2021_2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.1.1综合法课时素养评价含解析新人教A版选修1_.doc

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1、综合法 (20分钟35分)1.设a,bR,定义运算“”和“”如下:ab=ab=若正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,则()A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd2【解析】选B.因为ab=ab=正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,所以不妨令a=1,b=4,则ab2错误,故可排除A,C,再令c=1,d=1满足c+d4,但不满足cd2,故可排除D.2.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24 B.-3 C.3 D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d0,=a2a6(1+2d)2=(1+d)(1+5d

2、),d2=-2d(d0),所以d=-2,所以S6=61+(-2)=-24.3.在不等边三角形中,a为最长边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足条件()A.a2b2+c2D.a2b2+c2【解析】选C.由cos A=0知,b2+c2-a2b2+c2.4.已知p=a+(a2),q=(a2),则()A.pqB.p2,所以a-20,所以p=a+=(a-2)+22+2=4,当且仅当a=3时取“=”.又-a2+4a-2=-(a-2)2+22,所以q=q.5.设e1,e2是两个不共线向量,则向量e1+e2(R)与向量2e1-e2共线的充要条件是_.【解析】依题意得e1+e2=k(2e1-e2),整

3、理得(2k-1)e1+(-k)e2=0.由于e1与e2不共线,则必有2k-1=0且-k=0,解得k=,=-k=-.若=-,则e1+e2=e1-e2=,即e1+e2与2e1-e2共线,故=-为所求.答案:=-6.已知a0,b0,a+b=1,求证:+2.【解题指南】根据a0,b0,a+b=1先证明ab,将1平方,运用基本不等式,即可得证.【证明】因为1=a+b2,所以ab.所以(a+b)+ab+1.所以1.从而有2+24.即+24.所以4.所以+2. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-2B.-

4、2,2C.-2,+)D.0,+)【解析】选C.用分离参数法可得a-(x0),而|x|+2,所以a-2,当x=0时显然成立.2.如果x0,y0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是()A.B.2-2C.1+D.2-【解析】选B.由x0,y0,x+y+xy=2,则2-(x+y)=xy,所以(x+y)2+ 4(x+y)-80,所以x+y2-2或x+y-2-2.因为x0,y0,所以x+y的最小值为2-2.3.已知a,b为非零实数,则使不等式:+-2成立的一个充分而不必要条件是 ()A.ab0B.ab0,b0,b0【解析】选C.因为与同号,由+-2知0,0,即ab0.所以+=-2=-2.所以ab0,b0

5、,b0,且ab,则aabb与abba的大小关系是()A.aabbabbaB.aabbabbaC.aabbb0时,1,a-b0,1,所以aabbabba.当ba0时,01,a-b1,所以aabbabba.综合可知,总有aabbabba.5.已知直线l,m,平面,且l,m,给出下列四个命题:若,则lm;若lm,则;若,则lm;若lm,则.其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.若l,m,则l,所以lm,正确;若l,m,lm,与可能相交,不正确;若l,m,l与m可能平行,不正确;若l,m,lm,则m,所以,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.定义在R上的函数f(x)=

6、2ax+b,其中实数a,b(0,+),若对任意的x,不等式|f(x)|2恒成立,则当ab最大时,f(2 018)的值是_.【解析】由题意,a+b2,所以22,所以ab1,当且仅当a=b=1时取等号,所以f(2 018)=22 018+1=4 037.答案:4 0377.在ABC中,C=60,a,b,c分别为A,B,C的对边,则+ =_.【解析】+=,因为C=60,由余弦定理得cos C=,即a2+b2=ab+c2,所以+=1.答案:18.一个矩形的周长为l,面积为S,给出:(4,1);(8,6);(10,8);,其中可作为(l,S)取得的实数对的序号是_.【解析】设矩形的长、宽分别为a,b,则

7、a+b=,S=ab,因为a+b2,所以2,所以l216S.因为四组实数对:(4,1);(8,6);(10,8);,所以代入验证,可知可作为(l,S)取得的实数对的序号是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,四边形ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE平面DMF.(2)平面BDE平面MNG.【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN,又DE

8、平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又M为AB中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN,又BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.10.设ab0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为ab0,所以a-b0,3a2-2b20,从而(3a2-2b2)(a-b)0,所以3a3+2b33a2b+2ab2.1.对于正实数,记M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:x1,x2R且x2x1,有

9、-(x2-x1)f(x2)-f(x1)2,则f(x)-g(x)【解析】选C.设f(x),g(x),则|f(x2)-f(x1)|1|x2-x1|,|g(x2)-g(x1)|2|x2-x1|,|f(x2)+g(x2)-(f(x1)+g(x1)|f(x2)-f(x1)|+|g(x2)-g(x1)|1|x2-x1|+2|x2-x1|=(1+2)|x2-x1|.即f(x)+g(x).2.在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,求证数列bn是等差数列.(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以=+1,因为bn=,所以bn+1=bn+1,所以数列bn是等差数列且b1=1,所以bn=n,an=n2n-1.(2)因为Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1,所以2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n.两式相减得Sn=n2n-120-121-12n-1=n2n-2n+1.