2021_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率_导数课时素养评价含解析苏教版选修2_.doc

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1、课时素养评价二瞬时变化率导数 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.D.【解析】选D.=2x+x,当x0时,2x,所以2x=tan=1,所以x=.从而y=.【补偿训练】 一质点运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式是s=t2+10,则当t=3 s时的瞬时速度是_ m/s.【解析】因为s=(3+t)2+10-32-10=6t+(t)2,所以=6+t.当t0时,6,所以当t=3 s时的瞬时速度是6 m/s.答案:62.一物体做加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为()A

2、.4B.3C.2D.1【解析】选A.因为=2t+t,所以当t0时,2t.所以t=2时物体的加速度为4.3.设曲线y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a=()A.2 B.-C.D.-1【解析】选B.由y=ax2得y=a(x+x)2-ax2=2axx+a(x)2,则=2ax+ax,所以y=2ax,当x=2时,y=4a,又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,所以4a4=-1,即a=-.4.已知函数f(x)=ax2+b,若f(1)=2,则a=()A.4B.2C.1D.0【解析】选C.因为=2ax+ax,当x0时,2ax,所以f(x)=2ax,因为f

3、(1)=2a=2,所以a=1.5.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)等于()A.5B.3C.0D.-1【解析】选D.由y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,可知切线的斜率为-1,易得f(5)=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=,则f(2)=_.【解析】=,当x0时,所以f(x)=,故f(2)=-.答案:-7.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为_,点P处的切线方程为_.【解析】设P(x0,2+4x0),则=2x+4x0+4,当x0时,4x0+4,又因为f(x0)=16,所以4x0+4=1

4、6,所以x0=3,所以点P的坐标为(3,30).所以切线方程为y-30=16(x-3),即16x-y-18=0.答案:(3,30)16x-y-18=08.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_.【解析】设切点坐标为(x0,y0),=x+2x0-3,当x0时,2x0-3,即k=2x0-3=1,解得x0=2,y0=-3x0=4-6=-2.故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b及切点坐标.【解析】=,当x0时,-,设切点,则k=-=-1,得x0=1,当x0=1时,切点(1,1),代入y=-x+b

5、得b=2,当x0=-1时,切点(-1,-1),代入y=-x+b得b=-2,综上b=2,切点为(1,1)或b=-2,切点为(-1,-1).10.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则=8x+4x,当x0时,8x,由得故所求的点为P.【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为_.【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由=-2x

6、0-x,当x0时,-2x0,由得所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d=.答案: (20分钟40分)1.(5分)若函数f(x)在x=a处的导数为A,则当x0时, ()A.0B.AC.2AD.A2【解析】选B.因为当x0时,A,所以A(用-x替换x),所以当x0时,=+A+(当x0时,-x0)(A+A)=A.【补偿训练】y=f(x)=x3+2x+1在x=1处的导数为_.【解析】因为y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3+2(1+x)+1-(13+21+1)=5x+3(x)2+(x)3,所以=5+3x+(x)2,当x0时,5,所以f(1)=5.答案:52.(5分)(多选)下面说法不正确的是()

7、A.若f(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在C.若f(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处没有切线,则f(x0)有可能存在【解析】选ABD.根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误,C正确.3.(5分)若函数y=x2在点P处的导数值等于其函数值,则点P的坐标为_.【解析】设函数y=x2在点(x0,y0)处的导数值与其函数值相等,因为=2x0+

8、x,当x0时,2x0+x =2x0,令y0=,所以2x0=,解得x0=0或x0=2,即在x=0或x=2处的导数值与其函数值相等.所以P的坐标为 (0,0) 或(2,4).答案:(0,0) 或(2,4)【补偿训练】曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积等于_.【解析】由导数定义可求得y=3x2,当x=1时,y=3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点坐标为,与x=2的交点坐标为(2,4),围成的三角形的面积为4=.答案:4.(5分)若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=_.【解析】根据题意,当x0时,=2ax+ax2ax,设切点为(x0,y0),

9、则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=.答案:5.(10分)已知曲线C:f(x)=x3+x.(1)求曲线C在点(1,2)处切线的斜率.(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为,求的取值范围.【解析】因为=3x2+3x(x)+1+(x)2,当x0时,3x2+1.所以f(x)=3x2+1.(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率k=f(1)=4.(2)曲线C在任意一点处切线的斜率k=f(x)=tan ,所以tan =3x2+11.又0,),所以.即倾斜角的取值范围是.【补偿训练】 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为,求点P横坐标的取值范围.【解析】因为当x0时,=2x+2.且切线倾斜角,所以切线的斜率k满足0k1,即02x+21,所以-1x-.故点P横坐标的取值范围是.6.(10分)已知曲线y=f(x)=x2+1与y=g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.【解析】因为=x+2x,当x0时, 2x,即f(x)=2x,=(x)2+3xx+3x2,当x0时,3x2,即g(x)=3x2,所以k1=2x0,k2=3,由题意得k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.