2021_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直二课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、课时素养检测 三十三平面与平面垂直(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列说法错误的是()A.若,则内所有直线都垂直于B.如果不垂直于,那么内不存在直线垂直于C.若,则内一定存在直线平行于D.若,则经过内一点与垂直的直线在内【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B平面ABCD,直线AB1平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A错.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点F,作FEA1B1于E,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 B

2、.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1平面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.3.在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.过点A作AHBD于点H,由平面ABD平面BCD,得AH平面BCD,则AHBC.又DA平面ABC,所以BCAD,又因为AHAD=A,所以BC平面ABD,所以BCAB,即ABC一定为直角三角形.4.已知平面平面,=l,点A,Al,直线ABl,直线ACl

3、,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.ABmB.ACmC.ABD.AC【解析】选D.如图,ABlm,ACl,mlACm,ABlAB.故选D.5.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与中两条相交直线垂直时结论才成立.6.(多选题)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.以下四个结论中正确的为()A.P

4、A平面MOBB.MO平面PACC.OC平面PACD.平面PAC平面PBC【解析】选BD.因为PA平面MOB,所以选项A不正确;因为MOPA,而且MO平面PAC,所以选项B正确;OC不垂直于AC,所以选项C不正确;因为BCAC,BCPA,ACPA=A,所以BC平面PAC,所以平面PAC平面PBC,所以选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,BAD=90,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是_.【解析】过A作AOBD于O点,因为平面ABD平面BCD,所以AO平面BCD,则ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为BAD=90,AB=AD,所

5、以ADO=45.答案:45【补偿训练】如图所示,等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为_.【解析】因为平面ABS平面ABCD,平面ABS平面ABCD=AB,CB平面ABCD,CBAB.所以CB平面ABS.所以BSC是直线SC与平面ABS所成的角.因为SB=AB=BC,CBSB,所以BSC=45,所以直线SC与平面ABS所成的角为45.答案:458.在四面体S-ABC中,SA=SB=2,且SASB,BC=,AC=,则该四面体体积的最大值为_,此时该四面体外接球的表面积为_.【解析】四面体的体积最大时即平面SAB平面ABC,SA=SB=2,且SA

6、SB,所以AB=2,BC=,AC=,所以ACB=90,取AB的中点H,连接CH,SH,SHAB,平面SAB平面ABC=AB,SH在平面SAB内,所以SH平面ABC,而SH=SA=,所以VS-ABC=SABCSH=;则外接球的球心在SH上,设球心为O,连接OC,CH=AB=SA=,因为SH=HA=HB,所以O与H重合,所以R=,所以四面体的外接球的表面积S=4R2=8.答案:8三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA平面ABC;(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.【证明】(1)在平面AB

7、C内任取一点D,作DFAC于点F,作DGAB于点G.因为平面PAC平面ABC,且交线为AC,所以DF平面PAC.因为PA平面PAC,所以DFPA.同理可证,DGPA.因为DGDF=D,所以PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是PBC的垂心,所以PCBH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PCAE.因为BHAE=E,所以PC平面ABE,所以PCAB.又因为PA平面ABC,所以PAAB.因为PAPC=P,所以AB平面PAC.所以ABAC,即ABC是直角三角形.【补偿训练】如图,=l,AB,ABl,BC,DE,BCDE.求证:ACDE.【证明】因为,=l,AB,ABl,所以AB.

8、因为DE,所以ABDE.因为BCDE,ABBC=B,所以DE平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACDE.10.(2017北京高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)因为PAAB,PABC,AB平面ABC,BC平面ABC,且ABBC=B,所以PA平面ABC,BD平面ABC,所以PABD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BDAC,由(1)知PA平面ABC,因为PA平面PAC,所以平

9、面PAC平面ABC,因为平面PAC平面ABC=AC,BD平面ABC,BDAC,所以BD平面PAC,因为BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,又DE=平面BDE平面PAC,PA平面PAC,所以PADE,因为D是AC的中点,所以E为PC的中点,所以DE=1,所以SBDC=SABC=22=1,VE-BCD=1DE=11=.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.设平面平面,在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D

10、.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.当时,在平面内垂直交线的直线才垂直于平面,因此,垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于.2.已知平面,则下列命题中正确的是()A.,则B.,则C.=a,=b,则abD.,=a,ab,则b【解析】选B.A中,可以相交;C中如图,a与b不一定垂直;D中b仅垂直于的一条直线a,不能判定b.3.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,M为CD的中点,则AMD的大小是()A.45B.30C.60D.90【解析】选D.由题意画出图形,如图,设正方形的边长为2,折叠前后AD=2,DM=1,连接AC交BD于O,连接OM,则OM=1,AO=,因为正方形A

11、BCD沿对角线BD折起,使平面ABD平面CBD,AOBD,所以AO平面BCD,所以AOOM,在RtAOM中,AM=,又AD=2,MD=1,所以DM2+AM2=AD2,所以AMD=90.4.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,表示平面,下列命题中是真命题的是()A.若ab,bc,则acB.若ab,ac,则bcC.若a,b,则abD.若a,b,则ab【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足ab,bc,但是ac,所以A错误;对于B,若ab,ac,则bc,满足平行线公理,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误

12、;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图所示,边长为2a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有_.(填上所有正确结论的序号)动点A在平面ABC上的射影在线段AF上.三棱锥A-FED的体积有最大值.恒有平面AGF平面BCED.异面直线AE与BD不可能互相垂直.【解析】因为DEAG,DEGF,AGGF=G,所以DE平面AGF,又DE平面BCED,所以平面AGF平面BCED,故正确.过A作AHAF,垂足为H(图略),则AH平面AGF,所以AHDE,又DEAF=G,所以

13、AH平面ABC,故正确.三棱锥A-FED的底面FED的面积是定值,高是点A到平面FED的距离.易证当AG平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A-FED的体积最大,故正确.易知BDEF,所以AEF是异面直线AE与BD所成的角.正ABC的边长为2a,AE=a,EF=a,而AF的长度的取值范围是(0,a),当AF=a时,AE2+EF2=AF2,AEF=90,此时直线AE与BD互相垂直,故错误.答案:6.如图,在ABCD中,ABBD,沿BD将ABD折起,使平面ABD平面BCD,连接AC.在四面体A-BCD的四个面中,写出互相垂直的两对平面:_和_.【解析】在平行四边形ABCD中,因为ABCD,ABBD

14、,所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,CD平面BCD.所以CD平面ABD.又CD平面ACD,所以平面ACD平面ABD.因为ABBD,平面ABD平面BCD,所以平面ABC平面BCD,所以共有3对互相垂直的平面,选其中两对即可.答案:平面ACD平面ABD平面ABC平面BCD(答案不唯一)三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示,ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE平面ABC,平面BCD平面ABC,BD=CD,且BDCD.(1)求证:AE平面BCD;(2)求证:平面BDE平面CDE.【证明】(1)取BC的中点M,连接DM,因为BD=CD且BDCD,BC=

15、2.所以DM=1,DMBC.又因为平面BCD平面ABC,平面BCD平面ABC=BC,所以DM平面ABC,又AE平面ABC,所以AEDM.又因为AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE平面BCD.(2)连接AM,由(1)知AEDM,又AE=1,DM=1所以四边形DMAE是平行四边形,所以DEAM.又ABC是正三角形,M为BC的中点,所以AMBC,因为平面BCD平面ABC,平面BCD平面ABC=BC,所以AM平面BCD,所以DE平面BCD.又CD平面BCD,所以DECD.因为BDCD,BDDE=D,所以CD平面BDE.因为CD平面CDE,所以平面BDE平面CDE.8.(14分)(2020全国卷)如

16、图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P-ABC的体积.【解析】(1)由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB.PACPBC.又APC =90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=,l2-r2=2.解得r=1,l=,从而AB=.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=.所以三棱锥P-ABC的体积为PAPBPC=.