2021_2021学年高中数学课时素养评价十三4.1.2复数的有关概念含解析北师大版选修1_.doc

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1、课时素养评价十三复数的有关概念 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在复平面内,复数z=cos 3+isin 3的对应点所在象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为30,cos 30,故复数z=cos 3+isin 3的对应点位于第二象限.2.已知复数z=a+bi(i为虚数单位,a,bR),集合A=,B=.若a,bAB,则|z|等于()A.1B.C.2D.4【解析】选B.因为AB=,所以a,b,所以|z|=.3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量对应的复数为()A.-2-iB.2+iC.1

2、+2iD.-1+2i【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),点B的坐标为(-1,2),故向量对应的复数为-1+2i.4.在复平面内,复数z1,z2的对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|= ,则z2等于()A.4+5iB.5+4iC.3+4iD.5+4i或+i【解析】选D.设z2=x+yi(x,yR),由条件得,所以或二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知0a2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是_.【解析】依题意,可知z=a+i(aR),则|z|2=a2+1.因为0a2,所以a2+1(1,5),即|z|(1,).答案:(1,)6.已知实数

3、x,y满足x-3i=(8x-y)i,则复数z=x+yi对应的点的坐标为_.【解题指南】当两个复数相等时,应分清两复数的实部和虚部,然后根据实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.【解析】因为x,y为实数,所以8x-y为实数,由复数相等的充要条件得解得所以z=x+yi=3i,对应点(0,3).答案:(0,3)三、解答题(每小题10分,共20分)7.若复数z=x+3+(y-2)i(x,yR),且|z|=2,则点(x,y)的轨迹是什么图形?【解析】因为|z|=2,所以=2,即(x+3)2+(y-2)2=4.所以点(x,y)的轨迹是以(-3,2)为圆心、2为半径的圆.8.当实数m取何值时,在复平

4、面内与复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i对应的点满足:(1)在第三象限.(2)在虚轴上.(3)在直线x-y+3=0上.【解析】复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应点的坐标为Z(m2-4m,m2-m-6).(1)点Z在第三象限,则解得所以0m,即A-B,sin Acos B.cos B-tan A=cos B-cos B-sin A0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.3.(5分)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)1,则实数x的值是_.【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)1,所以解得x=-2

5、.答案:-24.(5分)已知i为虚数单位, 设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=3-4i,则z2=_.【解析】复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,z1=3-4i对应点(3,-4),关于原点对称的点为(-3,4),则z2=-3+4i.答案:-3+4i【补偿训练】 已知ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为_.【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i5.(10分)已知O为坐标原点,对应的复数为-

6、3+4i,对应的复数为2a+i(aR).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.1.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,+表示的复数的模为()A.B.C.D.【解题指南】由已知可得+=cos

7、+isin+cos+isin,整理后利用复数模的公式求解.【解析】选C.由eix=cos x+isin x,可得+=cos+isin+cos+isin=+i.所以+表示的复数的模为.2.已知复数z1=-a2+2a+ai,z2=2xy+(x-y)i,其中a,x,yR,且z1=z2,求3x+y的取值范围.【解析】由复数相等的充要条件,得,消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.方法一:令t=3x+y,则y=-3x+t.分析知圆心(1,-1)到直线3x+y-t=0的距离d=,解得2-2t2+2,即3x+y的取值范围是2-2,2+2.方法二:令得(R)所以3x+y=sin +3cos +2=2sin(+)+2(其中tan =3),于是3x+y的取值范围是2-2,2+2.