两角和差正余弦公式的证明【可编辑范本】.doc

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1、两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角 ， 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或 与 , 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 ,由角 的三角函数可以得到的三角函数. 因此 ， 由和角公式容易得到对应的差角公式 ,也可以由差角公式得到对应的和角公式. 又因为 ， 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导.因此 ， 只要解决这组公式中的一个 ， 其余的公式将很容

2、易得到。(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 与 ， 的三角函数值的等式. 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如图所示， 在直角坐标系 中作单位圆 ， 并作角 ，和 , 使角的始边为 , 交 于点A, 终边交 于点 B;角 始边为 , 终边交于点 C;角 始边为, 终边交 于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为, ,，.由两点间距离公式得 ;。注意到 ， 因此。注记:这是教材上给出的经典证法它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段

3、, 从而得到我们所要的等式。注意,公式中的和为任意角。 。 差角余弦公式仍然在单位圆的框架下 ， 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 ，并作角 和， 使角和 的始边均为 , 交于点 C， 角 终边交于点 ,角 终边交于点.从而点 A，B的坐标为,。 由两点间距离公式得 。由余弦定理得 .从而有. 注记:方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 是三角形的内角 因此， 还需要补充讨论角 和 的终边共线， 以及 大于 的情形.容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中 , 用余弦定理计算 的

4、过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式 除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。 。 和角正弦公式 (一） (方法3) 如图所示,为 的边上的高 ,为 边上的高。设 , , ,则。从而有 , ,。因此 ，。注意到，从而有: , 整理可得 :.注记:在方法 3 中，用 和与底角, 相关的三角函数, 从两个角度来表示 边上高 , 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。 利用方法 3中的图形, 我们用类似于恒

5、等变形的方式， 可以得到下面的(方法 4)如图所示,为 的 边上的高 ，为边上的高。 设 , ， 则。注意到 , 则有,即. 从而有 .利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3，4 所用的图形框架是相同的.（方法 5) 如图所示 , 为 的 边上的高. 设 ， ,则有 ，。 由正弦定理可得 ，其中 d为的外接圆直径。由 得 ，从而有 。2. 和角正弦公式 ( 二 ） 方法 ,4 和 5利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 ，将会有下面的几种证法 ( 方法).(方法 6)如图所示 ,作于D，

6、 交外接圆于 , 连 和。设, ， 则， ， 。 设的外接圆直径为 ， 则有, ，。 所以有。注意到 , 从而。(方法 7) 如图所示 , 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 ， 则。 设,则 , ,， 。又从而.整理可得 。(方法 8) 如图所示 ,作 于D， 过作于 F， 于G.设 , 则 ,设 , 从而 ，,，。所以。 注意到， 则有 .注记：我们用两种不同的方法计算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算 ， 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得 ，, 从而有。注意到 , 从而可得。方法 6,7和 8 都是用角, 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段， 从而构造出

7、我们所希望的等式关系。 (方法 9 ) 如图所示 ， 设 为的边上的高。 设, ，, 从而有 方法9 利用面积关系构造三角恒等式.下面这两个证法的思路则有所不同. （方法10）如图所示 ，设 为 的外接圆直径d, 长度为d 设 , , 则 , 从而 注记:这一证明用到了托勒密定理：若和 是圆内接四边形的对角线 , 则有。 (方法 1) 如图所示，为的 边上的高。 设 , 则。 设, 则 方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 ， 利用与角 ,相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理（ 托勒密定理或正弦定理 ）, 构造出我们希望的等式关系。3. 差角正弦公式仍然还是在三角

8、形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12和13 便是用这种想法来证明的。 (方法 ） 如图所示 ,。设 , , 记 ,作于 E，则 , , 从而有 （方法 1） 如图所示 ， 为 的外接圆直径 ，长度为 d。设 , , 则 ,。从而方法12 和1 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段， 借此来构造等式关系。 很显然 ， 在这十二种证法中, 方法1 和2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角,是任意角。 而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 ,它们都是三角形的内角 （ 甚至都是锐角 ）。因此,对于方法3，我们需要将我们的结果推广到角 和 是任意角的情形。具

9、体而言,我们要证明:如果公式对任意 成立 ， 则对任意角也成立。 容易验证 ,角 和 中至少有一个是轴上角 (即终边在坐标轴上的角 ）, 我们的公式是成立的。 下面证明， 角 和都是象限角 （即终边在坐标系的某一象限中的角 )时 , 我们的公式也成立。 不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 ，从而有 从而 同理可证， 公式对于象限角 和 的其它组合方式都成立。因此, 我们可以将方法31 推导的公式推广到角 ,是任意角的情形。两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 ， 这一探究过程可分为四个步骤：(） 明确推导证明的目标：构造联系和 三角函数与或 的等式或方程 ; （) 简化课题:四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ; （3) 解决问题:利用单位圆或三角形作为联系和 三角函数与 或 的工具 ， 寻找我们希望的等式关系 ; （4） 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 ，必要时还要进行分类讨论。