2021_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末检测卷课时作业含解析新人教A版选修2_.doc

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1、章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以下四组向量中，互相平行的组数为()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)；A1B2C3 D4解析：中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行答案：B2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1 B2C. D3解析：若l1l2，则ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.答案：B3已知向量i，j，k是一组单位正交向

2、量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7 B20C28 D11解析：因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.答案：C4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确答案：C5在空间四边形ABCD中，等于()A1 B0C1 D不确定解析：如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabba

3、bccbca0.答案：B6已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B.C. D.解析：设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.答案：B7巳知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为()A(2,2,0) B(2，1,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.答

4、案：C8在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：C9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹

5、角为()A30 B60C120。 D150解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，|ab|，cos，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.答案：C10三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：不妨设ABACAA11，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，所以(1,0,1)，(0,1,1)，cos，所以，60，所以异面直线BA1与

6、AC1所成的角等于60.答案：C11已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin|cosn，|.答案：A12在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B(2，3)，沿y轴把坐标平面折

7、成120的二面角后，AB的长是()A. B6C3 D.解析：过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|2，|2，|5，60，所以2()22222224254222cos600037.|.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_.解析：由题意知ab，解得2.答案：214正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动， 则的取值范围是_解析：如图所示，由题意，设，其中0,1，()()2110,1因此的取值范围是0,1答案：0,115如图，正方体ABCDA1B1C

8、1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则线段CE与DF长度和的值等于_解析：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，则(x1,0,1)，(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需B1EFB，即(1,1，y)(x1,0,1)0，得xy1.答案：116如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离_.解析：取CD的中点O，连接OB，OM，则

9、OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)，(0,0,2)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面MBC的一个法向量为n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距离d.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1

10、)，c(3，2，z)ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解析：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos.18(12分)在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量解析：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()，(如图所示)19(12分)已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90。，PD底面ABCD，且P

11、DDACD2AB2，M点为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD.解析：(1)证明：PD底面ABCD，CDAB，CDAD.以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)由于PDCDDA2AB2.所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面PAD，是平面PAD的法向量，且0.又BM平面PAD.BM平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若M

12、N平面PBD，则即在平面PAD内存在点N，使MN平面PBD.20(12分)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且D1DC，DCDD12，DA，ADC，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,0,0)由得A1(，1，)(，1，)(，1，)cos，.异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为.21(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DE

13、F所成角的正弦值解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图Dxyz.设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.(0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin.22(12分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC

14、的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值解析：(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与 平 面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，则tantanDPF，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.