 0.03428 0.000350.400.92106 0.00920 0 .04348 0.5

15、00.8775820取取 由牛顿前插公式得由牛顿前插公式得00.048,0.1,0.48,xxhth-=4(0.48)(0.48 1)(0.048) 1.00000 0.48 ( 0.00500)( 0.00993)21 +(0.48)(0.48 1)(0.48 2)(0.00013)3!1 +(0.48)(0.48 1)(0.48 2)(0.48 3)(0.00012)4! =0.9988P-=+ -+-5cos0.048误差估计为误差估计为5754(0.048)(1)(2)(3)(4)1.3433 105!MRt tttth-其中其中5sin0.50.479.M =212.4 2.4 埃尔

16、米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况. . 满足这种要求的插值多项式就是满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式. . 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. .22), 1 , 0(,)(,)(njmxHyxHjjjj(4.1)这里共有这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过个插值条件，可唯一确定一个次数不超过22n的多项式的多项式 ，12n

17、)()(12xHxHn), 1 ,0()(njxfmjj问题是求插值多项式问题是求插值多项式 ，)(xH 设在节点设在节点 上，上，),(jjxfybxxxan10.)(12121012nnnxaxaaxH 一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求. .在此在此只讨论两个典型的例子只讨论两个典型的例子. . 满足条件满足条件 其形式为其形式为23 求满足求满足 及及 )2, 1 ,0()()(jxfxPjj)()(11xfxP 由给定的由给定的4 4个条件，可确定次数不超过个条件，可确定次数不超过3 3的插值多项式的插值多项式. . 由于此多项式

18、通过点由于此多项式通过点),(,(),(,(),(,(221100 xfxxfxxfx)(,)()(0100 xxxxfxfxP)(,10210 xxxxxxxf的插值多项式及其余项表达式的插值多项式及其余项表达式. .例例1 1故其形式为故其形式为),)()(210 xxxxxxA2.4.2 2.4.2 两个典型的埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值24.)(,)(,)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA待定常数待定常数 ，可由条件，可由条件 确定确定，)()(11xfxPA其中其中 为待定函数为待定函数. . )(xk),()()()(2210 xxxxxxxkxR通过

19、计算可得通过计算可得 为了求出余项为了求出余项 的表达式，的表达式，)()()(xPxfxR可设可设25).()()()()()(2210 xtxtxtxktPtft显然显然),2, 1 ,0(0)(jxj故故 在在 内有内有5 5个零点（二重根算两个）个零点（二重根算两个）. . )(t),(ba, 0)(! 4)()()4()4(xkf 反复应用罗尔定理，得反复应用罗尔定理，得 在在 内至少有一个内至少有一个零点零点，)()4(t),(ba构造构造,0)(,0)(1xx且故有故有26),()()(! 41)(2210)4(xxxxxxfxR(4.2)(4.2)式中式中 位于位于 和和 所界

20、定的范围内所界定的范围内.210,xxxx余项表达式为余项表达式为 于是于是 ),(!41)()4(fxk27另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。 相应的插值基函数为相应的插值基函数为),(),(),(),(11xxxxkkkk它们取值情况如下表所示。它们取值情况如下表所示。,)(3kkyxH,)(3kkmxH.)(;)(113113kkkkmxHyxH(4.3) 插值节点为插值节点为 及及 ，kx1kx插值多项式为插值多项式为 ，)(3xH满足满足采用基函数的方法令采用基函数的方法令31111( )( )( )( )( )kkkkkkkkHxyxyxm

21、xmx(4.4)(4.4)28函数值函数值一阶导数值一阶导数值 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 11 kkxx+1 kkxx+11( )( )( )( )kkkkxxxxaabb+因为在因为在 除函数值为零外其一阶导数值也是除函数值为零外其一阶导数值也是零，所以它必有因子零，所以它必有因子 .另外，另外， 最多是一最多是一个三次多项式，因此个三次多项式，因此1,( )kkxxa+21()kxx+-( )kxa29211111 ( ), ()()0.()=1 ()202kkkkkkkkkkkkkkkkxxxaxbxxxxxaxbaxbxaxxax根据给定条件可令 显然

22、再利用解得 112, 1.kkkkkxbxxx 30211121111( )1 2,( )1 2.kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是求得 同理可求得 2112112111( ) ( )()1 ( ),( ).kkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxa xxxxxaxxxxxxxxxxxxxx为求，由给定条件可令直接由得到同理有 312211311111221111( )1212 + kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxHxyyxxxxxxxxxxxxxxmxxmxxxx(4.5)于是满足条件（于是满足条件（4.34.3）的插值多

23、项式是）的插值多项式是 其余项其余项 ，)()()(33xHxfxR).,(,)()(! 41)(1212)4(3kkkkxxxxxxfxR类似（类似（4.24.2）得）得3233343536333301(0)(0)0,(1)(1)1,(0,1)HHHHHermitexx满 足的插 值 多 项 式 为133302223( )()( )()( )1001 211 01 01 02jjjjjH xH xxH xxxxxxxx223( )( )+1 ,(2)1P xH xAxxP设令得14A22232211( )2+1=344P xxxxxxx于是37解法三：3839重节点均差重节点均差定理3 01

24、01 , , , , , ,nnnfC a b x xxa bf x xx设为上的相异节点，则是其变量的连续函数。1 , , a bfC a b如果上的节点互异，根据均差定义，若，则有000000( )()lim,lim()xxxxf xf xf xxfxxx由此定义重节点均差由此定义重节点均差00000,= lim,= ()xxf xxf xxfx40类似地可定义重节点的二阶均差类似地可定义重节点的二阶均差102000001201 ,= lim ,=( )2xxxxf x xxf x xxfx，0( )0000101 ,=lim , ,=( )!innxxf x xxf x xxfxn，(

25、)00000()( )()()()()!nnnfxP xf xfxxxxxn一般地，可定义重节点的一般地，可定义重节点的n n阶均差阶均差在牛顿均差插值多项式中若令在牛顿均差插值多项式中若令x xi ixx0 0(i=0,1,(i=0,1,n),n),则由上式可得则由上式可得泰勒多项式泰勒多项式它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为(1)10( )( )(),( , )(1)!nnnfR xxxa bn41例：在上例中42解法四：（带重节点的牛顿插值法）（带重节点的牛顿插值法）0011200111011010-1-11-214jx()jf x则则22220001011( )0 0() 1()( 1)() ()() ()4H xx xx xx xx xx xx x 221(3)4xx43P49 13、 14、16作业