2021_2022学年高中数学第二章数列2.3第1课时等差数列的前n项和课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docx

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1、第二章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固提升基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6B.7C.8D.9解析设an的公差为d,则解得所以a7=a1+6d=-3+62=9,故选D.答案D2.等差数列an的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,则公差d等于()A.B.C.D.2解析等差数列an的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,解得故选A.答案A3.已知数列an的前n项和Sn=n2,则an等于()A.nB.n2C.2n+1D.2n-1解析当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1

2、)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(nN*).答案D4.已知数列an的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,则a10=()A.1B.9C.10D.55解析由Sn+m=Sn+Sm,得S10=S9+S1,即S10-S9=S1,所以a10=S1=a1=1.答案A5.已知数列an的通项公式为an=2n+1,令bn=(a1+a2+an),则数列bn的前10项和T10=()A.70B.75C.80D.85解析an=2n+1,数列an是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn=n2+2n,bn=Sn=n+2,数列bn也是等差数列,首项b1=3,公差为1,其前10项和T10=103

3、+1=75,故选B.答案B6.设数列an是等差数列,且a2+a3+a4=15,则该数列的前5项和S5=.解析由a2+a3+a4=15,得3a3=15,解得a3=5,故S5=5a3=25.答案257.在等差数列an中,其前n项和为Sn,若S12=8S4,则=.解析S12=12a1+d,S4=4a1+d,12a1+66d=32a1+48d.20a1=18d.答案8.已知数列an的前n项和为Sn=n2n-1,则a3+a4+a5=.解析a3+a4+a5=S5-S2=(525-1)-(222-1)=152.答案1529.递增数列an满足:-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2

4、)令bn=,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是递增数列,所以an=2n.(2)an=2n,bn=,bn=.Tn=1-+=1-=.10.已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解(1)an+2=2an+1-an+2,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=2-1=1,数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,an-a

5、n-1=2(n-1)-1,an-1-an-2=2(n-2)-1,a2-a1=21-1,累加,得an-a1=2-(n-1)=n2-2n+1,an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,数列an的通项公式为an=n2-2n+2.能力提升1.在等差数列an中,2a4+a7=3,则数列an的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12解析设等差数列an的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9=9a5=9.答案C2.记Sn为等差数列an的前n项和,若S5=2S4,a2+a4=8,则a5=()A.6B.7C.8D.10解析解法一

6、(基本法)数列an为等差数列,S5=2S4,a2+a4=8,整理得解得a5=a1+4d=-2+12=10.解法二(性质法)S5=2S4,a2+a4=8,a5=S5-S4=S5,a1+a5=a2+a4=8.S5=5,S5=5=20,a5=S5=10.故选D.答案D3.已知等差数列an,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186解析由等差数列an易得公差d1=3.又bn=a2n,所以bn也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=56+6=90.答案C4.设公差不为零的等差数列an的前n

7、项和为Sn,若a4=2(a2+a3),则=()A.B.C.7D.14解析解法一根据等差数列的性质及a4=2(a2+a3),得a1+3d=2(a1+d+a1+2d),化简得a1=-d,所以=7.解法二由已知及等差数列的性质得,a4=2(a2+a3)=2(a1+a4),又因为,所以=7.答案C5.(2020全国高考,文14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.解析设等差数列an的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.S10=10a1+d=-20+45=25.答案256.在数列an中,an=4n-,a1

8、+a2+an=an2+bn+c,nN*,其中a,b为常数,则ab+c=.解析因为an=4n-,即an是关于n的一次函数,所以数列an是等差数列,所以a1+a2+an=2n2-n,因此a=2,b=-,c=0,故ab+c=2+0=-1.答案-17.已知数列an的前n项和为Sn(Sn0),且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求证:是等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明-an=2SnSn-1(n2),-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n2).又Sn0(n=1,2,3,),=2.又=2,是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解由(1)可知=2+(n-1)2=2n,Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-;当n=1时,S1=a1=.故an=8.设Sn为数列an的前n项和,Sn=an-1(为常数,n=1,2,3,).(1)若a3=,求的值;(2)是否存在实数,使得数列an是等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为Sn=an-1,所以a1=a1-1,a2+a1=a2-1,a3+a2+a1=a3-1.由a1=a1-1,可知1,所以a1=,a2=,a3=.因为a3=,所以,解得=0或=2.(2)假设存在实数,使得数列an是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得,所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数,使得数列an是等差数列.4